Геодезические линии на эллипсоиде с полуосями $a, b, c$ ( $a>b>$ $>c>0$ ) известны со времен Якоби. Они появляются также в качестве общего решения интегрируемой гамильтоновой проблемы, так как частица, движущаяся по гладкому эллипсоиду без воздействия внешних сил, должна следовать по геодезической линии. Если теперь меньшая полуось $c$ будет стремиться к нулю, в то время как остальные полуоси будут оставаться постоянными, то эллипсоид перейдет в эллипс. Геодезические линии будут состоять из прямолинейных отрезков, и два таких отрезка, принадлежащие одной и той же геодезической линии и следующие друг за другом, должны встречать эллипс под одинаковыми углами. Но такие ломаные линии суть идеализированные пути бильярдного шара на эллипсе. Разумеется, и эта проблема должна быть «интегрируемой».
Геометрическое свойство, соответствующее этой интегрируемости, хорошо известно: два следующих друг за другом отрезка суть всегда касательные к одному и тому же коническому сечению, имеющему те же фокусы, что и данный эллипс. Поэтому все движения делятся на аналитические семейства по соответствующим коническим сечениям.
Возможные состояния движения соответствуют точкам эллипса, рассматриваемым совместно со всевозможными направлениями. Таким образом, если $x, y$ – координаты точки эллипса, а $\psi$ – направляющий угол, то каждая тройка $(x, y, \psi)$ дает состояние движения. Совокупность таких состояний, очевидно, является топологическим тором, если отвлечься от тех состояний $(x, y, \psi)$, при которых $(x, y)$ лежит на самом эллипсе. Но для таких точек тройки $(x, y, \psi)$ и $\left(x, y, \psi_{1}\right)$ следует рассматривать как одно состояние, если $\psi$ и $\psi_{1}$ соответствуют двум
последовательным отрезкам. Поэтому многообразие состояний в этом случае замкнуто.
Мы имеем, таким образом, интегрируемую динамическую задачу с замкнутым многообразием состояний.
Здесь без всяких исключений можно определить преобразование $T$. Пусть $\vartheta$ будет переменная с периодом $2 \pi$, определяющая положение точки на эллипсе; $\varphi$ – угол между направлением отскочившего бильярдного шара и положительным направлением касательной. Таким образом, $0 \leqslant \varphi \leqslant \pi$. Для каждой пары $(\vartheta, \varphi)$ существует непосредственно следующая пара $\left(\vartheta_{1}, \varphi_{1}\right)$. Совокупность состояний движения $(\vartheta, \varphi)$, соответствующих удару о борт, образует секущую поверхность $S$ для всех возможных кривых движения, за исключением двух движений катания вдоль кривой. Эта секущая поверхность имеет вид кольца. Мы можем написать
\[
\left(\vartheta_{1}, \varphi_{1}\right)=T(\vartheta, \varphi) .
\]
Так как эта проблема интегрируема, то на $S$ мы имеем замкнутые инвариантные аналитические кривые, преобразуемые сами в себя при $T$ и при $T^{-1}$. Все начальные состояния, определяющие отрезки, касательные к одному и тому же коническому сечению с теми же фокусами, что и у края стола, принадлежат одной или двум таким замкнутым кривым. Топологическую природу этих кривых очень легко определить.
Сейчас же видно, что существуют четыре рода движений: а) всюду плотные периодические движения, соответствующие некоторым из этих кривых ; b) всюду плотные рекуррентные, но не периодические движения, соответствующие другим кривым и образующие общий случай в смысле лебеговой меры; с) два семейства движений, асимптотически приближающихся к периодическому движению вдоль главной оси в обоих направлениях изменения времени; они соответствуют путям, проходящим через фокусы однажды и потому бесконечное множество раз; d) два движения катания по эллипсу в противоположных направлениях, которые также периодичны. Все периодические движения, за исключением движений вдоль короткой оси и двух движений катания, неустойчивы.
Таким образом, получается полное обозрение всех типов движения и их взаимоотношений, как и следовало ожидать в такой интегрируемой проблеме $\left({ }^{2}\right)$.
