ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ (Д.Бирктоф)

РЕГУЛЯРНАЯ И ХАОТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА REGULAR \& CHAOTIC DYNAMICS
T0M VIII
Редакционный совет:
главный редактор: В. В. Козлов ответственный редактор: А. В. Борисов редактор-консультант: Ю. А. Данилов
Editorial Board:
Editor-in-Chief: $V$. V. Kozlov Managing Editor: A. V. Borisov Advisory Editor: Y. A. Danilov

Д.Биркгоф

ДИНАMKЧЕCKKE CKCTEMBI
перевод с английского Е. М.Ливенсона
под редакцией: А.А.Маркова, B.В.Немыцкого и В.В.Степанова
Редакция журнала
\”Регулярная и хаотическая динамика\”
Издательский дом
\”Удмуртский университет\”
1999

УдК 531.391
ББК 22.236 .3
Б 64
Библиотека «R\&C Dynamics», том VIII
Серия организована издательством «УРСС» и редакцией журнала «Регулярная и хаотическая динамика» в 1998 г.

Б 64 Дж.Д.Биркгоф
Динамические системы. – Ижевск: Издательский дом «Удмуртский университет», 1999. 408 стр.
ISBN 5-7029-0356-0
Классическая монография одного из самых значительных математиков этого века. После выхода этой книги динамические системы стали отдельной интенсивно развивающейся областью математики. Вышедшая в 1941 году на русском языке, она давно стала библиографической редкостью.
Предназначена для студентов и аспирантов, физиков и математиков, полезна для научных сотрудников и преподавателей.
ISBN 5-7029-0356-0
ББК 22.236.3
Оригинал-макет подготовлен в редакции журнала «Регулярная и хаотическая динамика» http://www.uni.udm.ru/rcd
(c) Редакция журнала «Регулярная и хаотическан динамика», 1999
(c) Издательский дом «Удмуртский университет», 1999

СЕРИЯ РЕГУЛЯРНАЯ И ХАОТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА
Предисловие
Предисловие редакторов перевода
Глава 1. Физическое рассмотрение динамических систем
§1. Вводные замечания.
§2.Теорема существования.
§3. Теорема единственности.
§4. Две теоремы о непрерывности.
§5. Некоторые обобщения.
§6. Принцип сохранения энергии ${ }^{1}$. Консервативные системы.
§7. Замена переменных в консервативной системе.
§8. Геометрические связи.
§9. Внутренняя характеризация лагранжевых систем.
§10. Внешняя характеризация лагранжевых систем ${ }^{1}$.
§11. Рассеивающие системы.
Глава 2. Вариационные принципы и их применение
§1. Алгебраический вариационный принцип.
§2. Принцип Гамильтона.
§3. Принцип наименьшего действия.
§4. Нормальная форма (две степени свободы).
§5. Несущественные координаты.
§6. Метод множителей.
§7. Общий случай интеграла, линейного относительно скоростей.
§8. Условные интегралы, линейные относительно скоростей.
§9. Интегралы, квадратичные относительно скоростей.
§10. Уравнения Гамильтона.
§11. Преобразование уравнений Гамильтона.
§12. Уравнения Пфаффа.
§13. О значении вариационных принципов.
Глава 3. Формальное рассмотрение динамических систем
§1. Вводные замечания.
§2. Формальная группа.
§3. Формальнье решения.
§4. Проблема равновесия.
§5. Проблема обобщенного равновесия.
§6. О гамильтоновых множителях.
§7. Нормализация $H_{2}$.
§8. Проблема точки равновесия для уравнений Гамильтона.
§9. Обобщенная гамильтонова проблема.
§10. о пфаффовых множителях.
§11. Предварительная нормализация пфаффовых уравнений.
§12. Проблема точки равновесия для уравнений Пфаффа.
§13. Обобщенная проблема Пфаффа.
Глава 4. Устойчивость периодических движений
§1. О приведении к обобщенному равновесию.
§2. Устойчивость пфаффовых систем.
§ 3. Неустойчивость пфаффовых систем.
§4. Полная устойчивость.
§5. Нормальный вид для вполне устойчивых систем.
§6. Доказательство леммы о тригонометрических суммах.
§7. Обратимость и полная устойчивость.
§8. Другие виды устойчивости.
Глава 5. Существование периодических движений
§1. Роль периодических движений.
§2. Пример системы двух уравнений.
§3. Метод минимума.
§4. Приложение к симметрическому случаю.
§5. Критерий Уиттекера и аналогичные результаты.
§6. Метод минимакса.
§7. Приложение к исключительному случаю.
§8. Обобщения Морса.
§9. Метод аналитического продолжения.
§10. Метод преобразования Пуанкаре.
§11. Пример ограниченной секущей поверхности.
Глава 6. Приложения геометрической теоремы Пуанкаре
§1. Периодические движения вблизи обобщенного равновесия ( $m=1$ ).
§2. Доказательство леммы § 1.
§3. Периодические движения вблизи данного периодического движения $m=2$.
§4. Некоторые замечания.
§5. Геометрическая теорема Пуанкаре ${ }^{1}$.
§6. Проблема бильярдного шара ${ }^{2}$.
§7. Соответствующее преобразование $T$.
§8. Свойство преобразования $T$ сохранять площадь.
§9. Приложения теоремы Пуанкаре к проблеме бильярдного шара.
§10. Геодезическая проблема.
§11. Применение теоремы Пуанкаре к проблеме геодезических линий.
Глава 7. Общая теория динамических систем
§1. Вводные замечания ${ }^{1}$.
§2. Блуждающие и неблуждающие движения.
§3. Последовательность $M, M_{1}, M_{2}, \ldots$
§4. Некоторые свойства центральных движений.
§5. О роли центральных движений.
§6. Группы движений.
§7. Рекуррентные движения.
§8. Произвольные и рекуррентные движения.
§9. Плотность специальных центральных движений.
§10. Рекуррентные и полуасимптотические центральные движения.
§11. Транзитивность и интранзитивность.
Глава 8. Системы с двумя степенями свободы
§1. Формальная классификация периодических движений.
§2. Распределение периодических движений устойчивого типа.
§3. Распределение предельно-периодических движений.
§4. Устойчивость и неустойчивость периодических движений.
§5. Устойчивый случай.
§6. Критерий устойчивости.
§ 7. Проблема устойчивости.
§8. Неустойчивый случай.
§9. Распределение движений асимптотических к периодическим движениям.
§10. О других типах движений.
§11. Пример транзитивной динамической проблемы.
§12. Интегрируемый случай.
§13. Понятие интегрируемости.
Глава 9. Проблема трех тел
§1. Вводные замечания.
§2. Уравнения движения и классические интегралы.
§3. Приведение системы к двенадцатому порядку.
§5. Неравенство Сундмана.
§6. Возможность соударения.
§ 7. Неограниченное продолжение движений.
§8. Дальнейшие свойства движений.
§ 9. Результат Сундмана.
§ 10. Приведенное многообразие состояний движения.
§11. Типы движения в $M_{7}$.
§12. Обобщение на случай большего числа тел и более общих законов силы.
ПРИЛОЖЕНИЯ
Обобщение последней геометрической теоремы Пуанкаре
§1. Введение.
§2. Формулировка теоремы.
§3. $\delta$-цепи. Лемма 1.
§4. Минимальные $\delta$-цепи.
§5. Вспомогательное преобразование $E$. Лемма 2.
§6. Вспомогательная кривая. Лемма 3.
§ 7. $\delta$-теорема.
§ 8. Завершение доказательства.
О динамической роли последней геометрической теоремы Пуанкаре ${ }^{1}$
Некоторые проблемы динамики ${ }^{1}$
1. Бильярдный шар на эллиптическом столе.
2. Частица на гладкой, замкнутой, выпуклой поверхности.
3. Частица на гладкой замкнутой поверхности повсюду отрицательной кривизны.
4. Задача трех тел.
О существовании областей неустойчивости в динамике
Доказательство эргодической теоремы ${ }^{1}$
Что такое эргодическая теорема? ${ }^{1}$
ПРИМЕЧАНИЯ РЕДАКЦИИ
К главе 1
К главе 2
К главе 3
К главе 4
К главе 5
К главе 6
К главе 7
К главе 8
ПРИМЕЧАНИЯ РЕДАКЦИИ К СТАТЬЕ «Обобщение последней геометрической теоремы Пуанкаре»
ПРИМЕЧАНИЯ РЕДАКЦИИ К СТАТЬЕ «О динамической роли последней геометрической теоремы Пуанкаре»
ПРИМЕЧАНИЯ РЕДАКЦИИ К СТАТЬЕ «Некоторые проблемы динамики»
ПРИМЕЧАНИЯ РЕДАКЦИИ К СТАТЬЕ «0 существовании областей неустойчивости в динамике»

ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ (Д.Бирктоф)

Оглавление