В предыдущем параграфе мы рассматривали интегралы, линейные относительно скоростей и годные для всех значений постоянной энергии. Более трудную проблему представляет собою нахождение условного интеграла, годного для какого-нибудь определенного значения постоянной $c$ энергии, например, для $c=0$. В настоящем параграфе мы рассмотрим этот вопрос для случая системы с двумя степенями свободы. В этом случае, как было показано раньше, мы можем, совершив преобразование переменных, получить уравнения движения и интеграл энергии в нормальной форме:
$$x^{\prime \prime }+\lambda y^{\prime }={\gamma }_x,y^{\prime \prime }-\lambda x^{\prime }={\gamma }_y;\frac{1}{2}(x^2+y^2)=\gamma ,$$

где ${\gamma }_x$, например, означает $\partial \gamma /\partial x$.
Кроме того, так как всякое преобразование переменных сохраняет линейный характер (относительно $x^{\prime }$ и $y^{\prime }$ ) линейного интеграла, то мы можем написать искомый интеграл в виде
$$V\equiv l{x}^{\prime }+m{y}^{\prime }+n=k,$$

где подразумевается, что это соотношение должно иметь место в том случае, когда постоянная энергии обращается в нуль.

Если мы продифференцируем этот линейный интеграл по времени $t$, то получившееся уравнение должно обращаться в тождество, если принять во внимание написанные выше дифференциальные уравнения движения и интеграл энергии.

С помощью дифференциальных уравнений мы можем исключить $x^{\prime \prime }$ и $y^{\prime \prime }$. После того, как это будет сделано, мы получим уравнение, квадратичное относительно $x^{\prime }$ и $y^{\prime }$, которое должно обращаться в тождество в силу одного только интеграла энергии. В этом уравнении члены второй степени относительно $x^{\prime },y^{\prime }$ будут
$$l_x{x}^2+(l_y+m_x)x^{\prime }{y}^{\prime }+m_y{y}^{\prime 2}.$$

Для того, чтобы эта сумма комбинировалась с членами низших степеней в выражение, обращающееся в нуль, если принять во внимание интеграл энергии, она должна быть нижеследующего вида:
$$\rho (x^{\prime 2}+y^{\prime 2})\text{, }$$

откуда
$$l_x=m_y,l_y=-m_x,$$
T. e.
$$l=u_y,m=u_x,$$

где $u$ — гармоническая функция.
Мы можем теперь написать интеграл в виде
$$u_y{x}^{\prime }+u_x{y}^{\prime }+n=k\text{. }$$

Из сказанного в $\mathrm{\S }3$ следует, что дальнейшее произвольное конформное преобразование плоскости $x,y$ вместе с соответственным преобразованием аргумента $t$ сохранит нормальную форму дифференциальных уравнений и интеграла энергии. Для того чтобы упростить еще больше линейный интеграл, произведем преобразование координат $x,y$ в новые $\overline{x},\overline{y}$, определенные формулой
$$\overline{x}+i\overline{y}=\int \frac{dx+idy}{u_y+i{u}_x}(i=\sqrt{-1}).$$

Это, очевидно, представляет собою конформное преобразование. Обратное преобразование
$$x+iy=f(\overline{x}+i\overline{y})$$

будет тоже конформным, и мы имеем:
$$|f^{\prime }(\overline{x}+{i\overline{y}|}^2={\left|\frac{dx+idy}{d\overline{x}+id\overline{y}}\right|}^2=u_y^2+u_x^2.$$

Теперь определим преобразование $t$ формулой
$$dt=(u_y^2+u_x^2)d\overline{t}$$

Тогда мы, очевидно, получаем:
$${\overline{x}}^{\prime }+i{\overline{y}}^{\prime }=(u_y-i{u}_x)(x^{\prime }+i{y}^{\prime })$$

где ${\overline{x}}^{\prime }=\frac{d\overline{x}}{d\overline{t}},{\overline{y}}^{\prime }=\frac{d\overline{y}}{d\overline{t}}$. В частности, имеем, таким образом,
$${\overline{x}}^{\prime }=u_y{x}^{\prime }+u_x{y}^{\prime }.$$

Следовательно, после того, как мы произвели такое преобразование $\left({}^4\right)$, наш линейный интеграл примет форму (мы теперь опускаем черточки над $x,y,t)$ :
$$x^{\prime }+n=k.$$

Продифференцируем теперь этот интеграл по $t$ и исключим $x^{\prime \prime }$ при помощи первого уравнения Лагранжа. Мы получим тогда
$$n_x{x}^{\prime }+(n_y-\lambda )y^{\prime }+{\gamma }_x=0.$$

Это выражение должно тождественно обращаться в нуль в силу соотношения $x^{\prime 2}+y^{\prime 2}=2\gamma$. Следовательно, это выражение обращается в нуль тождественно относительно $x^{\prime }$ и $y^{\prime }$, что имеет место только в том случае, если $\lambda$ и $\gamma$ будут функциями одного $y$. В этом случае подходящим выбором $n$, а, именно, при $n=\int \lambda dy$, мы действительно можем добиться того, чтобы вышеприведенное выражение обращалось в нуль.

Если такая динамическая система с двумя степенями свободы и постоянной энергии, равной нулю, имеет условный интеграл, линейный относительно скоростей, то посредством подходящего преобразования координат и времени уравнения могут быть приведены к нормальному виду, с главной функцией $L$, равной
$$L=\frac{1}{2}(x^2+y^2)+n(y)x^{\prime }+\gamma (y),$$

и система содержит несущественную координату х. В этом интегрируемом случае кривые движения даются уравнениями:
$$\begin{array}{l}x=\int \frac{(c_1-n)dy}{\sqrt{2\gamma -{(c_1-n)}^2}}+c_2,\\ t=\int \frac{dy}{\sqrt{2\gamma -{(c_1-n)}^2}}+c_3.\end{array}$$