Мы уже определили два вида устойчивости: устойчивость первого порядка и полную или тригонометрическую устойчивость. В §2 было доказано, что для уравнений динамики (гамильтоновых и пфаффовых) из устойчивости первого порядка следует полная устойчивость. Некоторые другие виды устойчивости тоже представляют интерес.

На первое место в этом отношении, как теоретически наиболее важную, нужно поставить «перманентную устойчивость», при которой малые отклонения от состояния равновесия или периодического движения остаются малыми все время. Таков тип устойчивости обычного равновесия, когда потенциальная энергия имеет минимум. Уравнения динамики принадлежат к такому типу, для которого эта устойчивость может существовать, хотя, вообще говоря, вопрос о том, имеется она или нет в каком-нибудь данном случае, принадлежит к числу чрезвычайно трудных вопросов и составляет так называемую «проблему устойчивости». До сих пор эта проблема разрешена только для тех случаев, когда какой-нибудь известный сходящийся интеграл гарантирует существование подобной устойчивости перманентного типа.

Другим типом устойчивости будет тот, когда малые отклонения остаются таковыми в течение очень долгого промежутка возрастающего или убывающего времени. Достаточным условием такой «полуперманентной устойчивости» будет существование интеграла, выраженного формальными рядами, которые начинаются с однородного полинома, образующего определенную форму относительно зависимых переменных. Представляется вероятным, что небольшое изменение этого достаточного условия сделает его необходимым и достаточным. Разумеется, для полной устойчивости необходима полуперманентная устойчивость.

Наконец, Ляпуновым и другими был рассмотрен еще один вид устойчивости — «односторонняя устойчивость», при которой малые отклонения остаются малыми при $t>0$ и, вообще говоря, стремятся к нулю с безграничным увеличением $t^1\left({}^{28}\right)$. Легко показать, что если все $m$ множителей имеют отрицательные вещественные части, то мы будем иметь этот вид устойчивости. С другой стороны, для этой устойчивости необходимо, чтобы ни один из множителей не имел положительной вещественной части. В случае уравнений динамики, однако, вещественные части всех множителей не могут быть одновременно отрицательными, потому что каждому множителю ${\lambda }_i$ соответствует множитель $-{\lambda }_i$. Таким образом, односторонняя устойчивость для уравнений динамики возможна только в том случае, когда все множители будут чисто мнимые числа. В этом же случае из односторонней устойчивости какой-нибудь системы следует перманентная устойчивость.

Таким образом, для задач динамики важными типами устойчивости будут: полная или тригонометрическая устойчивость и упомянутая уже перманентная устойчивость. Мы вернемся позже (глава VIII) к важной проблеме о взаимоотношениях этих двух типов устойчивости.
${}^1$ Cм., например, Picard, «Traite d’Analyse», т. 3, гл. 8.