Существует один случай, когда прямое приложение метода минимума невозможно, а именно: случай характеристической поверхности, не содержащей не сводящихся в точку циклов. Интересно отметить, что даже в этом случае небольшое видоизменение метода минимума иногда может стать применимым.
Это будет во всех тех случаях, когда динамическая проблема «симметрична» в том смысле, что все точки характеристической поверхности можно разбить на пары симметричных точек, так что интеграл $I$ будет иметь одно и то же значение вдоль какой-нибудь кривой и вдоль
${ }^{1}$ См. мою уже цитированную статью (§14).
ее симметричного изображения. Если это условие удовлетворено, и, если мы будем считать локальные координаты $q_{1}, \ldots, q_{m}$ каждой точки пары одинаковыми, то $L_{0}, L_{1}, L_{2}$ будут тоже одинаковыми в симметрических точках.
Чтобы иллюстрировать заключающуюся здесь идею, будем считать, что поверхность $M$ лежит в обычном пространстве и симметрична относительно начала координат, но не проходит через него, так что если $x, y, z$ – координаты точки $M$, то $-x,-y,-z$ будут координатами симметрической точки $M$. Разумеется, $M$ считается связной и обладающей ранее указанными свойствами; в частности, $M$ может быть выпуклой поверхностью, симметричной относительно начала. Интеграл $I$ можно считать обыкновенной длиной дуги кривой, лежащей на поверхности $M$.
Возьмем теперь какую-нибудь кривую $l=A B C D A$ на $M$, такую, что $C D A$ есть изображение $A B C$ и, следовательно, $A$ и $C$ – симметрические точки. Будем непрерывно деформировать кривую каким угодно образом, но с единственным условием, чтобы она всегда состояла из двух симметричных дуг $A B C, C D A$.
Тогда интеграл $I$ вдоль кривой $l$ будет иметь абсолютный минимум, который будет достигнут на какой-нибудь кривой этого типа. В самом деле, нам достаточно принять симметрические точки за тождественные и рассмотреть интеграл $I$ вдоль замкнутой гривой на полученном посредством такого отождествления многообразии.
Если лагранжева проблема такого типа обладает симметрией в указанном выше смысле и если $l$ есть какой-нибудь симметрический замкнутый путь на характеристической поверхности $M$, то будет существовать симметрическое периодическое движение, эквивалентное $l$, для которого I есть абсолютный минимум.
В частности, пусть мы имеем замкнутую $m$-мерную аналитическую поверхность той же связности, что и гиперсфера, лежащую в $(m+1)$-мерном пространстве и симметричную относительно начала. Предыдущий результат немедленно прилагается к этой поверхности и указывает на существование по крайней мере одной геодезической линии без кратных точек.
В более общем случае, если лагранжева проблема этого типа допускает аналитическое преобразование в себя $T, k$-я степень которого представляет собою тождественное преобразование, и если $l$ есть замкнутый путь, инвариантный относительно $T$ и не сводимый в точку на $M\left({ }^{7}\right)$, то существует периодическое движение, эквивалентное $l\left({ }^{8}\right)$.
