Главная > ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ (Д.Бирктоф)
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

При таких обстоятельствах естественно ожидать, что пфаффовы уравнения, содержащие время $t$ с точкой обобщенного равновесия в начале координат, допускают формальное приведение к гамильтонову виду. Нетрудно доказать справедливость этого утверждения посредством небольшого изменения предыдущих рассуждений.

В случае такой точки равновесия уравнения можно записать в виде вариационной формулы:
\[
\delta \int_{t_{0}}^{t_{1}}\left[\sum_{j=1}^{2 m} X_{j}\left(x_{1}, \ldots, x_{2 m}, t\right) x_{j}^{\prime}+Z\left(x_{1}, \ldots, x_{2 m}, t\right)\right] d t=0,
\]

где $X_{i}(i=1, \ldots, m)$ и $Z$ суть периодические функции от $t$, или иначе формулами
\[
\sum_{j=1}^{2 m}\left(\frac{\partial X_{i}}{\partial x_{j}}-\frac{\partial X_{j}}{\partial x_{i}}\right) \frac{d x_{j}}{d t}+\frac{\partial X_{i}}{\partial t}-\frac{\partial Z}{\partial x_{i}}=0 \quad(i=1, \ldots, 2 m) .
\]

Прежде всего очевидно, что множители различны; это следует из рассмотрения того частного случая, когда речь шла об обычной точке равновесия.

Кроме того, мы опять можем привести уравнения вариации к нормальному виду посредством линейного преобразования, коэффициенты которого являются периодическими аналитическими функциями $t$ с периодом $\tau$. Нормализованные уравнения вариации будут иметь решения
\[
y_{i}=\delta_{i k}^{\lambda} k^{t} \quad(i=1, \ldots, 2 m),
\]

где $k=1, \ldots, 2 m$. Отсюда следует, что и для проблемы обобщенной точки равновесия множители разбиваются на пары $\lambda_{i},-\lambda_{i}\left({ }^{21}\right)$.

То же самое рассуждение показывает, что линейные члены в $P_{i}, Q_{i}$ могут быть частично так скомбинированы в некоторые полные производные, частично включенные в $R$, что мы придем к такому же, как и прежде, нормальному виду для членов первой степени в $P_{i}, Q_{i}$ и членов второй степени в $R$. И, наконец, мы пишем как в § 12 :
\[
p_{i}=\bar{p}_{i}, \quad q_{i}=\bar{q}_{i}+\bar{G}_{i 2} \quad(i=1, \ldots, m),
\]

где $\bar{G}_{i 2}$ имеет теперь коэффициентами периодические функции $t$ периода $\tau$.

Тогда посредством рассуждений, подобных $\S 12$, мы можем добиться, чтобы $Q_{i 2}=0$ для $i=1, \ldots, m$, а затем последовательно $Q_{i 3}=0$ и т. д.

Посредством надлежащего преобразования, принадлежащего к формальной группе, обобщенная пфаффова проблема периодического движения может быть сведена к гамильтоновой форме. Следовательно, нормальный вид гамильтоновых уравнений может служить также и в случае уравнений ІІФаффа.

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru