Определим понятия «стационарного интеграла». Пусть уравнения
\[
x_{i}=x_{i}(t, \lambda) \quad(i=1, \ldots, m)
\]
представляют систему функций, зависящих от параметра $\lambda$, причем при $\lambda=0$ мы получаем данную систему функций:
\[
x_{i}(t, 0)=x_{i}^{0}(t) \quad(i=1, \ldots, m) .
\]
Допустим, что функции $x_{i}(t, \lambda)$ непрерывны и имеют непрерывные первые и вторые частные производные по $t$ и $\lambda$, а также, что достаточно близко к концам рассматриваемого интервала $\left(t_{0}, t_{1}\right)$ эти функции обращаются в $x_{i}^{0}(t)$ тождественно при любом $\lambda$.
\[
x_{i}(t, \lambda)=x_{i}^{0}(t) \quad\left(t_{0} \leqslant t \leqslant t_{0}+\varepsilon, t_{1}-\varepsilon \leqslant t \leqslant t_{1}\right) .
\]
В этом случае интеграл
\[
I=\int_{t_{0}}^{t_{1}} F\left(x_{1}, \ldots, x_{m}, x_{1}^{\prime}, \ldots, x_{m}^{\prime}\right) d t
\]
где $F$ непрерывна вместе со своими частными производными первого и второго порядка, называется «стационарным» при $x_{i}=x_{i}^{0}(t)$, если для всякой системы функций описанного типа имеем:
\[
\delta I=\left.\frac{\partial I}{\partial \lambda}\right|_{\lambda=0} \delta \lambda=0 .
\]
Это равносильно уравнению
\[
\int_{t_{0}}^{t_{1}} \sum_{j=1}^{m}\left(\frac{\partial F}{\partial x_{j}} \cdot \frac{\partial x_{j}}{\partial \lambda}+\frac{\partial F}{\partial x_{j}^{\prime}} \cdot \frac{\partial x_{j}^{\prime}}{\partial \lambda}\right) d t=0
\]
при $\lambda=0$. Интегрируя по частям и заметив, что $\delta x_{i}=\frac{\partial x_{i}}{\partial \lambda} \delta \lambda$ обращаются в нуль на концах интервала ( $t_{0}, t_{1}$ ), получаем уравнение, эквивалентное предыдущему
\[
\int_{t_{0}}^{t_{1}} \sum_{j=1}^{m}\left[\frac{\partial F}{\partial x_{j}}-\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial F}{\partial x_{j}^{\prime}}\right)\right] \delta x_{j} d t=0 .
\]
В частности, мы можем взять
\[
x_{i}(t, \lambda)=x_{i}^{0}(t)+\lambda \delta x_{i} \quad(i=1, \ldots, m),
\]
где функции $\delta x_{i}$, суть произвольные непрерывные функции от $t$ с непрерывными производными первого и второго порядка, подчиненные только условию, что они обращаются в нуль достаточно близко от обоих концов интервала $\left(t_{0}, t_{1}\right)$.
Таким образом, найдем, что требование стационарности интеграла $I$ равносильно системе $m$ дифференциальных уравнений Эйлера относительно $x_{1}^{0}, \ldots, x_{m}^{0}$ :
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial F}{\partial x_{i}^{\prime}}\right)-\frac{\partial F}{\partial x_{i}}=0 \quad(i=1, \ldots, m) .
\]
В самом деле, написанный интеграл может обращаться в нуль для всех допустимых значений функций $x_{i}(t, \lambda)$, только если удовлетворены эти уравнения $\left.{ }^{1}{ }^{1}\right)$.
${ }^{1}$ См., например, O. Bolza, Vorlesungen über Variationsrechnung, гл. 1, где читатель найдет более полные формулировки и доказательства.
Но эти $m$ дифференциальных уравнений совершенно тождественны с уравнениями Лагранжа, в которых только $L$ заменено на $F$. Отсюда мы выводим следующий важный результат.
Уравненим Лагранжа можно придать вариационную форму, известную под названием принципа Гамильтона:
\[
\delta \int_{t_{0}}^{t_{1}} L d t=0
\]
Согласно принципу, приведшему нас к рассмотрению понятия вариации, мы можем произвести любую замену переменных в лагранжевых уравнениях посредством подстановки этих переменных в функцию $L$. От этого обстоятельства в значительной мере и зависит удобство лагранжевой формы уравнений.
