Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§1. Пусть нам дана динамическая система с двумя степенями свободы. Будем рассматривать движения, соответствующие какомунибудь определенному значению полной энергии. В этом случае дифференциальные уравнения движения можно написать в следующем виде: В частности, в непосредственной окрестности периодического движения можно рассматривать независимую переменную $t$ как и периодическую (угловую) координату периода $2 \pi$, а $H$ — как периодическую функцию этой переменной, причем само периодическое движение будет соответствовать траектории $p=q=0$ в пространстве $(p, q, t)$. координаты $p, q$ в момент $t$ того движения, для которого при $t=0 p$ и $q$ обращаются соответственно в $p_{0}$ и $q_{0}$. Если $H$ представляет собою аналитическую функцию своих аргументов, то обе эти функции $p$ и $q$ будут также аналитическими относительно $p_{0}, q_{0}, t$. По прошествии промежутка времени, равного $2 \pi$, движущаяся точка окажется снова в плоскости $t=0^{4}$ с значениями координат $p$ и $q$, равными Отметим здесь, что почти все рассуждения, содержащиеся в этом мемуаре, остаются справедливыми в случае, когда $T$ выражается непрерывными функциями, имеющими непрерывные производные любого порядка. Таким образом, преобразование $T$, переводящее каждую точку $p, q$ в точку $p_{1}, q_{1}$, определяется формулами Легко показать, что это преобразование $T$ будет прямым, однооднозначным и аналитическим в окрестности инвариантной точки $p=0, q=0$, которая соответствует данному периодическому движению, и что кроме того это преобразование сохраняет площади: будет иметь два комплексных сопряженных корня где $\sigma$ — такое число, что отношение $\frac{\sigma}{2 \pi}$ иррационально. Ряды, формально выражающие координаты $p$ и $q$ в функции от $t$, будут в этом случае тригонометрического типа. При помощи преобразования $T$ мы можем поставить основную проблему устойчивости в следующей форме: будем повторять бесконечно преобразование $T$ (или $T^{-1}$ ) и рассмотрим последовательные образы некоторой точки $P$, находящейся от инвариантной точки $(0,0)$ на расстоянии, меньшем $\delta$. Всегда ли можно выбрать $\delta$ настолько малым, чтобы все эти образы лежали на расстоянии, меньшем $\varepsilon>0$ от этой точки, где $\varepsilon$ — произвольно заданное, сколь угодно малое число? Если это так, то движение будет устойчивым в строгом смысле этого слова. До сих пор эта весьма трудная проблема еще не разрешена во всей своей общности. Как отметил еще Пуанкаре ${ }^{1}$, для того, чтобы в каком-нибудь данном случае имелась устойчивость в указанном выше смысле, необходимо и достаточно, чтобы вокруг инвариантной точки существовали инвариантные кривые ${ }^{2}$ сколь угодно малого диаметра. В этом случае мы можем, очевидно, найти бесконечную последовательность $f_{1}, f_{2}, \ldots$ инвариантных кривых, сходящуюся к этой точке. где, вообще говоря, $m=1, c ограничено для всех $\vartheta_{1}, \vartheta_{2}$. преобразовании $T .{ }^{1}$ Если $c>0^{2}$, то инвариантная кривая $f_{1}$, будет содержать внутри себя инвариантную кривую $f_{2}$ при $\tau_{1}>\tau_{2}$, и, наоборот, если $f_{2}$ находится внутри кривой $f_{1}$, то будем иметь $\tau_{1}>\tau_{2}$. В первом случае мы имеем область неустойчивости около инвариантной точки, которая будет неустойчивой, согласно критерию Пуанкаре. В третьем случае мы будем иметь кольцеобразные зоны неустойчивости между каждыми двумя последовательными инвариантными кривыми $f_{1}$ и $f_{2}$, т. е. такими, что не существует никакого значения $\tau$ между $\tau_{1}$ и $\tau_{2}$; напомним, что совокупность значений $\tau$ замкнута. Эти кольцеобразные зоны неустойчивости обладают некоторыми замечательными свойствами, напоминающими в значительной мере свойства зоны неустойчивости для первого случая. В частности, можно найти точки в любой окрестности какой-нибудь точки одной границы кольцеобразной зоны неустойчивости, которые после нескольких итераций преобразования $T$ или $T^{-1}$ окажутся в окрестности другой границы этой области. До сих пор ни разу не было доказано существование таких кольцеобразных зон неустойчивости. Главной целью этой статьи будет доказательство их существования, при условии, что преобразование $T$ — аналитическое и что функция $H$ принадлежит к классу $C_{\infty}$, хотя, быть может, и не является аналитической. Если бы можно было пойти далее и доказать существование такой зоны вокруг начала (т.е. для случая, когда одна из кривых $f_{1}, f_{2}$ обращается в кривую $r=0$ ), то проблема устойчивости была бы разрешена в отрицательном смысле. Применяя видоизмененные полярные координаты $\rho=r^{2}, \vartheta$, мы можем написать преобразование $T_{0}$ в виде: Условие для того, чтобы какое-нибудь преобразование, выраженное посредством этих координат, сохраняло площади, заключается в том, чтобы соответственный функциональный определитель был равен единице $\left(^{2}\right)$. Выберем постоянную $\sigma$ таким образом, чтобы она была отрицательной, но большей, чем $-c(-c<\sigma<0$ ). В этом случае преобразование $T_{0}$ оставляет инвариантным не только начало, но и все точки окружности $\rho=-\frac{\sigma}{c}<1$ в круговой области $\rho \leqslant 1$. где Для $k$ достаточно малых мы видим, что это преобразование является прямым, одно-однозначным и аналитическим, и что оно приводится к тождественному преобразованию для $k=0$. Кроме того, начало координат и точки окружности $\rho=1$ остаются инвариантными, и площади сохраняются при преобразовании $R_{k}$ для всех значений $k$, что можно показать непосредственным вычислением функционального определителя. Следовательно, преобразования $R_{k}$ действительно обладают всеми указанными выше свойствами. Если мы выразим переменные $p_{1}, q_{1}$ в функции от $p, q$, то мы получим следующие ряды: Выраженные через координаты $\rho, \vartheta$, эти ряды принимают следующий вид: Мы не будем применять эти последние уравнения в непосредственной окрестности начала координат. § 10. Докажем теперь два других свойства вспомогательного преобразования $T_{k}$, а именно: Для того, чтобы доказать утверждение $f$, заметим, что при малых $k$ радиальные направления поворачиваются указанным образом по крайней мере для точек, близких к началу координат, потому что разложения $p_{1}, q_{1}$ в ряды по степеням $p, q$ имеют члены не выше четвертой степени, не зависящие от $k$, и изменяются как аналитические функции от $k$. С другой стороны, угол, на который поворачивается радиальное направление влево, будет аналитической функцией от $p, q$, исключая начало координат; эта функция положительна при $k=0$ (за исключением начала координат) и, следовательно, будет положительной вне некоторого круга $\rho=\delta>0$ при достаточно малых $k$. Для доказательства утверждения (g) нужно рассмотреть инвариантные точки преобразования $T_{k}$. Очевидно, что такие точки при малых $k$ могут существовать только в окрестности точки $\rho=0$ или окружности $\rho=-\frac{\sigma}{c}$, дающих инвариантные точки преобразования $T_{0}$. Точка $\rho=0$ является «простой» инвариантной точкой преобразования $T_{0}$. Следовательно, при малых $k$ всякая инвариантная точка преобразования $T_{k}$, лежащая в окрестности точки $\rho=0$, получается посредством аналитической вариации из начала координат. Но так как начало координат само есть инвариантная точка преобразования $T_{k}$ при всяком $k$, то отсюда следует, что $T_{k}$ не имеет никаких других инвариантных точек в окрестности начала координат, кроме самого начала. Для того, чтобы рассмотреть другие инвариантные точки, мы применим видоизмененные полярные координаты $\rho, \vartheta$. Преобразование $T_{k}$ может быть записано в этих координатах в виде: где В инвариантной точке имеем $\rho_{1}=\rho, \vartheta_{1}=\vartheta$, т. е. где $A_{1}, A_{2}, \ldots, B_{1}, B_{2}, \ldots$ суть аналитические функции от $\rho$ и $\vartheta$, периодические периода $2 \pi$ относительно $\vartheta$; кроме того эти ряды сходятся равномерно для тех значений $\rho$ и $\vartheta$, которые мы здесь рассматриваем (т. е. $0 \leqslant \delta \leqslant \rho \leqslant 1, \vartheta$ произвольно). Следовательно, первое из уравнений (11) показывает нам, что для всякого значения $\rho$, близкого к $-\frac{\sigma}{c}$, существуют два соответствующих значения $\vartheta$, удовлетворяющих этому уравнению, одно из которых близко к нулю, а другое — к $\pi$ : Здесь $f_{1}, f_{2}, \ldots, g_{1}, g_{2}, \ldots$ суть аналитические функции $\rho$. где $C_{1}, C_{2}, \ldots, D_{1}, D_{2}, \ldots$ — аналитические функция от $\rho$. Здесь коэффициенты $E_{1}, E_{2}, \ldots, F_{1}, F_{2}, \ldots$ — постоянные числа. Остается рассмотреть характеристические уравнения этих двух инвариантных точек. Если мы положим $k>0$, то первое уравнение, которое можно написать в виде будет иметь два вещественных корня $\lambda_{1}^{\prime}<1$ и $\lambda_{1}^{\prime \prime}>1$. Соответственная инвариантная точка будет, следовательно, простой и формально неустойчивой. Второе уравнение будет иметь следующий вид: Это уравнение имеет два комплексных сопряженных корня. Соответственная инвариантная точка будет также простой, но устойчивой с формальной точки зрения, во всяком случае, если мы выберем $k$ таким образом, что эти корни не будут корнями $n$-й степени из единицы. Следовательно, определенное таким образом преобразование $T_{k}$ будет обладать всеми указанными свойствами. Я утверждаю, что не может существовать только одна кривая этого рода. В противном случае эта кривая содержала бы две из асимптотических ветвей, исходящих из неустойчивой точки, и мы имели бы одну из двух возможностей, показанных на рис. 15. Рис. 15 В этих условиях, очевидно, остается только одна возможность, а, именно, мы будем иметь две инвариантные асимптотические кривые $f_{1}$ и $f_{2}$, образуемые четырьмя асимптотическими ветвями, исходящими из $I_{1}$ и совпадающими попарно. Этот случай изображен на рис. 16. Можно было бы надеяться доказать непосредственным вычислением невозможность этого предположения. В самом деле, представляется почти невероятным, чтобы эти ветви совпали указанным выше образом. Однако такое вычисление, по-видимому, было бы сложным, и я предпочитаю обойти трудности этого вычисления способом, изложенным в следующем параграфе. С другой стороны, последовательными итерациями преобразования $T^{*-1}=S^{-1} T_{k}^{-1}$ можно продолжить таким же образом нижнюю часть внешней ветви до точки $B$, где эта ветвь встречает $\gamma$. Если мы теперь повторим еще раз $T^{*-1}$, то мы должны начать с преобразования $S^{-1}$, которое не изменит уже имеющуюся часть кривой, и произвести затем преобразование $T^{-1}$, которое распространит ее до точки $B_{-1}=T^{-1}(B)$ вдоль той же асимптотической кривой, что и $T$. Следовательно, обе внешние асимптотические ветви преобразования $T^{*}$ пересекаются в точке $P$. Следовательно, для таких преобразований класса $C_{\infty}$ существуют кольцеобразные зоны неустойчивости. Заметим, что мы можем построить преобразования $T_{0, t}, R_{k, t}, S_{t}$, обладающие следующими свойствами: В самом деле, мы можем определить преобразование $T_{0, t}$ следующими формулами: Это преобразование, очевидно, будет обладать всеми тремя указанными свойствами. Подобным же образом мы можем определить $R_{k, t}$ слегка видоизмененными уравнениями (1): с той же функцией $u(p, q)$. Что касается $S_{t}$, то мы определим его так же, как $S$, но уменьшив вращение в круге $\gamma$ в отношении $t: 2 \pi$. Сложное преобразование $T_{t}^{*}=T_{0, t} R_{k, t} S_{t}$ будет тогда также обладать свойствами (a), (b), (c) (причем, разумеется, $T_{2 \pi}^{*}=T^{*}$ ). Применим теперь геометрическую интерпретацию, а, именно, будем рассматривать переменные $p, q, t$ как прямоугольные координаты точки в пространстве. При изменении $t$ от 0 до $2 \pi$ всякая точка ( $p, q, 0$ ) на плоскости $t=0$ переходит в точку ( $p_{1}, q_{1}, t_{1}$ ) на плоскости $t=t_{1}$, где ( $p_{1}, q_{1}$ ) есть образ точки $(p, q)$ при преобразовании $T_{t_{1}}^{*}$. Мы видим, следовательно, что всякая точка описывает траекторию, которая начинается в точке $(p, q, 0)$ и кончается в точке $\left(p_{1}, q_{1}, 2 \pi\right)$, где ( $\left.p_{1}, q_{1}\right)$ получается из $(p, q)$ посредством преобразования $T^{*}$. Совокупность всех этих траекторий заполняет цилиндрическую область $\rho \leqslant 1$ между двумя плоскостями $t=0$ и $t=2 \pi$, и направление единственной траектории, проходящей через любую точку ( $p, q, t)$, определяется дифференциальными уравнениями: где $\varphi$ и $\psi$ будут класса $C_{\infty}$ относительно $p, q$ и $t$, но не будут обязательно периодическими периода $2 \pi$ относительно $t$. Очевидно, что ось $t$ будет сама такой траекторией, и что, следовательно, Так как преобразование $T^{*}$ сохраняет площади при всех значениях $t$, очевидно, что состоящая из траекторий трубчатая область с площадью одного из оснований $d \sigma$ будет в пересечении со всякой плоскостью $t=$ const давать площадку той же величины $d \sigma$. Следовательно, объем элементарного цилиндра с площадью основания $d \sigma$ и высотою $d t$ будет всегда $d \sigma d t$. Отсюда следует, что поток жидкости, определенный дифференциальными уравнениями (15), т.е. уравнениями сохраняет объем. Но уравнение (16) показывает, что существует функция $H(p, q, t)$ класса $C_{\infty}$ относительно $p, q, t$ такая, что Эта функция становится полностью определенной, если прибавить условие $H(0,0, t)=0$. где функция $H$ вообще не будет периодической относительно $t$. В самом деле, такое преобразование $\bar{T}$ будет иметь две простые инвариантные точки, близкие к таким же точкам преобразования $T^{*}$, с почти теми же асимптотическими ветвями, которые, следовательно, пересекутся. С другой стороны, преобразование $\bar{T}$ будет вращать налево радиальные направления как в окрестности инвариантной точки [вследствие свойства (b)], так и на достаточно большом расстоянии от нее (благодаря тому, что $\bar{T}$ мало отличается от $T^{*}$. Для того, чтобы найти такую функцию $\bar{H}$, заметим, что на цилиндре $\rho=1$ В самом деле, из равенства $p^{2}+q^{2}=1$ в какой-нибудь момент следует то же равенство при всех $t$. Следовательно, Но это равенство требует, чтобы $H$ приводилось на поверхности цилиндра к функции одного только $t$, так что мы можем написать: где $J(p, q, t)$ принадлежит к классу $C_{\infty}$. Кроме того разложение $J(p, q, t)$ в степенной ряд до членов четвертого порядка определяет такое же разложение $H(p, q, t)$; заметим, что $J$, как и $H$, является аналитической функцией всюду, за исключением окружности $\gamma$. Кроме того, так как линия $p=q=0$ является траекторией, частные производные первого порядка функции $H$ по $p$ и $q$ тождественно обращаются в нуль в этой точке и тем же свойством обладает функция $J$. Выберем теперь (если возможно) функцию $\bar{J}$, мало отличающуюся от $J$, аналитическую по $p, q, t$ и имеющую то же разложение, что и $J$, до членов третьего порядка включительно. Рассмотрим соответственную функцию $\bar{H}$ : и определяемые ею гамильтоновы уравнения. Мы тотчас же видим, что соответствующее преобразование $\bar{T}$ будет обладать всеми требуемыми свойствами, в частности, свойствами (a) и (b). Допуская временно без доказательства почти очевидный факт существования такой функции $\bar{J}$ мы видим, что существуют кольцеобразные зоны неустойчивости для аналитических преобразований. Для того, чтобы обойти трудности, возникающие при этом способе рассуждения, мы допустим, что все частные производные $\bar{J}$ до четвертого порядка включительно, весьма мало отличаются от соответственных производных $J$; мы докажем существование такой функции $\bar{J}$ позднее ( $§ 17$ ). Очевидно, что при этих условиях всякое радиальное направление будет вращаться налево при преобразовании $\bar{T}$, так же как и при $T$. Обратную функцию $\chi^{-1}(\bar{t})$ мы будем считать класса $C_{\infty}$ и возрастающей от 0 до $2 \pi$ вместе с $t$, так что $\frac{d t}{d \bar{t}}$ положительно всюду, кроме точек $t=0$ и $t=2 \pi$, где все производные обращаются одновременно в нуль. После этого преобразования новые траектории будут иметь направления, параллельные оси $\bar{t}$ на обеих крайних плоскостях $\bar{t}=0$ и $\bar{t}=2 \pi$, и мы видим, что эти траектории будут всюду класса $C_{\infty}$. С этой новой независимой переменной дифференциальные уравнения сохраняют свою гамильтонову форму с новой главной функцией которая будет, очевидно, класса $C_{\infty}$ относительно $p, q, t$, периодической по $t$ периода $2 \pi$ и аналитической всюду, за исключением точек $t=0, \pm 2 \pi, \ldots$, если мы выберем за функцию $\chi^{-1}(\bar{t})$ функцию, аналитическую всюду в промежутке $(0,2 \pi)$, кроме точек $t=0$ и $t=2 \pi$. Это изменение независимой переменной не влияет на преобразование $T$, связанное с первоначальными дифференциальными уравнениями. Следовательно, кольцеобразные зоны неустойчивости существуют для динамических систем (1) с функией $H$ класса $C_{\infty}$ всюду и аналитической всюду, кроме, может быть, точек $t=0, \pm 2 \pi, \ldots$, и с функцией Т аналитической. С первого взгляда можно было бы подумать, что небольшая дополнительная модификация позволила бы нам найти функцию $H$ всюду аналитическую, но тут имеется затруднение, возникающее благодаря тому, что разложение функции $\bar{H}$ по степеням переменных $p, q$ содержит неаналитические коэффициенты, которые должны быть модифицированы. Тем не менее, я думаю, что этот метод можно действительно применить и, следовательно, можно найти функцию $H$, которая была бы всюду аналитической. Однако я этого еще не доказал. Во всяком случае, с точки зрения приложений представляется интересным как раз случай функции $H$ класса $C_{\infty}$. класса $C_{\infty}$, определенную при и обращающуюся в нуль вместе со всеми своими частными производными до ( $k-1$ )-го порядка включительно при $x_{1}=x_{2}=\ldots=x_{n}=0$. Можно тогда найти функцию $g\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, t\right)$, аналитическую относительно $x_{1}, \ldots, x_{n}, t$, обладающую теми же свойствами, и при этом такую, что функция $f-g$ и все ее частные производные до ( $k-1$ )-го порядка включительно будут сколь угодно малы в этой области. В самом деле, если мы вычтем из $J$ полином $P$, дающий разложение $J$ по степеням $p, q$ до членов четвертого порядка включительно, мы получим функцию $J^{*}$, к которой можно будет применить только что высказанную лемму. Полученное таким образом аналитическое приближение $K$ к $J^{*}$ (с $n=3, k=5$ ) дает нам искомое аналитическое приближение $K+P$ к функции $J$. Следовательно, если лемма не будет справедлива вообще (при любых $n$ и $k$ ), то найдется наименьшее $n>0$ и затем наименьшее $k>0$, при которых лемма не будет справедлива (для некоторой функции $f$ ). Но такую функцию $f$ мы можем написать в виде: где первый член является функцией от $n-1$ переменной $x_{i}$, тогда как второй содержит функцию $f_{1}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, t\right)$ класса $C_{\infty}$, обращающуюся при $x_{1}=\ldots=x_{n}=0$ в нуль вместе со своими частными производными по $x_{1}, \ldots, x_{n}$ до $(k-2)$-го порядка включительно. Следовательно, применяя последовательно два раза доказываемую лемму к этим двум функциям, мы найдем аналитическое приближение $\bar{g}\left(x_{1}, \ldots, x_{n-1}, t\right)$ $\kappa ~ f\left(x_{1}, \ldots, x_{n-1}, 0, t\right)$ и аналитическое приближение $g_{1}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, t\right)$ к $f_{1}$; но тогда дает нам искомое аналитическое приближение к $f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, t\right)$.
|
1 |
Оглавление
|