Пример, о котором мы упоминали в предыдущем параграфе, касается прямолинейного движения частицы в поле сил самого общего вида.

Выражаясь точнее, мы рассматриваем движение частицы $P$ единичной массы по прямой линии под действием силы $f(x, v)$, зависящей от пространственной координаты частицы $x$ и от ее скорости $v .^{2}$ Ради определенности мы предположим, что имеется одно и только одно положение равновесия на прямой движения и что рассматриваемое движение устойчиво в том смысле, что для $t>0 x$ и $v$ остаются ограниченными по абсолютной величине.

Обычная форма уравнений движения выражается одним уравнением второго порядка:
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=f\left(x, \frac{d x}{d t}\right),
\]

где функция $f$ предполагается известной, причем мы будем считать, что она – аналитическая относительно обоих своих аргументов. Если мы поместим начало координат в точку равновесия, то будем иметь кроме того:
\[
f(0,0)=0, \quad f(x, 0)
eq 0, \quad \text { если } x
eq 0 .
\]
${ }^{1}$ Можно представить себе, что $p, q$ являются координатами на более сложной поверхности, но мы ограничимся здесь простейшим случаем плоскости.
${ }^{2}$ Краткое изложение рассматриваемой здесь задачи см. в моей статье «Stabilità e Periodicita nella Dinamicas, Periodico di Matematiche, ser. 4, vol. 6, 1926.

Введем обозначение $d x / d t=y$ и заменим написанное выше уравнение второго порядка системой двух уравнений первого порядка:
\[
\frac{d x}{d t}=y, \quad \frac{d y}{d t}=f(x, y) .
\]

Эта система уравнений, очевидно, принадлежит к тем системам, для которых имеют место теоремы существования и единственности.

Если мы будем считать $x, y$ прямоугольными координатами точки $Q$ на плоскости, то возможные движения частицы соответствуют заполняющим плоскость $x, y$ аналитическим интегральным кривым, для которых
\[
\frac{d y}{d x}=\frac{f(x, y)}{y} .
\]

Единственной кривой, выродившейся в точку, будет начало координат, отвечающее точке равновесия. Остальные кривые имеют всюду касательную, непрерывно изменяющую свое направление, так как нигде, кроме начала координат, $d x / d t$ и $d y / d t$ на обращаются в нуль одновременно. Кроме того, угловой коэффициент касательной может обращаться в бесконечность только для точек, лежащих на оси $x$.
Рассмотрим теперь определенную интегральную кривую, соответствующую данному устойчивому движению. Пусть $Q_{0}$ (pис. 1) будет точка на этой кривой, соответствующая $t=0$. Для определенности предположим, что $Q_{0}$ лежит в верхней полуплоскости; изменения, которые следует сделать в наших рассуждениях, если $Q_{0}$ лежит в нижней полуплоскости, очевидны. Так как $d x / d t=y$ остается положительной до тех пор, пока точка $Q$, лежащая на интегральной кривой, не пересечет оси абсцисс,
Рис. 1 то $Q$ движется непрерывно вправо, если $t$ возрастает от своего начального значения 0 .
Но по предположению точка $Q$ лежит внутри достаточно большого квадрата, с центром в $O$ и сторонами длины $2 M$, параллельными осям координат.

Следовательно, пока $t$, увеличиваясь, остается меньшим любого значения, при котором $Q$ пересечет ось абсцисс, $x$, которое тоже увеличивается и ограничено, стремится к некоторому пределу $\bar{x}$.

Если $t$ стремится к конечному пределу $\bar{t}$, когда $x$ стремится к $\bar{x}$, то по теореме существования движение может быть продолжено за $\bar{t}$;

но, разумеется, при этом уже не будет $y>0$ по определению $\bar{t}$. Следовательно, в этом случае мы должны иметь $\bar{y}=0$, и кривая пересекает ось абсцисс в точке $(\bar{x}, 0)$. Нужно заметить, что $\bar{x}$ не может быть нулем. В противном случае мы имели бы два решения, а именно, данное решение $x(t), y(t)$ и решение $x=0, y=0$, удовлетворяющие оба начальным условиям $x=0, y=0$ при $t=\bar{t}$, что противоречит теории единственности.

Если $t$ безгранично увеличивается, когда $x$ стремится к $\bar{x}$, то можно показать, что точка $(x, y)$ стремится к $(0,0)$. В самом деле, допустим противное. Очевидно, что так как $x$ постоянно возрастает, оставаясь все время меньше $M$ по абсолютной величине, а $y$ тоже остается все время меньше $M$ по абсолютной величине, то точка $(x, y)$ имеет пределом либо одну точку $(\bar{x}, \bar{y})$, либо отрезок $(\bar{x}, \bar{y})$, где $\bar{y}_{0} \leqslant y \leqslant \bar{y}_{1}$.

Но это последнее предположение, очевидно, потребовало бы бесконечно большой кривизны $x$ интегральной кривой вблизи точек ( $\bar{x}, \bar{y}_{0}$ ) и $\left(\bar{x}, \bar{y}_{1}\right)$. Так как $x$ выражается формулой
\[
x=\frac{y\left(f_{x} y+f_{y} f\right)-f^{2}}{\left(y^{2}+f^{2}\right)^{3 / 2}}
\]
(где $f_{x}, f_{y}$ обозначает частные производные $f$ по $x$ и $y$ ), то отсюда следовало бы, что $y^{2}+f^{2}$ было вблизи ( $\bar{x}, \bar{y}_{0}$ ) и ( $\bar{x}, \bar{y}_{1}$ ) бесконечно мало. Но это могло бы быть только в том случае, если $\bar{x}, \bar{y}_{0}, \bar{y}_{1}$ все обращались в нуль, что противоречит сделанному предположению.

Следовательно, $y$ должно стремиться к некоторому пределу $\bar{y}$, когда $t$ безгранично возрастает $\left(^{1}\right)$.
Очевидно теперь, что длина дуги интегральной кривой
\[
\int_{0}^{t} \sqrt{f^{2}+y^{2}} d t
\]

безгранично увеличивается вместе с $t$, если только $(x, y)$, не стремится к $(0,0)$, а бесконечная длина дуги тоже требует бесконечной кривизны $\left({ }^{2}\right)$.

Таким образом, мы получили, что либо $Q$ приближается к началу координат $O$ слева при безграничном возрастании $t$, либо $Q$ пересекает ось абсцисс в некоторой точке $Q_{1}=\left(x_{1}, 0\right)$.

В этом последнем случае очевидно, что точка $Q$, перейдя через ось $x$, начнет двигаться влево. Совершенно теми же рассуждениями мы покажем, что или точка $Q$ при безграничном увеличении $t$ будет все время двигаться влево, приближаясь к точке $(0,0)$, или же она должна вновь пересечь ось абсцисс в точке $Q_{2}=\left(x_{2}, 0\right)$ при $t=\overline{\bar{t}}$.

Точки $Q_{1}$ и $Q_{2}$ должны при этом лежать на оси $x$ по разные стороны от начала $O$. В самом деле, в противном случае $f\left(x_{1}, 0\right)$ и $f\left(x_{2}, 0\right)$ имели бы одинаковый знак [потому что $f(x, 0)$, равное нулю, только при $x=0$ не обращалось бы в нуль между $x_{1}$ и $\left.x_{2}\right]$, и точка $Q$ должна была бы двигаться вниз от $Q_{2}$, подобно тому, как она это делает в $Q_{1}$. Отсюда легко усмотреть, что $Q_{1}$ должно лежать справа, а $Q_{2}$ – слева от $O$.

В самом деле, $Q_{1}$ во всех случаях должно быть справа от начала, потому что, если бы $Q_{1}$, лежало слева, то частица при своем движении влево от $Q_{1}$ не могла бы стремиться к началу координат и, следовательно, должна была бы пересечь ось абсцисс в некоторой точке $Q_{2}$,лежащей, таким образом, с той же стороны от начала, что и $Q_{1}$.

Повторяя это рассуждение бесконечное число раз, приходим либо к конечному числу точек пересечения $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}$ интегральной кривой с осью абсцисс, лежащих поочередно слева и справа от $O$, после последней из которых $Q$ стремится к $O$, либо к бесконечной последовательности точек пересечения $Q_{1}, Q_{2}, \ldots$, тоже лежащих поочередно слева и справа от $O$.

Из топологии полученной фигуры очевидно $\left({ }^{3}\right)$, что в последнем случае кривая может либо спиралеобразно удаляться от $O$, стремясь к некоторому ограничивающему овалу, окружающему $O$, либо образовывать сама такой овал, либо спиралеобразно приближаться к такому овалу извне (как показано на рис. 1), либо образовывать спираль, приближающуюся к точке $O$. Из элементарных теорем существования и единственности, разумеется, следует, что кривая не может пересекать или касаться самое себя.

Следовательно, мы имеем следующие, единственно возможные, типы устойчивого прямолинейного движения частицы в поле сил с одним положением равновесия:
a) Частица колеблется бесконечное число раз около положения равновесия с возрастающей амплитудой колебаний, стремясь асимптотически к периодическому движению.
b) Частица колеблется периодически около точки равновесия.
c) Частица колеблется бесконечное число раз около точки равновесия с убывающей амплитудой, стремясь к периодическому движению асимптотически.
d) Частица колеблется конечное или бесконечное число раз и стремится к положению равновесия.
е) Частица находится в положении равновесия ( $\left.{ }^{4}\right)$.
На основе приведенных рассуждений можно получить ясную картину всех возможных движений частицы под действием любого поля сил указанного типа.

Рассмотрим упорядоченное множество различных замкнутых кривых в плоскости $x, y$, отвечающих периодическим движениям. Все эти кривые, очевидно, должны заключать начало координат, которое можно рассматривать как первую, самую внутреннюю из этих кривых.

Какая-нибудь другая кривая движения может иметь точку между двумя периодическими кривыми, и в этом случае она будет лежать целиком между обеими кривыми и будет устойчива. Частица будет в этом случае приближаться асимптотически к одному из периодических движений, когда $t$ безгранично возрастает, и к другому, когда $t$ безгранично убывает.

Единственный другой случай, который может представиться, это случай кривой движения, лежащей снаружи от самой внешней (последней) кривой совокупности периодических движений $\left({ }^{5}\right)$. Это движение, очевидно, будет устойчиво в одном и только в одном направлении и приближается асимптотически к периодическому движению, соответствующему внешней кривой, когда $t$ безгранично возрастает в этом направлении.