Случай $m$-мерной лагранжевой системы, имеющей характеристическую поверхность, которая может быть одно-однозначно и аналитически отображена на гиперсферу, представляет исключительный интерес, но как раз к этому случаю намеченный здесь метод минимакса не приложим, так как на таком многообразии не существует замкнутых кривых $l$, не сводимых в точку. Тем не менее и в этом случае можно установить существование периодических движений типа минимакса.

Для того, чтобы сделать рассуждение насколько возможно конкретным, мы остановим свое внимание на случае обратимой геодезической проблемы, хотя будет очевидно, что то же рассуждение можно применить к любой лагранжевой проблеме рассматриваемого типа, имеющей характеристическую поверхность, гомеоморфную гиперсфере.

Нашим первым шагом будет определить, что называется «покрытием» поверхности. Рассматривая сначала случай двумерной поверхности, предположим, что поверхность сферы приведена в одно-однозначное аналитическое соответствие с данной поверхностью. Малые круги на сфере, лежащие в плоскостях, перпендикулярных какой-нибудь оси, очевидно переходят при этом в систему замкнутых аналитических кривых (две из которых состоят из одной точки), покрывающих данную поверхность. Точки покрытия могут быть определены двумя угловыми координатами $\vartheta, \varphi$ на нашей поверхности, где $\varphi$ и $\vartheta$ означают соответственно долготу и дополнение до $\frac{\pi}{2}$ широты соответственной точки сферы относительно данной оси. Построенные нами кривые соответствуют $\vartheta=$ const, в то время как $\varphi$ изменяется от 0 до $2 \pi$. Координата $\vartheta$ может изменяться только от 0 до $\pi$, причем обоим крайним значениям $\vartheta$ соответствуют кривые, состоящие из одной точки.

Теперь представим себе, что это покрытие непрерывно деформируется. Этим мы хотим сказать, что все точки, непрерывно изменяясь, переходят в близкие точки, причем кривые покрытия переходят в новые кривые. Очевидно, что такое покрытие будет всегда действительно покрывать каждую точку по крайней мере однажды и не может свестись к точке ${ }^{1}\left({ }^{10}\right)$.

Подобным же образом в случае $m$-мерного многообразия мы строим систему малых кругов на гиперсфере
\[
x_{1}^{2}+\cdots+x_{m+1}^{2}=1
\]
$\left[x_{1}, \ldots, x_{m+1}\right.$ – прямоугольные координаты в $(m+1)$-мерном пространстве], определяемых уравнениями:
\[
\begin{array}{c}
x_{3}=x_{3}^{(0)}, \ldots, x_{m+1}=x_{m+1}^{(0)}, \\
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1-x_{3}^{(0) 2}-\cdots-x_{m+1}^{(0) 2} .
\end{array}
\]

В этом случае состоящие из одной точки окружности находятся в однооднозначном соответствии с ( $m-2)$-мерной гиперсферой.

Изображение этой системы кругов дает аналитическое покрытие нашей характеристической поверхности $M$.

Точки покрытия могут быть определены надлежащими координатами, и мы можем так же, как для двумерной поверхности, непрерывно деформировать это покрытие. Очевидно, что такое покрытие всегда будет покрывать каждую точку поверхности $M$ по крайней мере один раз $\left({ }^{11}\right)$.

Далее, длины изображений кругов в этом покрытии имеют верхнюю границу $L^{*}$. Мы можем также найти такое $d$, что две любые точки $M$, геодезическое расстояние которых в $M$ меньше, чем $d$, могут быть соединены единственной минимальной геодезической линией длины $\delta<d$. Пусть $n$ будет такое целое положительное число, что
\[
\frac{L^{*}}{n}<d \leqslant \frac{L^{*}}{n-1} .
\]

На изображении какого-нибудь круга возьмем точку $P_{1}$, для которой $\varphi=0$, и разделим всю кривую на $n$ дуг:
\[
P_{1} P_{2}, P_{2} P_{3}, \ldots, P_{n} P_{1},
\]
${ }^{1}$ Схема доказательства этого положения приведена в подстрочном примечании на стр. 246 моей уже цитированной статьи, и это доказательство легко распространяется на случай $m$-мерной гиперсферы.

равной длины, меньшей $d$. Проделаем это со всеми кругами. Пусть теперь на каждом круге точка $Q_{i}$ движется от $P_{i}$ к $P_{i+1}\left(P_{n+1}=P_{1}\right)$ таким образом, чтобы в каждый данный момент все дуги ( $\left.P_{i} P_{i+1}\right)$ делились точками $Q_{i}$ пропорционально, и рассмотрим дугу, состоящую из кратчайшей геодезической дуги $P_{i} Q_{i}$ и из дуги $Q_{i} P_{i+1}$ нашей кривой. Нетрудно видеть, что мы получаем таким образом непрерывную деформацию нашего покрытия. Но в начале деформации все дуги $P_{i} P_{i+1}$ были дугами наших кривых, а в конце они стали геодезическими дугами $P_{i} P_{i+1}$.

Таким образом, мы видим, что наше покрытие данными изображениями кругов можно непрерывно деформировать в покрытие замкнутыми кривыми $P_{1} \ldots P_{n} P_{1}$, состоящими каждая из $n$ геодезических дуг $\left(P_{1} P_{2}, \ldots, P_{n} P_{1}\right)$. Кроме того, очевидно, что максимум длины кривой этого нового покрытия не может превзойти $L^{*}$, а максимум длины геодезических дуг, составляющих эти кривые, меньше $d$.

Это преобразование составляет первый шаг к последовательности непрерывных изменений данного покрытия. Вторым шагом будет разделение всех кривых нового покрытия на $n$ равных частей, начиная с середины дуги $P_{1} P_{2}$. Таким образом, мы получаем дуги $Q_{1} Q_{2}, \ldots, Q_{n} Q_{1}$ и переходим к третьему покрытию, а именно, к покрытию кривыми, состоящими из геодезических дуг $Q_{1} Q_{2}, \ldots, Q_{n} Q_{1}$, каждая из которых имеет длину меньше $d$, причем замкнутые кривые нового покрытия не будут по длине превосходить $L^{*}$. Эта деформация может быть произведена таким же образом, как первая.

Начатый таким образом процесс последовательного деления кривых покрытия на $n$ частей и деформации покрытия может быть продолжен до бесконечности. В каждой данной стадии его отдельные геодезические дуги, из которых состоят кривые покрытия, имеют длину меньше, чем $d$, а длины самих кривых покрытия не превосходят $L^{*}$. Кроме того, результатом каждого шага будет уменьшение (или по крайней мере не увеличение) длины кривой.

Может случиться, что некоторые из промежуточных кривых обратятся в точки при этих преобразованиях, но это ни в какой мере не повлияет на наши рассуждения. Однако невозможно, чтобы максимальная длина кривых покрытия сделалась меньше $d$. Это легко видеть. В самом деле, в противном случае мы могли бы все кривые соответствующего покрытия деформировать в точки следующим образом: пусть каждая точка $Q$ кривой $P_{1} \ldots P_{n} P_{1}$ сдвигается к $P_{1}$ по единственной кратчайшей геодезической дуге, соединяющей ее с $P_{1}$, и притом так, что все точки всех кривых одновременно проходят пропорциональные расстояния. Таким образом, $m$-мерное покрытие делается самое большее ( $m-1$ )-мерным и не может проходить через все точки $M$, что противоречит сказанному выше.

В связи с этим последним рассуждением нужно заметить, что в каждой стадии производимых нами преобразований совокупность точек $P_{i}$ является аналитическим ( $m-1$ )-мерным многообразием, и потому не возникает никаких трудных теоретико-множественных вопросов, связанных с размерностью.

Таким образом, максимальная длина $L_{p}$ кривых $p$-го покрытия уменьшается (или по крайней мере не увеличивается) с увеличением $p$ и стремится к положительному пределу $L \geqslant d$.

Легко показать теперь, что соответствующая последовательность кривых покрытия
\[
P_{1}^{(p)} \ldots P_{n}^{(p)} P_{1}^{(p)} \quad(p=1,2, \ldots),
\]

длина которых как раз равна максимальной длине $L_{p}$, будет иметь предельную замкнутую геодезическую линию, имеющую длину $L$. Для этого мы сначала докажем следующую лемму, из которой все будет сразу следовать.
Лемма. Возьмем какую-нибудь замкнутую кривую, состоящую из п равных дуг $P_{1} P_{2}, \ldots, P_{n} P_{1}$, длиной каждая $\leqslant d$ и с общей длиною $\geqslant d$, и заменим ее кривой, состоящей из геодезических дуг, $P_{1} \ldots P_{n} P_{1} \quad и$ затем эту последнюю заменим кривой, состоящей из геодезических дуг $Q_{1} \ldots Q_{n} Q_{1}$, где точки $Q_{1}, \ldots, Q_{n}$ делят кривую $P_{1} \ldots P_{n} P_{1}$ на $n$ равных частей, причем точка $Q_{1}$ является серединой дуги $P_{1} P_{2}$. Если внешний угол между двумя последовательными геодезическими линиями $P_{i-1} P_{i}$ и $P_{i} P_{i+1}$ в какой-нибудь вершине превосходит $\delta>0$, то разность между длиной первоначальной кривой и длиной последней кривой $\left(Q_{1} \ldots Q_{n} Q_{1}\right)$ будет превосходить некоторое определенное положительное число, завислщее только от $\delta$.

Прежде всего мы заметим, что каждая из двух замен не увеличивает общую длину кривой. Следовательно, лемма будет, действительно, справедлива, если первый шаг значительно уменьшит длину кривой. Предположим, что первый шаг уменьшает длину кривой очень мало. Так как $n$ фиксировано раз навсегда, то это значит, что длина каждой из геодезических дуг $P_{i} P_{i+1}$ почти равна длине первоначальной дуги $P_{i} P_{i+1}$. По теореме Осгуда в вариационном исчислении, первоначальные дуги должны быть весьма близки к новым геодезическим дугам, а эти последние должны иметь почти равную длину. Следовательно, точки $Q_{i}$, делящие новую кривую на $n$ равных частей, лежат очень близко к серединам геодезических дуг $P_{i} P_{i+1}$. Отсюда следует, что если внешний угол в какой-нибудь вершине $P_{i}$ превосходит $\delta$, то сумма геодезических дуг $Q_{i-1} P_{i}$ и $P_{i} Q_{i}$ будет превосходить геодезическую дугу $Q_{i-1} Q_{i}$ на некоторое определенное (зависящее от $\delta$ ) положительное число. Отсюда непосредственно следует лемма. Таким образом, мы дали схему доказательства. Очевидно, что само доказательство носит такой характер, что подробная трактовка всех связанных с ним вопросов равномерности слишком удлинила бы его, однако приведенная схема доказательства дает достаточное представление об общем ходе рассуждения $\left({ }^{12}\right)$.

Из этой леммы сразу следует доказываемое утверждение. В самом деле, если бы все внешние углы во всех вершинах ломаных, состоящих из геодезических дуг, не стремились равномерно к нулю, то длины кривых нашей последовательности бесконечное число раз уменьшались бы больше чем на некоторое определенное положительное число, что, paзумеется, невозможно. Следовательно, эти внешние углы стремятся к нулю. Но точки $P_{1}^{(p)}$ имеют, по крайней мере, одну предельную точку $P_{1}$, и направления геодезических дуг имеют предельное направление, в силу чего существует предельная геодезическая линия, которая, разумеется, будет замкнута и как раз длины $L$.

Если т-мерная характеристическая поверхность $M$ гомеоморфна $m$-мерной гиперсфере, то существует, по крайней мере, одно периодическое движение, получаемое вышеприведенным процессом.

Естественно ожидать, что такое движение будет минимаксного типа, но мы не будем заниматься этим вопросом. В простейшем случае двух степеней свободы это предположение оказывается правильным.