Значение движений рекуррентного типа для исследования любого произвольного движения можно видеть из следующего предложения.
Среди $\omega-(\alpha-)$ предельных движений любого данного движения существует по крайней мере одна рекуррентнал группа движений.
Обозначим через $\Sigma$ замкнутую совокупность всех $\omega$-предельных точек данного движения. Мы должны показать, что совокупность $\Sigma$ содержит минимальное подмножество.
Разделим $M$ на большое число малых областей, диаметром не больше $\varepsilon$, где $\varepsilon$ – выбранная нами положительная константа (первая сеть). Среди движений, принадлежащих $\Sigma$, найдется такое, которое проходит через наименьшее число этих малых областей, когда $t$ изменяется от $-\infty$ до $+\infty$. Пусть $\Sigma_{1}$ будет соответственное замкнутое множество, состоящее из кривых предельных движений. Это множество составляет часть $\Sigma$ и лежит целиком в тех же областях. Разложим эти маленькие области на еще более мелкие области, диаметром не больше $\varepsilon / 2$ (вторая сеть). Среди движений, принадлежащих $\Sigma_{1}$, будет такое, которое проходит через наименьшее количество этих новых областей при изменении $t$ от $-\infty$ до $+\infty$. Определим $\Sigma_{2}$, как соответствующее замкнутое множество, состоящее из кривых предельных движений; $\Sigma_{2}$ будет частью $\Sigma_{1}$.
Продолжая таким же образом, мы определим бесконечную последовательность $\Sigma_{1}, \Sigma_{2}, \ldots$ замкнутых, связных, состоящих из кривых движения совокупностей, каждая из которых содержится в предыдущих. Возьмем теперь в каждой $\Sigma_{n}$ какую-нибудь точку $P_{n}$ и пусть $P^{*}$ будет предельная точка совокупности точек $P_{n} . P^{*}$, разумеется, принадлежит $\Sigma$, как предельная точка последовательности точек множества $\Sigma$. Кроме того, так как $P_{n}$ содержится в $\Sigma_{m}(m \leqslant n)$, то предельная точка $P^{*}$ принадлежит $\Sigma, \Sigma_{1}, \ldots$ Следовательно, вся кривая движения, проходящая через $P^{*}$, принадлежит $\Sigma, \Sigma_{1}, \ldots$ (так как $\Sigma, \Sigma_{1}, \ldots$ состоят из кривых движения). Но отсюда и из способа определения совокупностей $\Sigma_{1}, \Sigma_{2}, \ldots$ следует, что кривая движения проходит через все области $R$-й сети, через которые проходит $\Sigma_{R}$, и, следовательно, ее предельными точками должны быть все точки общей части $\Sigma_{r}$ совокупностей $\Sigma, \Sigma_{1}, \Sigma_{2}, \ldots$
Тем же самым рассуждением можно показать, что любое движение, лежащее в $\Sigma_{r}$, имеет в качестве своей $\alpha$ – или $\omega$-предельной совокупности само множество $\Sigma_{r}$. Иначе говоря, $\Sigma_{r}$ представляет собою требуемое минимальное множество.
Ниже приводимая теорема показывает, что точка $P_{t}$ или порождает рекуррентное движение, или же она равномерно часто приближается к рекуррентным движениям.
Для всякого $\varepsilon>0$ существует промежуток $T$, настолько большой, что любая дуга $P_{t} P_{t+T}$ содержит хотя бы одну точку, лежацую на расстоянии, меньшем $\varepsilon$, от какой-нибудь группы рекуррентных движений.
Доказательство весьма просто. Допустив, что теорема неверна, мы можем найти для сколь угодно больших $T$ дуги кривых движения $P_{t} P_{t+2 T}$, не имеющие точек на расстоянии, меньшем $\varepsilon$, от рекуррентных точечных групп. Пусть теперь $P_{t+T}$, будет середина такой дуги. Если $P^{*}$ есть предельная точка точек $P_{t+T}$ для $\lim T=\infty$, то вся кривая движения, проходящая через $P^{*}$, очевидно, не содержит точек, лежащих на расстоянии, меньшем $\varepsilon$, от какой бы то ни было рекуррентной точечной группы. Но совокупности $\alpha$ – и $\omega$-предельных точек для этой кривой содержат каждая минимальное множество. Таким образом, мы приходим к противоречию, так как каждое движение в минимальном множестве по определению рекуррентно.
