Следующая динамическая проблема дает пример, показывающий, что подобные секущие поверхности могут существовать для гамильтоновых проблем с более чем двумя степенями свободы: частица $P$ в консервативном поле сил в пространстве движется таким образом, что сила всегда имеет положительную составляющую, направленную к некоторой определенной плоскости для точек, лежащих вне этой плоскости.

В этом случае уравнения движения образуют систему шестого порядка, а именно:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=x^{\prime}, \quad \frac{d y}{d t}=y^{\prime}, \quad \frac{d z}{d t}=z^{\prime}, \\
\frac{d x^{\prime}}{d t}=-\frac{\partial U}{\partial x}, \quad \frac{d y^{\prime}}{d t}=-\frac{\partial U}{\partial y}, \quad \frac{d z^{\prime}}{d t}=-\frac{\partial U}{\partial z}, \\
\end{array}
\]

где $x, y, z$ — прямоугольные координаты точки $P$ в пространстве и где за фиксированную плоскость мы можем принять плоскость $z=0$. Значит, $\partial U / \partial z$ имеет одинаковый знак с $z$, так что
\[
\frac{\partial U}{\partial z}=\lambda z
\]

где $\lambda$ — положительная аналитическая функция координат $x, y, z\left({ }^{15}\right)$. Интеграл энергии можно представить в виде:
\[
\frac{1}{2}\left(x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}\right)+U=0
\]
${ }^{1}$ B. O. Koopman, «On Rejection to Infinity and Exterior Motion in the Restricted Problem of Three Bodies», Trans. Amer. Math. Soc., vol. 29, 1927.

при условии, что мы включим в $U$ произвольную постоянную. Таким образом мы сосредоточим внимание на совокупности движений, удовлетворяющих этому последнему условию, понизив этим способом порядок системы с шестого на пятый. Мы будем рассматривать только тот случай, когда поверхность $U=0$ представляет собой замкнутую односвязную поверхность в пространстве, пересекающую плоскость $z=0$ по овалу, причем $U<0$ внутри поверхности. Частица в этом случае обязательно должна лежать в области $U \leqslant 0$.

Пятимерное многообразие $M$ состояний движения состоит из шестерок чисел $\left(x, y, z, x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)$, связанных между собой интегральным соотношением. Избранная секущая поверхность $S$ будет в этом случае представлять собой четырехмерную часть многообразия $M$, в которой $z$ обращается в нуль и $z^{\prime}=d z / d t \geqslant 0$. Трехмерная граница поверхности $S$, определяемая равенствами $z=z^{\prime}=0$, очевидно, состоит из линий потока, так как точка, для которой $z=z^{\prime}=0$, при какомнибудь значении $t_{0}$ времени $t$ будет иметь $z=z^{\prime}=0$ при любом $t$.
Но дифференциальное уравнение
\[
\frac{d^{2} z}{d t^{2}}+\lambda z=0
\]

показывает сразу, что $z$ обращается в нуль по крайней мере однажды в достаточно большом интервале времени $\tau$ и не может обращаться в нуль дважды в сколь угодно малом интервале времени $\left({ }^{16}\right)$. Следовательно, если мы будем двигаться от какой-нибудь точки, лежащей на $S$, вдоль линии потока в многообразии состояний движения, то пересечем $S$ опять в течение промежутка времени, равного $2 \tau$, в том же направлении, так как в $S$ мы имеем $d z / d t>0$.

Очевидно, что таким образом мы устанавливаем одно-однозначное аналитическое преобразование внутренних точек поверхности $S$ друг в друга. Кроме того, если $z, z^{\prime}$ малы, то мы имеем приближенно
\[
\frac{d^{2} z}{d t^{2}}+\lambda(x, y, 0) z=0,
\]

где $x, y$ суть координаты движения в плоскости вблизи данного движения. Но частное решение этого уравнения, для которого $z=0$ при $x=x_{0}, y=y_{0}, x^{\prime}=x_{0}^{\prime}, y^{\prime}=y_{0}^{\prime}$, причем, разумеется,
\[
\frac{1}{2}\left(x_{0}^{\prime 2}+y_{0}^{\prime 2}\right)+U\left(x_{0}, y_{0}, 0\right)=0
\]

обращается в нуль в точке $x_{1}, y_{1}, x_{1}^{\prime}, y_{1}^{\prime}$, причем
\[
\frac{1}{2}\left(x_{1}^{\prime 2}+y_{1}^{\prime 2}\right)+U\left(x_{1}, y_{1}, 0\right)=0,
\]

где $x_{1}, y_{1}, x_{1}^{\prime}, y_{1}^{\prime}$, очевидно, суть аналитические функции от $x_{0}, y_{0}, x_{0}^{\prime}, y_{0}^{\prime}$. Таким образом, мы видим, что преобразование $T$ поверхности $S$ можно рассматривать как одно-однозначное и непрерывное также и на границе $S$, при условии, что мы определим $T$ на границе как преобразующее точку
\[
x_{0}, y_{0}, 0, x_{0}^{\prime}, y_{0}^{\prime}, 0
\]

поверхности $S$ в точку
\[
\left.x_{1}, y_{1}, 0, x_{1}^{\prime}, y_{1}^{\prime}, 0 .{ }^{17}\right)
\]

Мы покажем теперь с помощью этого приведения к проблеме преобразования, что всегда существует периодическое движение, дважды пересекающее плоскость $z=0$, если только нет кратного периодического движения, лежащего в плоскости $z=0$.

Для того чтобы доказать это, рассмотрим связность секущей поверхности $S$. Очевидно, что мы можем так преобразовать переменные $x, y$ в новые $\bar{x}, \bar{y}$, что овал $z=0, U \leqslant 0$ перейдет в круг
\[
\bar{x}^{2}+\bar{y}^{2} \leqslant 1 \text {. }
\]

Если мы напишем теперь
\[
U=\frac{1}{2} p(\bar{x}, \bar{y})\left(\bar{x}^{2}+\bar{y}^{2}-1\right)
\]

где $p>0$ внутри этого круга, и если обозначим, далее,
\[
x^{\prime}=\sqrt{p} \bar{x}^{\prime}, \quad y^{\prime}=\sqrt{p} \bar{y}^{\prime}, \quad z^{\prime}=\sqrt{p} \bar{z}^{\prime},
\]

то уравнение поверхности $S$ принимает вид
\[
\bar{x}^{\prime 2}+\bar{y}^{\prime 2}+\bar{z}^{\prime 2}+\bar{x}^{2}+\bar{y}^{2}=1 \quad\left(\bar{z}^{\prime} \geqslant 0\right),
\]

что может быть переписано:
\[
\bar{z}^{\prime}=\left(1-\bar{x}^{2}+\bar{y}^{2}-\bar{x}^{2}-\bar{y}^{\prime 2}\right)^{1 / 2} .
\]

Следовательно, внутренние точки и граница $S$ находятся в однооднозначном и непрерывном соответствии с внутренними точками и границей четырехмерной гиперсферы:
\[
\bar{x}^{2}+\bar{y}^{2}+\bar{x}^{\prime 2}+\bar{y}^{\prime 2}=1 .
\]

Преобразование $T$ определяет одно-однозначное непрерывное отображение этой гиперсферы в себя.

Но по известной теореме, принадлежащей Брауверу, такое преобразование оставляет инвариантной какую-нибудь точку. Применяя эту теорему к рассматриваемой проблеме, мы заключаем, что существует периодическое движение, пересекающее $z=0$ дважды (случай внутренней инвариантной точки), или же существует периодическое движение $z=0$ (случай инвариантной точки на границе). Но этот последний случай есть тот, когда мы получаем уравнения $x_{1}=x_{0}, y_{1}=y_{0}$, $x_{1}^{\prime}=x_{0}^{\prime}, y_{1}^{\prime}=y_{0}^{\prime}$. Это значит, что уравнения вариации имеют периодическое решение вдоль этого плоского периодического движения, в котором компонента при $z$ не равна нулю. Следовательно, периодическое движение кратно, и в некотором смысле мы имеем все-таки периодическое движение в бесконечно малой окрестности плоскости $z=0$, пересекающее эту плоскость дважды. Представляется в высшей степени вероятным, что фактическое периодическое движение, дважды пересекающее плоскость $z=0$, должно существовать во всех случаях.