Предположив, что точка равновесия рассматриваемой гамильтоновой системы есть точка равновесия общего типа, мы можем произвести преобразование переменных
\[
\left.\begin{array}{l}
p_{i}=\sum_{j=1}^{m}\left(d_{i j} \bar{p}_{j}+e_{i j} \bar{q}_{j}\right), \\
q_{i}=\sum_{j=1}^{m}\left(f_{i j} \bar{p}_{j}+g_{i j} \bar{q}_{j}\right)
\end{array}\right\} \quad(i=1, \ldots, m),
\]

которое приведет соответственные уравнения вариации к нормальному виду:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\frac{d P_{i}}{d t} & =-\lambda_{i} P_{i}, \\
\frac{d Q_{i}}{d t} & =\lambda_{i} Q_{i}
\end{array}\right\} \quad(i=1, \ldots, m) .
\]

Действительно, для этого приведения (см. §4) требовалось только, чтобы корни характеристического уравнения (6) были различны, что, в данном случае имеет место. Разумеется, пары соотнесенных переменных $\bar{p}_{i}, \bar{q}_{i}$ соответствуют парам соотнесенных корней $\lambda_{i},-\lambda_{i}$. Если $\lambda_{i}$ вещественно, то $\bar{p}_{i}, \bar{q}_{i}$ – тоже вещественные переменные. Если $\lambda_{i}$ чисто мнимое число, то $\bar{p}_{i}, \bar{q}_{i}$ – сопряженные комплексные числа.

Мы докажем теперь, что это линейное преобразование не разрушает гамильтонову форму дифференциальных уравнений.

Заметим, прежде всего, что уравнения вариации могут быть написаны в вариационной гамильтоновой форме:
\[
\delta \int_{t_{1}}^{t_{0}}\left[\sum_{j=1}^{m} P_{j} Q_{j}^{\prime}-H_{2}\left(p_{1}, \ldots, Q_{m}\right)\right] d t=0,
\]

в которой вместо $H$ поставлены его члены второй степени. После вышеприведенного преобразовании переменных эта формула, очевидно, принимает вид
\[
\delta \int_{t_{0}}^{t_{1}}\left[\sum_{j, k=1}^{m}\left(K_{j k} P_{j} P_{k}^{\prime}+L_{j k} Q_{j} P_{k}^{\prime}+M_{j k} P_{j} Q_{k}^{\prime}+N_{j k} Q_{j} Q_{k}^{\prime}\right)-H_{2}\right] d t=0,
\]

причем $H_{2}$ мы можем представить в виде:
\[
H_{2}=\sum_{j, k=1}^{m}\left(R_{j k} P_{j} P_{k}+S_{j k} P_{j} Q_{k}+T_{j k} Q_{j} Q_{k}\right) .
\]

В этих формулах мы опускаем черту над буквами $P_{j}, Q_{j}$ и т. п. Очевидно, мы можем положить
\[
R_{i j}=R_{j i}, \quad T_{i j}=T_{j i} \quad(i, j=1, \ldots, m) .
\]

Применяя к этому вариационному уравнению обычное лагранжево правило, мы получим уравнения вариации в новых переменных:
\[
\begin{aligned}
\frac{d}{d t}\left[\sum_{j=1}^{m}\left(K_{j i} P_{j}+L_{j i} Q_{j}\right)\right]-\sum_{j=1}^{m}\left(K_{i j} P_{j}^{\prime}+M_{i j} Q_{j}^{\prime}\right)+ \\
+\sum_{j=1}^{m}\left(2 R_{i j} P_{j}+S_{i j} Q_{j}\right)=0 \quad(i=1, \ldots, m), \\
\frac{d}{d t}\left[\sum_{j=1}^{m}\left(M_{j i} P_{j}+N_{j i} Q_{j}\right)\right]-\sum_{j=1}^{m}\left(L_{i j} P_{j}^{\prime}+N_{i j} Q_{j}^{\prime}\right)+ \\
+\sum_{j=1}^{m}\left(S_{j i} P_{j}+2 T_{i j} Q_{j}\right)=0, \quad(i=1, \ldots, m) .
\end{aligned}
\]

Но решения этих уравнений известны. В частности, мы имеем решение:
\[
P_{i}=\delta_{i k} e^{-\lambda_{k} t}, \quad Q_{i}=0 \quad(i=1, \ldots, m)
\]

которое, будучи подставлено в первое из вышеприведенных уравнений, дает тотчас же
\[
-\lambda_{k}\left(K_{k i}-K_{i k}\right)+2 R_{i k}=0 .
\]

Переставляя $i$ и $k$ и замечая, что $R_{k i}=R_{i k}$, получим, далее, для любых $i$ и $k$ :
\[
\left(\lambda_{i}+\lambda_{k}\right)\left(K_{k i}-K_{i k}\right)=0,
\]

откуда $K_{k i}=K_{i k}$ при $i$, отличном от $k$, так же как и при $i=k$. Отсюда следует, что $R_{i k}$ равно нулю для всех $i$ и $k$.

Подобным же образом, пользуясь второй группой уравнений, мы можем показать, что $N_{k i}=N_{i k}$ и что $T_{i k}$ равно нулю для всех $i$ и $k$. Таким образом, слагаемые
\[
\sum_{j, k=1}^{m} K_{j k} P_{j} P_{k}^{\prime}, \quad \sum_{j, k=1}^{m} N_{j k} Q_{j} Q_{k}^{\prime}
\]

оказываются полными производными и могут быть опущены под знаком интегралов в вариационной формуле. Уравнения вариации оказываются, таким образом, следующего, более частного вида:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d}{d t}\left[\sum_{j=1}^{m} L_{j i} Q_{j}\right]-\sum_{j=1}^{m} M_{i j} Q_{j}^{\prime}+\sum_{j=1}^{m} S_{i j} Q_{j}=0 \quad(i=1, \ldots, m), \\
\frac{d}{d t}\left[\sum_{j=1}^{m} M_{j i} P_{j}\right]-\sum_{j=1}^{m} L_{i j} P_{j}^{\prime}+\sum_{j=1}^{m} S_{j i} P_{j}=0 \quad(i=1, \ldots, m) .
\end{array}
\]

Для того, чтобы определить еще точнее эти уравнения, мы подставляем
\[
P_{i}=0, \quad Q_{i}=\delta_{i k} e^{\lambda} k^{t} \quad(i=1, \ldots, m)
\]

в первую группу этих уравнений и получаем для всех $i$ и $k$ :
\[
-\lambda_{k}\left(M_{i k}-L_{k i}\right)+S_{i k}=0
\]

Подобным же образом из второй группы уравнений получаем для всех $i$ и $k$ :
\[
-\lambda_{k}\left(M_{k i}-L_{i k}\right)+S_{k i}=0
\]

Переменяя местами $i$ и $k$ в последнем уравнении и сравнивая получившееся уравнение с предыдущим, получим для $i
eq k$ :
\[
M_{i k}=L_{k i}, \quad S_{i k}=0 .
\]

Следовательно, сумма
\[
\sum_{j, k=1}^{m}\left(L_{j k} Q_{j} P_{k}^{\prime}+M_{j k} P_{j} Q_{k}^{\prime}\right)
\]

отличается от суммы
\[
\sum_{j=1}^{m}\left(L_{j j} Q_{j} P_{j}^{\prime}+M_{j j} P_{j} Q_{j}^{\prime}\right),
\]

а, следовательно, и от суммы
\[
\sum_{j=1}^{m}\left(M_{j j}-L_{j j}\right) P_{j} Q_{j}^{\prime}
\]

на полную производную.
Таким образом, мы имеем право написать вариационный принцип в виде:
\[
\delta \int_{t_{0}}^{t_{1}}\left[\sum_{j=1}^{m}\left(M_{j j}-L_{j j}\right) P_{j} Q_{j}^{\prime}-\sum_{j=1}^{m} S_{j j} P_{j} Q_{j}\right] d t=0
\]

в наших новых переменных. Уравнения вариации будут ${ }^{1}$ :
\[
M_{i i}-L_{i i} Q_{i}^{\prime}-S_{i i} Q_{i}=0, \quad\left(M_{i i}-L_{i i}\right) P_{i}^{\prime}+S_{i i} P_{i} \quad(i=1, \ldots, n),
\]

так что мы должны иметь
\[
\left(M_{i i}-L_{i i}\right) \lambda_{i}=S_{i i} \quad(i=1, \ldots, m) .
\]

Рассмотрим теперь простейший случай, когда все корни $\lambda_{i}$ вещественны. В этом случае, если мы заменим вещественные переменные $P_{i}$ на
\[
\bar{P}_{i}=\left(M_{i i}-L_{i i}\right) P_{i} \quad(i=1, \ldots, m),
\]

то, как легко видеть, вариационный принцип примет вид:
\[
\delta \int_{t_{0}}^{t_{1}}\left[\sum_{j=1}^{m} P_{j} Q_{j}^{\prime}-\sum_{j=1}^{m} \lambda_{j} P_{j} Q_{j}\right] d t=0 .
\]

Эта дальнейшая замена переменных законна, так как в этом случае $p_{i}, q_{i}$ были определены только с точностью до постоянного вещественного множителя $\left.{ }^{7}\right)$. Отсюда следует, что выражение
\[
\sum_{j=1}^{m} P_{j} Q_{j}^{\prime}
\]
${ }^{1}$ Постоянные $M_{i i}-L_{i i}$ не равны нулю, так как уравнения вариации не вырождаются.

остается существенно $\left({ }^{8}\right)$ того же вида после нашего линейного преобразования.

Другой частный случай имеем, когда все $\lambda_{i}$ – чисто мнимые количества. В этом случае, выбирая подходящим образом пары $p_{i}, q_{i}$ мы можем, очевидно, написать чисто мнимые количества $M_{i i}-L_{i i}$ в виде $\rho_{i} \sqrt{-1}$, где $\rho_{i}>0\left({ }^{9}\right)$. Мы можем здесь заменить $P_{i}, Q_{i}$ на
\[
\bar{P}_{i}=\sqrt{\rho_{i}} P_{i}, \quad \bar{Q}_{i}=\sqrt{\rho_{i}} Q_{i} \quad(i=1, \ldots, m),
\]

после чего получается подобная предыдущей вариационная форма.
Очевидно, что эта самая линейная замена переменных должна сохранять первоначальную гамильтонову форму уравнения, так как выражение
\[
\sum_{j=1}^{m} p_{j} q_{j}^{\prime}
\]

остается существенно того же вида после этого преобразования $\left({ }^{10}\right)$.
Посредством надлежащего линейного преобразования с постоянными коэффициентами любая гамильтонова система с точкой равновесия общего типа может быть приведена к нормальной форме, для которой
\[
H_{2}=\sum_{j=1}^{m} \lambda_{j} p_{j} q_{j} \cdot\left({ }^{11}\right)
\]