1) Это следует из того, что инвариантный $n$-мерный интеграл классической динамики положителен.
2) Свойство «региональной рекуррентности», о котором говорит здесь Биркгоф, можно определить так. Для всякого непустого открытого множества $\sigma$ и всякого вещественного числа $t_1$ найдется вещественное число $t⩾t_1$ такое, что $\sigma$ и ${\sigma }_t$ имеют общие точки.

Если при этом речь идет не о всем многообразии $M$, а о некотором, содержащемся в $M$ множестве $A$, состоящем из кривых движения, то под «открытым множеством» здесь надо понимать множество, открытое относительно $A$, т. е. пересечение открытого множества многообразия $M$ с множеством $A$.

к главе 7
389
3) Связность этого множества в дальнейшем не играет никакой роли. Условие связности могло бы быть здесь опущено без изменения объема определяемых далее понятий.
4) Во избежание недоразумений формулируем точное определение блуждающих и неблуждающих точек, относящееся ко всем случаям.

Точка $P_0$ называется блуждающей, если существует открытое множество ${\sigma }_0$ и вещественное число $t_1$, такие, что ${\sigma }_0$ содержит $P_0$ и что ${\sigma }_t$ не имеет общих точек с ${\sigma }_0$ при всяких $t>t_1$. В противном случае точка $P_0$ называется неблуждающей.
5) Выражение «бесконечно малая окрестность» (infinitesimal neighborhood), не имеющее определенного смысла, следует здесь понимать просто как «достаточно малая окрестность».
6) Существование такой трубки не очевидно.
7) Последнее надо понимать просто так: $M_1$ есть дополнительное замкнутое множество, также состоящее из кривых движения.
8) Имеется в виду открытое множество $\sigma$, содержащее точку $P$ и такое, что ${\sigma }_t$ не имеет общих точек с $\sigma$ при всяком, достаточно большом $t$.
9) Трудно понять эту фразу. Чтобы доказать, что $M_1^{\prime }$ состоит из кривых движения, можно рассуждать так.

Рассмотрим произвольную точку $P$ множества $M_1-M_1^{\prime }$. Она является предельной точкой множества $W$. Поэтому существует последовательность $P^1,P^2,\dots$ точек множества $W$, сходящаяся к $P$. По теореме о непрерывной зависимости от начальных условий отсюда следует, что при всяком вещественном $t$ последовательность $P_t^1,P_t^2,\dots$ сходится к $P_t$. Так как точки $P_t^i$ также принадлежат $W$, ибо $W$ состоит из кривых движения, то отсюда следует, что $P_t$ есть предельная точка множества $W$. А так как $P_t$ принадлежит $M_1$ в силу того, что $P$ принадлежит $M_1$, то $P_t$ принадлежит $M_1-M_1^{\prime }$.

Этим доказано, что кривая движения, проходящая через произвольную точку множества $M_1-M_1^{\prime }$, содержится в этом множестве, т.е., что $M_1-M_1^{\prime }$ состоит из кривых движения. Так как $M_1$ также состоит из кривых движения, то $M_1^{\prime }$ состоит из кривых движения, что и требуется доназать.
10) Сомнительно, что $M_1^{\prime \prime }$ всегда является границей $M_1^{\prime }$. Если бы на функции $X_i$ вместо условия аналитичности было наложено более слабое условие дифференцируемости всякого порядка, то противоречащие примеры строились бы без труда.

С другой стороны, при условии аналитичности редакции неизвестны примеры, когда множество $M_1^{\prime \prime }$ непусто и отлично от $M$.

11) Как видно из авторского примечания к этой теореме, она формулирована «не вполне точно», т.е., попросту говоря, неправильно. Чтобы придти к правильной формулировке, достаточно заметить, что «точный счет выходов» движущейся точки из окрестности множества $M_1$ совсем не соответствует сути рассматриваемого вопроса, которая состоит в том, что эта точка находится в этой окрестности при всяком $t$, не принадлежащем некоторым исключительным интервалам. Таким образом мы получаем следующую формулировку.

Для всякой окрестности $\mathrm{\Sigma }$ множества $M_1$ существует натуральное число $N$ и положительное число $T$, удовлетворяющие условию: каково бы ни было движение системы, можно указать $N$ интервалов длины $T$ таких, что при $t$, не принадлежащем ни одному из них, движущаяся точка принадлежит $\mathrm{\Sigma }$.

Нетрудно видеть, что именно то и вытекает из приведенного в тексте рассуждения.
12) Как видно из предыдущей теоремы, множество $M_1$ не пустое. Прим. перев.
13) См. примечание 4.
14) Относительно числа выходов точки из окрестности множества $M_{p+1}$ дело обстоит, разумеется, так же, как при $p=0$ (см. примечание 11 ).
15) Здесь подразумевается следующее. В $M_r$ существует движение, удовлетворяющее условию: при всяком вещественном $\tau$ найдутся числа $t_1$ и $t_2$ такие, что $t_1<\tau <t_2$ и что и при $t=t_1$, и при $t=t_2$ точка $P_t$ принадлежит рассматриваемой окрестности точки множества $M_r$.
16) Формулируем точное определение. Вероятность того, что в течение промежутка времени $[t_1,t_2]$ точка $P_t$ лежит в области $\mathrm{\Sigma }$, есть отношение
$$\frac{\mathrm{mes}\left(A[t_1,t_2]\right)}{t_2-t_1}$$

где $A$ — множество всех вещественных $t$, при которых $P_t$ лежит в $\mathrm{\Sigma }$, и mes $X$ означает лебегову меру множества $X$.

Так как множество $\mathrm{\Sigma }$ открыто и $P_t$ непрерывно зависит от $t$, то множество $A$ открыто, и потому числитель в выражении для вероятности существует.
17) Приводим точную формулировку этой важной теоремы.

Теорема. Какова бы ни была окрестность $\mathrm{\Sigma }$ множества $M_p$ и положительное число $\delta$, существует $L>0$ такое, что
$$W(P,\mathrm{\Sigma },t_1,t_2)⩾1-\delta$$

для любой точки $P$ и любых вещественных $t_{1}u{t}_2$, удовлетворяющих условию
$$t_2-t_1⩾L$$

при этом через $W(P,\mathrm{\Sigma },t_1,t_2)$ обозначена вероятность того, что $P_t$ лежит в $\mathrm{\Sigma }\kappa$ течение промежутка времени $[t_1,t_2]$ (см. предыдущее примечание).
18) Иначе говоря, доказываемая теорема (см. предыдущее примечание) верна при $p=1$. В самом деле, определим $N$ и $T$ согласно теореме, точно сформулированной в примечании 11. Положим
$$L=\frac{NT}{\delta }$$

и рассмотрим движение точки $P_t$ в течение промежутка времени $[t_1,t_2]$, где $t_2-t_1⩾L$. Если через $A$ обозначить множество всех $t$, при которых $P_t$ принадлежит $\mathrm{\Sigma }$, то дополнение к $A$ на числовой прямой содержится в сумме $N$ интервалов длины $T$. Следовательно,
$$t_2-t_1-\mathrm{mes}\left(A[t_1,t_2]\right)=\mathrm{mes}([t_1,t_2]-A)⩽NT=L\delta ⩽(t_2-t_1),$$

откуда, по определению вероятности (см. примечание 16), следует неравенство (1) примечания 17.
19) Строгое доказательство этой теоремы может быть основано на следующих леммах.
Лемма 1. Пусть $F_1$ и $F_2$ — два непересекающихся замкнутых множества пространства $M,P$ — точка этого пространства, $T>0$. Существует окрестность $\sigma$ точки $P$ такая, что при всяком $\tau$ не превыиаюшем $T$ по абсолютной величине, множество $\sigma$, имеем пустое пересечение по крайней мере с одним из множеств $F_i$.
Лемма 2. Пусть $A$ и $B$ — измеримые множества на числовой прямой $\eta >0,\zeta >0,a<b,c>0$. Если
$$\mathrm{mes}(A[a,b])⩾\eta (b-a)$$
$u$
$$\mathrm{mes}(B[t-c,t+c])⩾2\zeta c$$

при всяким $t$, принадлежащем $A$, то
$$\mathrm{mes}(B[a,b])⩾\eta \zeta (b-a)-\frac{c}{2}.$$

Мы прежде всего докажем теорему, основываясь на этих леммах, а затем докажем и самые леммы.

В доказательстве теоремы мы будем пользоваться трансфинитной индукцией. Так как теорема верна при $p=1$ (см. предыдущее примечание), то нам надо лишь доказать следующие два утверждения:
$\alpha$ ) Из справедливости теоремы для некоторого $M_p$ вытекает ее справедливость для $M_{p+1}$.
$\beta )$ Если $q$ есть предельное порядковое число, то из справедливости теоремы для всех $M_p(p<q)$ вытекает ее справедливость для $M_q$.

Доказательство утверждения ( $\alpha$ ). Допустим, что теорема верна для множества $M_p$, возьмем число $\delta >0$ и рассмотрим произвольную окрестность $\mathrm{\Sigma }$ множества $M_{p+1}$. Обозначим через ${\mathrm{\Sigma }}_1$ множество всех точек пространства $M$, расстояние которых от $M_{p+1}$ меньше, чем их же расстонние от $M-\mathrm{\Sigma }$. Тогда ${\mathrm{\Sigma }}_1$ также есть окрестность $M_{p+1}$ в силу замкнутости множества $M-\mathrm{\Sigma }$ и ${\overline{\mathrm{\Sigma }}}_1$ не пересекается с $M-\mathrm{\Sigma }$ в силу замкнутости множества $M_{p+1}$, причем $\overline{X}$ означает замыкание множества $X$. Множество ${\mathrm{\Sigma }}_1{M}_p$ есть поэтому окрестность $M_{p+1}$ в пространстве $M_p$.

Но $M_{p+1}$ связано с $M_p$ совершенно так же, как $M_1$ с $M$. Поэтому в силу уже доказанной справедливости теоремы при $p=1$ существует $L_1>0$ такое, что
$$W(P,{\mathrm{\Sigma }}_1,M_p,t_1,t_2)⩾1-\frac{\delta }{2},$$

какова бы ни была точка $P$, принадлежащая $M_p$, и каковы бы ни были числа $t_1,t_2$, удовлетворяющие условию $t_2-t_1⩾L_1$.

Обозначим теперь через $\gamma$ совокупность всех открытых множеств $\sigma$, удовлетворяющих условию: при всяком $\tau$, не превосходящем $\frac{L_1}{2}$ по абсолютной величине, множество ${\sigma }_{\tau }$ не пересекается с одним из множеств ${\overline{\mathrm{\Sigma }}}_1,M-\mathrm{\Sigma }$. Так как последние два множества замкнуты и не пересекаются друг с другом, то согласно лемме 1 элементы $\sigma$ множества $\gamma$ покрывают все пространство $M$.

Обозначим, далее, через ${\mathrm{\Sigma }}_2$ сумму всех элементов множества $\gamma$, пересекаюшихся с $M_p$. В силу только что сказанного, эти элементы покрывают $M_p$. Следовательно, ${\mathrm{\Sigma }}_2$ есть окрестность $M_p$ в пространстBe $M$.

Согласно предположению, отсюда следует существование числа $L_2>0$ такого, что
$$W(P,{\mathrm{\Sigma }}_2,t_1,t_2)⩾1-\frac{\delta }{2}$$

для всякой точки $P$ пространства $M$ и всяких вещественных $t_1$ и $t_2$, удовлетворяющих условию $t_2-t_1⩾L_2$.
Положим теперь
$$L=max[L_2,\frac{L_1}{{\delta }^2}]$$

и покажем, что так определенное число $L$ обладает желаемым свойством.
Пусть, в самом деле,
$$t_2-t_1⩾L$$

и $P$ — какая-либо точка пространства $M$.
Обозначим через $A$ множество всех $t$, при которых $P_t$, принадлежит ${\mathrm{\Sigma }}_2$, через $B$ множество всех $t$, при которых $P_t$ принадлежит $\mathrm{\Sigma }$. В силу неравенства (1) имеем:
$$\mathrm{mes}\left(A[t_1,t_2]\right)⩾(1-\frac{\delta }{2})(t_2-t_1),$$

так как $t_2-t_1⩾L⩾L_2$.
Возьмем теперь произвольное $t$, принадлежащее множеству $A$. По определению этого множества, точка $P_t$ принадлежит ${\mathrm{\Sigma }}_2$. По определению множества ${\mathrm{\Sigma }}_2$, существует элемент $\sigma$ множества $\gamma$, пересекающийся с $M_p$ и содержащий $P_t$. Возьмем точку $Q$, принадлежащую $\sigma M_p$, и обозначим через $C$ множество всех $\tau$, при которых $Q_{tau}$ принадлежит $M_p{\mathrm{\Sigma }}_1$. Согласно выбору числа $L_1$, имеем:
$$W(Q,{\mathrm{\Sigma }}_1,M_p,-\frac{L_1}{2},\frac{L_1}{2})⩾1-\frac{\delta }{2},$$

так как $Q$ принадлежит $M_p$. Отсюда
$$\mathrm{mes}\left(C[-\frac{L_1}{2},\frac{L_1}{2}]\right)⩾(1-\frac{\delta }{2})L_1.$$

Рассмотрим теперь произвольное $\tau$, принадлежащее множеству
$$C[-\frac{L_1}{2},\frac{L_1}{2}].$$

Так как $Q$ принадлежит $\sigma$, то $Q_{\tau }$ принадлежит ${\sigma }_{\tau }$. С другой стороны, $Q_{\tau }$ принадлежит ${\mathrm{\Sigma }}_1$, так как $\tau$ принадлежит $C$. Следовательно, ${\sigma }_{\tau }$ пересекается с ${\mathrm{\Sigma }}_1$ и тем более с ${\overline{\mathrm{\Sigma }}}_1$. А так как $|\tau |⩽\frac{L_1}{2}$ и $\sigma$ есть элемент множества $\gamma$, то ${\sigma }_{\tau }$ не пересекается с $M-\mathrm{\Sigma }$, т.е. содержится в $\mathrm{\Sigma }$. Принимая, наконец, во внимание, что $P_t$ принадлежит $\sigma$, заключаем отсюда, что $P_{t+\tau }$ принадлежит $\mathrm{\Sigma }$ и что $t+\tau$ принадлежит $B$. С другой стороны, $t+\tau$ принадлежит отрезку $[t-\frac{L_1}{2},t+\frac{L_1}{2}]$, так как $\tau$ принадлежит отрезку $[-\frac{L_1}{2},\frac{L_1}{2}]$. Мы доказали таким образом, что при всяком $\tau$, принадлежащем $C[-\frac{L_1}{2},\frac{L_1}{2}]$, число $t+\tau$ принадлежит $B[t-\frac{L_1}{2},t+\frac{L_1}{2}]$.
Принимая во внимание неравенство (4), получаем отсюда
$$\mathrm{mes}\left(B[t-\frac{L_1}{2},t+\frac{L_1}{2}]\right)⩾(1-\frac{\delta }{2})L_1,$$

что справедливо, таким образом, при всяком $t$, принадлежащем $A$.
Сопоставляя неравенства (3) и (5), применяя лемму 2 и принимая во внимание, что $t_2-t_1⩾L⩾\frac{L_1}{{\delta }^2}$, заключаем, что
$$\begin{array}{c}\mathrm{mes}\left(B[t_1,t_2]\right)⩾{(1-\frac{\delta }{2})}^2(t_2-t_1)-\frac{L_1}{4}⩾\\ ⩾[{(1-\frac{\delta }{2})}^2-\frac{{\delta }^2}{4}](t_2-t_1)=(1-\delta )(t_2-t_1).\end{array}$$

По определению множества $B$ это даст
$$W(P,\mathrm{\Sigma },t_1,t_2)⩾1-\delta ,$$

что, таким образом, верно, какова бы ни была точка $P$ и каковы бы ни были числа $t_1$ и $t_2$, удовлетворяющие условию (2). Этим утверждение $(\alpha$ ) доказано.

Доказательство утверждения ( $\beta$ ). Допустим, что теорема справедлива при всяком $p$, меньшем предельного порядкового числа $q$, и возьмем произвольную окрестность $\mathrm{\Sigma }$ множества $M_q$. Множества $M_p-\mathrm{\Sigma }$ $(p<q)$ образуют убывающую последовательность. Они замкнуты, и пересечение их есть $M_p-\mathrm{\Sigma }$, т. е. пустое множество. Так как пространство $M$, в котором все эти множества содержатся, есть замкнутое многообразие, то существует $p<q$, такое, что $M_p-\mathrm{\Sigma }$ есть пустое множество.

Для этого $p$ множество $\mathrm{\Sigma }$ является окрестностью $M_p$. Следовательно, согласно допущению существует $L⩾0$, такое, что
$$W(P,\mathrm{\Sigma },t_1,t_2)⩾1-\delta$$

для всякой точки $P$ и всяких чисел $t_1$ и $t_2$, удовлетворяющих условию (2). Этим доказано утверждение ( $\beta$ ).
Нам остается теперь доказать леммы 1 и 2.
Доказательство леммы 1. Вопреки лемме, допустим, что, какова бы ни была окрестность $\sigma$ точки $P$, существует число $\tau$, не превышающее $T$ по абсолютной величине и такое, что ${\sigma }_{\tau }$, пересекается с обоими множествами $F_i(i=1,2)$. Тогда существует сходящаяся к точке $P$ последовательность окрестностей ${\sigma }^1,{\sigma }^2,\dots$ и последовательность чисел ${\tau }^1,{\tau }^2,\dots$, не превышающих $T$ по абсолютной величине, такие, что ${\sigma }_{{\tau }^n}^n$ пересекается с обоими $F_i$, при $n=1,2,\dots$ Мы можем поэтому при всяком $n$ взять точки $Q^{n,i}(i=1,2)$ соответственно из множеств ${\sigma }_{{\tau }^n}^n{F}_i$. Положим $P^{n,i}=Q_{-{\tau }^n}^{n,i}$. Тогда $P^{n,i}$ принадлежит ${\sigma }^n$, и потому обе последовательности $P^{1,1},P^{2,1},\dots$ и $P^{1,2},P^{2,2},\dots$ сходятся к $P$.

С другой стороны, последовательность ${\tau }^1,{\tau }^2,\dots$ имеет точку сгущения $\tau$, так как $\left|{\tau }^n\right|⩽T(n=1,2,\dots )$. А так как $P_{{\tau }^n}^{n,i}=Q^{n,i}$, то, следовательно, $P_{\tau }$ является точкой сгущения обеих последовательностей $Q^{1,1},Q^{2,1},\dots$ и $Q^{1,2},Q^{2,2},\dots$ В силу замкнутости множеств $F_i(i=1,2)$ отсюда следует, что точка $P_{\tau }$ принадлежит обоим этим множествам, вопреки предположению. Так как к этому противоречию мы пришли в результате допущения неправильности леммы 1 , то последняя тем самым доказана.
Доказательство леммы 2. Положим
$$\chi (x,y)=\{\begin{array}{l}1\text{ при }x,\text{ принадлежащем }B[a,b],|y|⩽c,\\ 0\text{ в противном случае. }\end{array}$$

Имеем
$$\begin{array}{l}2c\mathrm{mes}(B[a,b])={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\chi (x,y)dxdy=\\ ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}dy{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\chi (y+z,y)dz={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}dz{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\chi (y+z,y)dy=\\ ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{mes}(B[a,b][z-c,z+c])dz⩾{\int }_a^b\mathrm{mes}(B[a,b][z-c,z+c])dz.\end{array}$$

Ho
$$\begin{array}{c}\mathrm{mes}(B[a,b][z-c,z+c])⩾\\ ⩾\mathrm{mes}(B[z-c,z+c])-max[0,a+c-z]-max[0,c-b+z].\end{array}$$

Следовательно,
$$\begin{array}{c}2c\mathrm{mes}(B[a,b])⩾{\int }_a^b\mathrm{mes}(B[z-c,z+c])dz-\\ -{\int }_a^{a+c}(a+c-z)dz-{\int }_{b-c}^b(c-b+z)dz,\end{array}$$

откуда согласно условию леммы:
$$2c\mathrm{mes}(B[a,b])⩾2\zeta c\mathrm{mes}(A[a,b])-c^2⩾2\eta \zeta c(b-a)-c^2,$$

что и дает доказываемое неравенство.
20) Связность совокупности $\omega$-предельных точек любого движения может быть доказана следующим образом.

Пусть $F$ — рассматриваемая совокупность $\omega$-предельных точек движения точки $P$. Допустим, что она не связна. Тогда она представляется как сумма двух непустых замкнутых множеств $F_1$ и $F_2$, не имеющих общих точек. Эти множества находятся на положительном расстоянии $\epsilon$ друг от друга. Обозначим через $G$, совокупность точек, находящихся на расстоянии, меньшем $\frac{\epsilon }{2}$, от $F_i$. Тогда $G_1+G_2$ есть совокупность точек, находящихся на расстоянии, меньшем $\frac{\epsilon }{2}$, от $F$. Следовательно, согласно доказанной в тексте теореме о приближении к $\omega$-предельному множеству существует число $\tau$, такое, что при всяком $t>\tau$ точка $P_t$ принадлежит одной из областей $G_i$. Она всегда принадлежит не более чем одной из них, так как эти области не имеют общих точек.

Обозначим через $A_i$ совокупность всех $t>\tau$ таких, что $P_i$ принадлежит $G_i$. В силу непрерывной зависимости $P_t$ от $t$ множества $A_i$ открыты. Они не имеют общих точек и в сумме дают всю полупрямую $t>\tau$. В силу связности последней отсюда следует, что одно из них пусто, а другое совпадает со всей полупрямой $t>\tau$. Допустим для определенности, что $A_2$ пусто. Тогда $P_t$ не принадлежит $G_2$ при всяком $t>\tau$, и потому точки множества $F_2$, содержащиеся в открытом множестве $G_2$, не являются $\omega$-предельными точками рассматриваемого движения. Так как $F_2$ не пусто, то это означает противоречие.
Следовательно, множество $F$ связно, что и требуется доказать.

21) Так как понятие совершенного множества кривых движения не определено, то фраза эта не имеет смысла. По-видимому, Биркгоф хочет сказать, что в случае, когда минимальное множество $\mathrm{\Sigma }$ не состоит из одной замкнутой кривой движения (которая в частности может вырождаться в точку), это множество содержит неисчислимое множество кривых движения, причем в окрестности любой точки любой из этих кривых содержатся точки, принадлежащие другим кривым. Докажем это свойство минимального множества $\mathrm{\Sigma }$.

Пусть $P$ — произвольная точка множества $\mathrm{\Sigma },\epsilon$ — произвольное положительное число. Согласно предположению кривая движения, проходящая через $P$, не может быть замкнута, так каю иначе множество $\mathrm{\Sigma }$ состояло бы только из этой кривой. Следовательно, при $t_{1}eq{t}_2$ имеем $P_{t_1}eq{P}_{t_2}$. Кроме того, согласно сказанному (см. 2-й абзац $\mathrm{\S }7$ ) каждая точка $P_t$ является $\omega$-предельной для рассматриваемой кривой движения.

В частности, сама точка $P=P_0$ является $\omega$-предельной. Следовательно, существует $t_1>1$, такое, что $\rho (P_0,P_{t_1})<\frac{1}{2}{\epsilon }_0$, где $\rho (X,Y)$ означает расстояние между точками $X$ и $Y$. Так как $t_1>1$, то точка $P_{t_1}$ не принадлежит дуге $P_{-1}{P}_1$ рассматриваемой кривой и потому находится от последней на положительном расстоянии ${\epsilon }_1$, Так как $\rho (P_0,P_{t_1})<\frac{{\epsilon }_0}{2}$, то, разумеется, ${\epsilon }_1<\frac{{\epsilon }_0}{2}$.

Точка $P_{t_1}$ является $\omega$-предельной. Следовательно, существует $t_2>$ $>t_1+1$ такое, что
$$\rho (P_{t_1},P_{t_2})<\frac{{\epsilon }_1}{2}.$$

Точка $P_{t_2}$ не принадлежит дуге $P_{-t_1}{P}_{t_1}$ и потому находится от последней на положительном расстоянии ${\epsilon }_2$ причем ${\epsilon }_2<\frac{{\epsilon }_1}{2}$, так как
$$\rho (P_{t_1},P_{t_2})<\frac{{\epsilon }_1}{2}.$$

Продолжая этот процесс, получаем две последовательности: $t_0=0$, $t_1,t_2,\dots$ и ${\epsilon }_0,{\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\dots$, удовлетворяющие условиям:
1) $t_{n+1}>t_n+1$
$$(n=0,1,2,\dots )\text{, }$$
2) $0<{\epsilon }_{n+1}<\frac{{\epsilon }_n}{2}$
$$(n=0,1,2,\dots )\text{, }$$
3) $\rho (P_{t_n},P_{t_{n+1}})<\frac{{\epsilon }_n}{2}$
$$(n=0,1,2,\dots )\text{, }$$
4) $\rho (P_{t_{n+1}},\stackrel{⏜}{P_{-t_n}{P}_{t_n}})={\epsilon }_{n+1}(n=0,1,2,\dots )$, где $\rho (X,A)$ означает расстояние между точкой $X$ и множеством $A$, а $n$ принимает значения $0,1,2,\dots$

В силу условий (2) и (3) последовательность точек $P_{t_0},P_{t_1},P_{t_2},\dots$ сходится к некоторой точке $Q$, причем $\rho (P,Q)<{\epsilon }_0$. В силу условия (1) эта точка является $\omega$-предельной для движения $P_t$ и потому принадлежит $\mathrm{\Sigma }$. В силу условий (2) и (3) имеем
$$\rho (P_{t_{n+1}},Q)<{\epsilon }_{n+1},$$

откуда, согласно (4), следует, что $Q$ не принадлежит никакой дуге $P_{-t_n}{P}_{t_n}$. Этим доказано, что для любой точки $P$ множества $\mathrm{\Sigma }$ и любого ${\epsilon }_0>0$ существует точка $Q$ этого же множества, отстоящая от $P$ менее, чем на ${\epsilon }_0>0$, и не лежащая на кривой движения, проходящей через $P$.

Теперь остается доказать, что $\mathrm{\Sigma }$ состоит из неисчислимого множества кривых движения. Мы сейчас докажем даже, что множество кривых движения, содержащихся в $\mathrm{\Sigma }$, имеет мощность континуума (см. статью Биркгофа «Queiques théorèmes sur les mouvements des systèmes dynamiques», Bull. Soc. Math. France, т. 40, 1912).

Для этого мы рассмотрим ( $n-1$ )-мерную площадку, пересекающую кривую движения, проходящую через точку $P$ в этой самой точке. Если эту площадку взять достаточно малой, то все кривые движения, содержащиеся в $\mathrm{\Sigma }$, будут пересекать ее в одном направлении. Мы возьмем ее гомеоморфной ( $n-1$ )-мерному евклидову пространству. Тогда, согласно уже доказанному, пересечение площадки с множеством $\mathrm{\Sigma }$ будет совершенным множеством относительно площадки.

Отсюда, как известно, следует, что это пересечение имеет мощность континуума. С другой стороны, каждая кривая движения имеет с рассматриваемой площадкой не более чем исчислимое множество общих точек. Из всего этого следует, что содержащиеся в $\mathrm{\Sigma }$ кривые движения образуют множество мощности континуума.