Главная > ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ (Д.Бирктоф)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Геодезические линии на эллипсоиде с полуосями a,b,c ( a>b> >c>0 ) известны со времен Якоби. Они появляются также в качестве общего решения интегрируемой гамильтоновой проблемы, так как частица, движущаяся по гладкому эллипсоиду без воздействия внешних сил, должна следовать по геодезической линии. Если теперь меньшая полуось c будет стремиться к нулю, в то время как остальные полуоси будут оставаться постоянными, то эллипсоид перейдет в эллипс. Геодезические линии будут состоять из прямолинейных отрезков, и два таких отрезка, принадлежащие одной и той же геодезической линии и следующие друг за другом, должны встречать эллипс под одинаковыми углами. Но такие ломаные линии суть идеализированные пути бильярдного шара на эллипсе. Разумеется, и эта проблема должна быть «интегрируемой».

Геометрическое свойство, соответствующее этой интегрируемости, хорошо известно: два следующих друг за другом отрезка суть всегда касательные к одному и тому же коническому сечению, имеющему те же фокусы, что и данный эллипс. Поэтому все движения делятся на аналитические семейства по соответствующим коническим сечениям.

Возможные состояния движения соответствуют точкам эллипса, рассматриваемым совместно со всевозможными направлениями. Таким образом, если x,y — координаты точки эллипса, а ψ — направляющий угол, то каждая тройка (x,y,ψ) дает состояние движения. Совокупность таких состояний, очевидно, является топологическим тором, если отвлечься от тех состояний (x,y,ψ), при которых (x,y) лежит на самом эллипсе. Но для таких точек тройки (x,y,ψ) и (x,y,ψ1) следует рассматривать как одно состояние, если ψ и ψ1 соответствуют двум
последовательным отрезкам. Поэтому многообразие состояний в этом случае замкнуто.

Мы имеем, таким образом, интегрируемую динамическую задачу с замкнутым многообразием состояний.

Здесь без всяких исключений можно определить преобразование T. Пусть ϑ будет переменная с периодом 2π, определяющая положение точки на эллипсе; φ — угол между направлением отскочившего бильярдного шара и положительным направлением касательной. Таким образом, 0φπ. Для каждой пары (ϑ,φ) существует непосредственно следующая пара (ϑ1,φ1). Совокупность состояний движения (ϑ,φ), соответствующих удару о борт, образует секущую поверхность S для всех возможных кривых движения, за исключением двух движений катания вдоль кривой. Эта секущая поверхность имеет вид кольца. Мы можем написать
(ϑ1,φ1)=T(ϑ,φ).

Так как эта проблема интегрируема, то на S мы имеем замкнутые инвариантные аналитические кривые, преобразуемые сами в себя при T и при T1. Все начальные состояния, определяющие отрезки, касательные к одному и тому же коническому сечению с теми же фокусами, что и у края стола, принадлежат одной или двум таким замкнутым кривым. Топологическую природу этих кривых очень легко определить.

Сейчас же видно, что существуют четыре рода движений: а) всюду плотные периодические движения, соответствующие некоторым из этих кривых ; b) всюду плотные рекуррентные, но не периодические движения, соответствующие другим кривым и образующие общий случай в смысле лебеговой меры; с) два семейства движений, асимптотически приближающихся к периодическому движению вдоль главной оси в обоих направлениях изменения времени; они соответствуют путям, проходящим через фокусы однажды и потому бесконечное множество раз; d) два движения катания по эллипсу в противоположных направлениях, которые также периодичны. Все периодические движения, за исключением движений вдоль короткой оси и двух движений катания, неустойчивы.

Таким образом, получается полное обозрение всех типов движения и их взаимоотношений, как и следовало ожидать в такой интегрируемой проблеме (2).

1
Оглавление
email@scask.ru