Как указано выше (§1), простейший подлежащий нашему рассмотрению случай – это случай обычной точки равновесия. В этом случае функции $X_{1}, \ldots, X_{n}$ не содержат $t$ в явном виде. Рассматривая этот случай, мы можем ограничиться теми преобразованиями формальной группы, которые не содержат времени $t$. Уравнения вариации принимают вид:
\[
\frac{d y_{i}}{d t}=\sum_{j=1}^{n} c_{i j} y_{i} \quad(i=1, \ldots, n),
\]

где постоянные $c_{i j}$ суть значения, принимаемые выражениями $\partial X_{i} / \partial x_{j}$ в начале координат. Прежде всего, мы остановимся на случае, когда $n$ корней $m_{1}, \ldots, m_{n}$ характеристического уравнения
\[
\left|c_{i j}-m \delta_{i j}\right|=0
\]

не связаны никаким соотношением вида
\[
i_{1} m_{1}+\ldots+i_{n} m_{n}=0,
\]

где $i_{1}, \ldots, i_{n}$ – целье числа, не равные одновременно нулю. Эти корни либо все вещественны, либо же некоторые вещественны, в то время как остальные комбинируются в пары сопряженных комплексных корней. Нужно отметить, что условие, наложенное нами на корни $m_{1}, \ldots, m_{n}$ [отсутствие соотношений типа (7)], исключает корень, равный нулю, и, следовательно, определитель $\left|c_{i j}\right|$ отличен от нуля.

Легко видеть, далее, что мы можем построить такую квадратную таблицу $l_{i j}(i, j=1, \ldots, n)$, что: 1) для каждого $k$ существует такое $i$, что $l_{i k}
eq 0 ; 2$ ) для каждого $k$ числа $l_{1 k}, \ldots, l_{n k}$ удовлетворяют $n$ однородным линейным уравнениям:
\[
\sum_{j=1}^{n} c_{i j} l_{j k}=l_{i k} m_{k} .
\]

Действительно, это следует из того обстоятельства, что определитель системы (8) есть как раз левая часть уравнения (6), в котором $m$ заменено на $m_{k}$, и, следовательно, он равен нулю.

Кроме того, определитель $\left|l_{i j}\right|$ отличен от нуля, что, разумеется, хорошо известно из обычной теории линейных преобразований; тем не менее, для полноты изложения мы приводим здесь этому доказательство. Действительно, предположим противное, т.е. что $\left|l_{i j}\right|=0$; тогда существуют такие множители $\rho_{1}, \ldots, \rho_{n}$, не равные одновременно нулю, что
\[
\sum_{j=1}^{n} l_{i j} \rho_{j}=0 \quad(i=1, \ldots, n) .
\]

Умножая уравнения (8) на $\rho_{k}(k=1, \ldots, n)$ и складывая их, получим:
\[
0=\sum_{k=1}^{n} l_{i k} m_{k} \rho_{k} .
\]

Таким образом $m_{i} \rho_{i}(i=1, \ldots, n)$ представляют собой другую систему подобных множителей. Повторяя то же рассуждение, мы убедимся последовательно в том, что $\rho_{i}, m_{i} \rho_{i}, m_{i}{ }^{2} \rho_{i}, \ldots$ образуют системы подобных же множителей. Далее, так как линейная комбинация множителей дает тоже систему множителей, то мы видим, что вообще
\[
\left(c_{0}+c_{1} m_{i}+c_{2} m_{i}^{2}+\ldots+c_{n-1} m_{i}^{n-1}\right) \rho_{i} \quad(i=1, \ldots, n)
\]

образуют систему множителей. Но $n$ выражениям, стоящим в скобках, могут быть при надлежащем выборе $c_{0}, \ldots, c_{n-1}$ приданы любые $n$ значения, так как корни $m_{i}$ все различны. В частности, коэффициент при каком-нибудь $\rho_{k}
eq 0$ может быть сделан равным единице, а все остальные – нулю. Но из этого следовало бы, что $l_{i k}=0(i=1, \ldots, n)$, что противоречит сделанным предположениям. Значит, $\left|l_{i k}\right|$ не может быть равным нулю.

Очевидно, что мы можем выбрать числа $\left|l_{i j}\right|$ таким образом, что в преобразовании
\[
x_{i}=\sum_{j=1}^{n} l_{i j} z_{j} \quad(i=1, \ldots, n)
\]

от переменных $x_{i}$ к $z_{i}$ переменные $z_{i}$ и $z_{j}$, соответствующие сопряженным комплексным корням $m_{i}$ и $m_{j}$, будут иметь сопряженные комплексные значения, когда $x_{1}, \ldots, x_{n}$ вещественны, и наоборот.

Произведем теперь эту замену переменных в рассматриваемом специальном типе дифференциальных уравнений (1). Уравнения, полученные подстановкой в (1) написанных выше линейных выражений от $z_{i}$ вместо $x_{i}$, будут иметь вид:
\[
\sum_{j=1}^{n} l_{i j} \frac{d z_{j}}{d t}=\sum_{j=1}^{n} l_{i j} m_{j} z_{j}+\ldots \quad(i=1, \ldots, n),
\]

где точками в правых частях обозначены члены относительно $z_{1}, \ldots, z_{n}$ выше первой степени. Вид слагаемых в правой части следует из характеристического вида (8) чисел $l_{i j}$. Из этих же формул следует, что уравнения относительно $z_{i}$ имеют вид:
\[
\frac{d z_{i}}{d t}=m_{i} z_{i}+\ldots \quad(i=1, \ldots, n),
\]

где выписаны только линейные члены.

Таким образом, мы можем привести уравнения к виду:
\[
\frac{d x_{i}}{d t}=m_{i} x_{i}+F_{i}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \quad(i=1, \ldots, n),
\]

причем $F_{i}$ может быть представлено в виде:
\[
F_{i}=F_{i 2}+F_{i 3}+\ldots \quad(i=1, \ldots, n),
\]

где $F_{i k}$ – однородный полином степени $k$ относительно $x_{1}, \ldots, x_{n}$.
Мы покажем теперь, что можно построить формальные ряды
\[
\varphi_{i}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\varphi_{i 2}+\varphi_{i 3}+\ldots \quad(i=1, \ldots, n)
\]

такие, что преобразование
\[
\bar{x}_{i}=x_{i}+\varphi_{i} \quad(i=1, \ldots, n)
\]

приведет наши дифференциальные уравнения к виду:
\[
\frac{d \bar{x}_{i}}{d t}=m_{i} \overline{x_{i}} \quad(i=1, \ldots, n),
\]

Это будет достигнуто, если мы так подберем $\varphi_{i}$, что уравнения
\[
\frac{d x_{i}}{d t}+\frac{d \varphi_{i}}{d t}=m_{i}\left(x_{i}+\varphi_{i}\right) \quad(i=1, \ldots, n)
\]

будут следовать из дифференциальных уравнений для $x_{i}$. Исключая при помощи этих уравнений $\frac{d x_{i}}{d t}$, мы получим искомые соотношения:
\[
F_{i}+\sum_{j=1}^{n} \frac{\partial \varphi_{i}}{\partial x_{j}}\left(m_{j} x_{j}+F_{j}\right)=m_{i} \varphi_{i} \quad(i=1, \ldots, n) .
\]

Разлагая $F_{i}$ и $\varphi_{i}$ в ряды, мы приведем эти уравнения к виду $(i=1, \ldots, n)$ :
\[
\begin{array}{l}
F_{i 2}+\sum_{j=1}^{n} \frac{\partial \varphi_{i 2}}{\partial x_{j}} m_{j} x_{j}=m_{i} \varphi_{i 2}, \\
F_{i k}+\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{\partial \varphi_{i k}}{\partial x_{j}} m_{j} x_{j}+\sum_{p+q=k+1} \frac{\partial \varphi_{i p}}{\partial x_{j}} F_{j q}\right)=m_{i} \varphi_{i k}, \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
\end{array}
\]

Рассмотрим первое уравнение, написанное для любого $i$. Оно, очевидно, представляет собою уравнение в частных производных относительно $\varphi_{i 2}$. Коэффициент $c_{i}$ члена
\[
c_{i} x_{1}^{l_{1}} \ldots x_{n}^{l_{n}} \quad\left(l_{1}+\ldots+l_{n}=2\right)
\]

в $\varphi_{i 2}$ может быть, очевидно, определен через подобный же коэффициент $d_{i}$ в $F_{i 2}$ посредством уравнения
\[
d_{i}+\left[l_{1} m_{1}+\ldots+\left(l_{i}-1\right) m_{i}+\ldots+l_{n} m_{n}\right] c_{i}=0 .
\]

Но стоящее в скобках выражение не равно нулю вследствие предположения относительно чисел $m_{i}$, так что из этих формул можно определить $c_{i}$. Следовательно, существует единственная система однородных квадратичных полиномов $\varphi_{i 2}$, удовлетворяющих для каждого $i$ первому из написанных выше уравнений.

Совершенно так же вторые уравнения определяют $\varphi_{i 3}$ единственным образом, так как уравнения, служащие для определения коэффициентов в $\varphi_{i 3}$, будут того же общего типа, что и для $\varphi_{i 2}$, с той только разницей, что в этом случае $l_{1}+\ldots+l_{n}=3$ и т. д.

Следовательно, оставляя в стороне вопрос о сходимости рядов, появлявшихся в этом рассуждении, мы приходим к следующему заключению.
Посредством формального преобразования
\[
x_{i}=f_{i}\left(z_{1}, \ldots, z_{n}\right)=\sum_{j=1}^{n} l_{i j} z_{j}+\frac{1}{2} \sum_{j, k=1}^{n} l_{i j k} z_{j} z_{k}+\ldots \quad(i=1, \ldots, n) \text {, }
\]

где определитель $\left|l_{i j}\right|
eq 0$, дифференциальные уравнения (1), имеющие в начале координат точку равновесия общего типа, могут быть приведены к нормальному виду
\[
\frac{d z_{i}}{d t}=m_{i} z_{i} \quad(i=1, \ldots, n)
\]

таким образом, что каждой паре сопряженных комплексных корней $m_{i}$ и $m_{j}$ будут соответствовать сопряженные переменные $z_{i} u z_{j}$.

Так как только что написанные нормальные уравнения интегрируемы и имеют общее решение
\[
z_{i}=c_{i} e^{m_{i} t} \quad(i=1, \ldots, n),
\]

то нижеследующее положение также оказывается справедливым.

Соответственное формальное решение уравнений (1) может быть написано в виде
\[
x_{i}=f_{i}\left(c_{1} e^{m_{1} t}, \ldots, c_{n} e^{m_{n} t}\right) \quad(i=1, \ldots, n),
\]

где $f_{i}$ суть те самые степенные ряды, которые участвуют в преобразовании уравнений (1) к нормальному виду.