Пример, о котором мы упоминали в предыдущем параграфе, касается прямолинейного движения частицы в поле сил самого общего вида.

Выражаясь точнее, мы рассматриваем движение частицы $P$ единичной массы по прямой линии под действием силы $f(x,v)$, зависящей от пространственной координаты частицы $x$ и от ее скорости $v{.}^2$ Ради определенности мы предположим, что имеется одно и только одно положение равновесия на прямой движения и что рассматриваемое движение устойчиво в том смысле, что для $t>0x$ и $v$ остаются ограниченными по абсолютной величине.

Обычная форма уравнений движения выражается одним уравнением второго порядка:
$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=f(x,\frac{dx}{dt}),$$

где функция $f$ предполагается известной, причем мы будем считать, что она — аналитическая относительно обоих своих аргументов. Если мы поместим начало координат в точку равновесия, то будем иметь кроме того:
$$f(0,0)=0,f(x,0)eq0,\text{ если }xeq0.$$
${}^1$ Можно представить себе, что $p,q$ являются координатами на более сложной поверхности, но мы ограничимся здесь простейшим случаем плоскости.
${}^2$ Краткое изложение рассматриваемой здесь задачи см. в моей статье «Stabilità e Periodicita nella Dinamicas, Periodico di Matematiche, ser. 4, vol. 6, 1926.

Введем обозначение $dx/dt=y$ и заменим написанное выше уравнение второго порядка системой двух уравнений первого порядка:
$$\frac{dx}{dt}=y,\frac{dy}{dt}=f(x,y).$$

Эта система уравнений, очевидно, принадлежит к тем системам, для которых имеют место теоремы существования и единственности.

Если мы будем считать $x,y$ прямоугольными координатами точки $Q$ на плоскости, то возможные движения частицы соответствуют заполняющим плоскость $x,y$ аналитическим интегральным кривым, для которых
$$\frac{dy}{dx}=\frac{f(x,y)}{y}.$$

Единственной кривой, выродившейся в точку, будет начало координат, отвечающее точке равновесия. Остальные кривые имеют всюду касательную, непрерывно изменяющую свое направление, так как нигде, кроме начала координат, $dx/dt$ и $dy/dt$ на обращаются в нуль одновременно. Кроме того, угловой коэффициент касательной может обращаться в бесконечность только для точек, лежащих на оси $x$.
Рассмотрим теперь определенную интегральную кривую, соответствующую данному устойчивому движению. Пусть $Q_0$ (pис. 1) будет точка на этой кривой, соответствующая $t=0$. Для определенности предположим, что $Q_0$ лежит в верхней полуплоскости; изменения, которые следует сделать в наших рассуждениях, если $Q_0$ лежит в нижней полуплоскости, очевидны. Так как $dx/dt=y$ остается положительной до тех пор, пока точка $Q$, лежащая на интегральной кривой, не пересечет оси абсцисс,
Рис. 1 то $Q$ движется непрерывно вправо, если $t$ возрастает от своего начального значения 0 .
Но по предположению точка $Q$ лежит внутри достаточно большого квадрата, с центром в $O$ и сторонами длины $2M$, параллельными осям координат.

Следовательно, пока $t$, увеличиваясь, остается меньшим любого значения, при котором $Q$ пересечет ось абсцисс, $x$, которое тоже увеличивается и ограничено, стремится к некоторому пределу $\overline{x}$.

Если $t$ стремится к конечному пределу $\overline{t}$, когда $x$ стремится к $\overline{x}$, то по теореме существования движение может быть продолжено за $\overline{t}$;

но, разумеется, при этом уже не будет $y>0$ по определению $\overline{t}$. Следовательно, в этом случае мы должны иметь $\overline{y}=0$, и кривая пересекает ось абсцисс в точке $(\overline{x},0)$. Нужно заметить, что $\overline{x}$ не может быть нулем. В противном случае мы имели бы два решения, а именно, данное решение $x(t),y(t)$ и решение $x=0,y=0$, удовлетворяющие оба начальным условиям $x=0,y=0$ при $t=\overline{t}$, что противоречит теории единственности.

Если $t$ безгранично увеличивается, когда $x$ стремится к $\overline{x}$, то можно показать, что точка $(x,y)$ стремится к $(0,0)$. В самом деле, допустим противное. Очевидно, что так как $x$ постоянно возрастает, оставаясь все время меньше $M$ по абсолютной величине, а $y$ тоже остается все время меньше $M$ по абсолютной величине, то точка $(x,y)$ имеет пределом либо одну точку $(\overline{x},\overline{y})$, либо отрезок $(\overline{x},\overline{y})$, где ${\overline{y}}_0⩽y⩽{\overline{y}}_1$.

Но это последнее предположение, очевидно, потребовало бы бесконечно большой кривизны $x$ интегральной кривой вблизи точек ( $\overline{x},{\overline{y}}_0$ ) и $(\overline{x},{\overline{y}}_1)$. Так как $x$ выражается формулой
$$x=\frac{y(f_{x}y+f_{y}f)-f^2}{{(y^2+f^2)}^{3/2}}$$
(где $f_x,f_y$ обозначает частные производные $f$ по $x$ и $y$ ), то отсюда следовало бы, что $y^2+f^2$ было вблизи ( $\overline{x},{\overline{y}}_0$ ) и ( $\overline{x},{\overline{y}}_1$ ) бесконечно мало. Но это могло бы быть только в том случае, если $\overline{x},{\overline{y}}_0,{\overline{y}}_1$ все обращались в нуль, что противоречит сделанному предположению.

Следовательно, $y$ должно стремиться к некоторому пределу $\overline{y}$, когда $t$ безгранично возрастает $\left({}^1\right)$.
Очевидно теперь, что длина дуги интегральной кривой
$${\int }_0^t\sqrt{f^2+y^2}dt$$

безгранично увеличивается вместе с $t$, если только $(x,y)$, не стремится к $(0,0)$, а бесконечная длина дуги тоже требует бесконечной кривизны $\left({}^2\right)$.

Таким образом, мы получили, что либо $Q$ приближается к началу координат $O$ слева при безграничном возрастании $t$, либо $Q$ пересекает ось абсцисс в некоторой точке $Q_1=(x_1,0)$.

В этом последнем случае очевидно, что точка $Q$, перейдя через ось $x$, начнет двигаться влево. Совершенно теми же рассуждениями мы покажем, что или точка $Q$ при безграничном увеличении $t$ будет все время двигаться влево, приближаясь к точке $(0,0)$, или же она должна вновь пересечь ось абсцисс в точке $Q_2=(x_2,0)$ при $t=\bar{\overline{t}}$.

Точки $Q_1$ и $Q_2$ должны при этом лежать на оси $x$ по разные стороны от начала $O$. В самом деле, в противном случае $f(x_1,0)$ и $f(x_2,0)$ имели бы одинаковый знак [потому что $f(x,0)$, равное нулю, только при $x=0$ не обращалось бы в нуль между $x_1$ и $x_2]$, и точка $Q$ должна была бы двигаться вниз от $Q_2$, подобно тому, как она это делает в $Q_1$. Отсюда легко усмотреть, что $Q_1$ должно лежать справа, а $Q_2$ — слева от $O$.

В самом деле, $Q_1$ во всех случаях должно быть справа от начала, потому что, если бы $Q_1$, лежало слева, то частица при своем движении влево от $Q_1$ не могла бы стремиться к началу координат и, следовательно, должна была бы пересечь ось абсцисс в некоторой точке $Q_2$,лежащей, таким образом, с той же стороны от начала, что и $Q_1$.

Повторяя это рассуждение бесконечное число раз, приходим либо к конечному числу точек пересечения $Q_1,Q_2,\dots ,Q_n$ интегральной кривой с осью абсцисс, лежащих поочередно слева и справа от $O$, после последней из которых $Q$ стремится к $O$, либо к бесконечной последовательности точек пересечения $Q_1,Q_2,\dots$, тоже лежащих поочередно слева и справа от $O$.

Из топологии полученной фигуры очевидно $\left({}^3\right)$, что в последнем случае кривая может либо спиралеобразно удаляться от $O$, стремясь к некоторому ограничивающему овалу, окружающему $O$, либо образовывать сама такой овал, либо спиралеобразно приближаться к такому овалу извне (как показано на рис. 1), либо образовывать спираль, приближающуюся к точке $O$. Из элементарных теорем существования и единственности, разумеется, следует, что кривая не может пересекать или касаться самое себя.

Следовательно, мы имеем следующие, единственно возможные, типы устойчивого прямолинейного движения частицы в поле сил с одним положением равновесия:
a) Частица колеблется бесконечное число раз около положения равновесия с возрастающей амплитудой колебаний, стремясь асимптотически к периодическому движению.
b) Частица колеблется периодически около точки равновесия.
c) Частица колеблется бесконечное число раз около точки равновесия с убывающей амплитудой, стремясь к периодическому движению асимптотически.
d) Частица колеблется конечное или бесконечное число раз и стремится к положению равновесия.
е) Частица находится в положении равновесия ( ${}^4)$.
На основе приведенных рассуждений можно получить ясную картину всех возможных движений частицы под действием любого поля сил указанного типа.

Рассмотрим упорядоченное множество различных замкнутых кривых в плоскости $x,y$, отвечающих периодическим движениям. Все эти кривые, очевидно, должны заключать начало координат, которое можно рассматривать как первую, самую внутреннюю из этих кривых.

Какая-нибудь другая кривая движения может иметь точку между двумя периодическими кривыми, и в этом случае она будет лежать целиком между обеими кривыми и будет устойчива. Частица будет в этом случае приближаться асимптотически к одному из периодических движений, когда $t$ безгранично возрастает, и к другому, когда $t$ безгранично убывает.

Единственный другой случай, который может представиться, это случай кривой движения, лежащей снаружи от самой внешней (последней) кривой совокупности периодических движений $\left({}^5\right)$. Это движение, очевидно, будет устойчиво в одном и только в одном направлении и приближается асимптотически к периодическому движению, соответствующему внешней кривой, когда $t$ безгранично возрастает в этом направлении.