В этом параграфе мы намерены охарактеризовать один важный тип лагранжевых систем через некоторые простые свойства внешних сил. А именно, мы собираемся охарактеризовать такие динамические системы, для которых лагранжева функция $L$ – квадратичная функция от скоростей, не имеющая членов первой степени, т. е. $L$ имеет вид $T-U$, где $T$ – однородная квадратичная функция скоростей, а $U$ зависит только от координат. Эти «регулярные» системы составляют важный класс динамических систем. Легко видеть, что регулярные системы остаются таковыми при любом преобразовании координат.

Мы приступим теперь к формулировке ряда свойств, характеризующих в совокупности этот класс систем.
Начнем со следующего свойства.
I. Внешние силы изменяются линейно при изменении составляюших ускорений.
Это свойство, очевидно, можно записать так:
\[
Q_{i}=\sum_{j=1}^{m} a_{i j} q_{j}^{\prime \prime}+b_{i},
\]
${ }^{1}$ Содержание этого параграфа было представлено Chicago Colloquium в 1920 г. Аналитическую характеризацию лагранжевых систем в случае, когда внешние силы линейны относительно скоростей, см. у E. Whittaker, Analytical Dynamics, стр. 45.

где $a_{i j}$ и $b_{i}$ – выражения, не содержащие ускорений.
II. ПРинцип взаимности ${ }^{1}$. Изменение ускорения $q_{j}^{\prime \prime}$, вызванное каким-нибудь изменением $i$-й силы $Q_{i}$, равно изменению ускорения $q_{i}^{\prime \prime}$, вызванному таким же изменением $j$-й силы $Q_{j}(i, j=1, \ldots, m)$.

Для того чтобы записать это свойство в виде формулы, положим, что $Q_{k}$ получает приращение $Q$, причем все $q_{i}$ и $q_{i}^{\prime}$ остаются неизменными.
Тогда написанные выше выражения дадут:
\[
Q \delta_{i k}=\sum_{j=1}^{m} a_{i j} \Delta_{1} q_{j}^{\prime \prime} \quad(i=1, \ldots, m),
\]

где $\delta_{i k}=1$, если $i=k$, и $\delta_{i k}=0$, если $i
eq k$, а $\Delta$ обозначает, как всегда, приращение.

Предположим теперь, что $Q_{l}$ получает такое же приращение $Q$. Будем иметь, подобно предыдущему,
\[
Q \delta_{i l}=\sum_{j=1}^{m} a_{i j} \Delta_{2} q_{j}^{\prime \prime}
\]

Если мы положим, что определитель $\left|a_{i j}\right|$ не равен нулю, то эти уравнения можно разрешить относительно $\Delta q_{j}^{\prime \prime}$ и получить для всех $i, k, l$ :
\[
\Delta_{1} q_{i}^{\prime \prime}=\sum_{j=1}^{m} \bar{a}_{i j} Q \delta_{j k}=\bar{a}_{i k} Q ; \Delta_{2} q_{i}^{\prime \prime}=\bar{a}_{i l} Q,
\]

где $\bar{a}_{i j}$ – алгебраическое дополнение элемента $a_{j i} j$-й строки и $i$-го столбца матрицы $\| a_{i j}||$, деленное на определитель $\left|a_{i j}\right|$. Из принципа взаимности (свойство II) получим, положив сперва $i=l$, а потом $i=k$, $\bar{a}_{l k}=\bar{a}_{k l}$. Таким образом, алгебраические дополнения элементов определителя $\left|a_{i j}\right|$ симметричны относительно $i$ и $j$, следовательно, симметричны и сами элементы $a_{i j}$, т. е. мы имеем $a_{i j}=a_{j i}$ для всех $i$ и $j$.
III. Для семейства подобных движений силы суть квадратичные функции быстроты движения.

Другими словами, пусть $q_{i}=q_{i}(t)(i=1, \ldots, m)$ – движение системы, и положим, что это движение ускорено в отношении $\lambda$ к 1 .
${ }^{1}$ Cp. Rayleigh, Theory of Sound, т. 1, гл. 4.

Внешние силы тогда будут:
\[
\begin{array}{c}
Q_{i}=\sum_{j=1}^{m} a_{i j}\left(q_{1}, \ldots, q_{m}, \lambda q_{1}^{\prime}, \ldots, \lambda q_{m}^{\prime}\right) \lambda^{2} q_{j}^{\prime \prime}+ \\
\quad+b_{i}\left(q_{1}, \ldots, q_{m}, \lambda q_{1}^{\prime}, \ldots, \lambda q_{m}^{\prime}\right)
\end{array}
\]

поскольку координаты $q_{i}$ останутся неизменными, в то время как скорости $q_{i}^{\prime}$ и ускорения $q_{i}^{\prime \prime}$ увеличатся соответственно в $\lambda$ и $\lambda^{2}$ раз.

Если мы хотим, чтобы эти выражения для $Q_{i}$ были квадратичными функциями $\lambda$ ( $q_{i}, q_{i}^{\prime}, q_{i}^{\prime \prime}$ тут, конечно, совершенно независимые переменные), то функции $a_{i j}$ должны быть независимыми от скоростей, а $b_{i}$ должны быть квадратичными функциями таковых. Таким образом, на основании свойства III мы можем написать:
\[
Q_{i}=\sum_{j=1}^{m} a_{i j} q_{j}^{\prime \prime}+\sum_{j, k=1}^{m} b_{i j k} q_{j}^{\prime} q_{k}^{\prime}+\sum_{j=1}^{m} b_{i j} q_{j}^{\prime}+b_{i},
\]

где величины $a_{i j}, b_{i j k}$ суть функции только координат $q_{1}, \ldots, q_{m}$.
Это выражение еще более уточняется при следующем предположении.
IV. Оьратимость. Любое движение под действием заданных внешних сил может быть также описано в обратном порядке.

Это значит, что написанное равенство остается верным при замене $t$ на $-t$. Но при этом скорости $q_{i}^{\prime}$ меняют знак, а координаты $q_{i}$ и ускорения $q_{i}^{\prime \prime}$ не меняются. Отсюда мы заключаем, что в формулах для $Q_{i}$ члены $b_{i j} q_{j}^{\prime}$ должны отсутствовать, и, следовательно, мы можем написать
\[
Q_{i}=\sum_{j=1}^{m} a_{i j} q_{j}^{\prime \prime}+\sum_{j, k=1}^{m} b_{i j k} q_{j}^{\prime} q_{k}^{\prime}+b_{i},
\]

где величины $a_{i j}, b_{i j k}=b_{i k j}, b_{i}$ зависят только от координат.
Все до сих пор использованные свойства I-IV инвариантны по отношению к преобразованию координат $q_{i}$ и относятся к свойствам внешних сил в окрестности некоторой точки с координатами $q_{1}^{0}, \ldots, q_{m}^{0}$.

Iри надлежащем выборе координат в точке $q_{1}^{0}, \ldots, q_{m}^{0}$ мы можем привести выражение для $Q_{1}, \ldots, Q_{m}$ к простой форме
\[
Q_{i}=q_{i}^{\prime \prime}+b_{i} \quad(i=1, \ldots, m)
\]

в этой точке.

Для доказательства этого утверждения примем, что точка $\left(q_{1}^{0}, \ldots, q_{m}^{0}\right)$ есть начало, и произведем первое линейное преобразование:
\[
q_{i}=\sum_{j=1}^{m} \beta_{i j} \bar{q}_{j} \quad(i=1, \ldots, m)
\]

где $\beta_{i j}$ суть некоторые постоянные числа, причем $\left|\beta_{i j}\right|
eq 0$. Тогда имеем для функции $Q_{i}$ :
\[
\bar{Q}_{i}=\sum_{j=1}^{m} Q_{j} \frac{\partial q_{j}}{\partial \bar{q}_{i}}=\sum_{j=1}^{m} Q_{j} \beta_{j i}
\]

Подставляя в эту формулу выражение для $Q_{j}$, находим для любого $i$ :
\[
\bar{Q}_{i}=\sum_{j, k, l=1}^{m} a_{j k} \beta_{k l} \beta_{j i} \bar{q}_{l}^{\prime \prime}+\text { члены, не зависящие от } q_{1}^{\prime \prime}, \ldots, q_{m}^{\prime \prime} \text {. }
\]

Отсюда следует, что если мы так выберем наше преобразование, чтобы превратить квадратичную форму
\[
\sum_{j, k=1}^{m} a_{j k} q_{j} q_{k}
\]

в сумму квадратов
\[
q_{1}^{2}+\ldots+q_{m}^{2},
\]

то величины $\bar{a}_{i j}$ будут равны нулю при $i
eq j$ и единице при $i=j$. Следовательно, мы имеем право предположить, что при этом предварительном преобразовании $a_{i j}$ преобразовались в $\delta_{i j}$ в начале координат так, что
\[
Q_{i}=q_{i}^{\prime \prime}+\sum_{j, k=1}^{m} b_{i j k}^{0} q_{j}^{\prime} q_{k}^{\prime}+b_{i}^{0} \quad(i=1, \ldots, m) .
\]

Произведем теперь дальнейшее преобразование.
\[
\bar{q}_{i}=q_{i}+\frac{1}{2} \sum_{j, k}^{m} b_{i j k}^{0} q_{j} q_{k}
\]

где значения постоянных $b_{i j k}^{0}$ определяются из предыдущего равенства. Непосредственным дифференцированием убеждаемся, что в начале координат имеют место равенства:
\[
\bar{q}_{i}^{\prime}=q_{i}^{\prime}, \quad \bar{q}_{i}^{\prime \prime}=q_{i}^{\prime \prime}+\sum_{j, k=1}^{m} b_{i j k}^{0} q_{j}^{\prime} q_{k}^{\prime} \quad(i=1, \ldots, m) .
\]

Отсюда тотчас же видно, что для $Q_{i}$ в начале координат справедлива доказываемая формула, т.е.
\[
\bar{Q}_{i}=\bar{q}_{i}^{\prime \prime}+b_{i} \quad(i=1, \ldots, m) .
\]
V. ПРИНЦИП СохРАНенИя эНЕРГИи. Рассматриваемая динамическая система консервативна.
Если $W$ – функция работы, то мы имеем основное равенство
\[
d W=\sum_{j=1}^{m} Q_{j} q_{j}^{\prime} d t
\]

характеризующее консервативные системы. Но правая часть этого равенства есть линейное выражение относительно ускорений; сравнивая коэффициенты при $q_{j}^{\prime \prime}$ в обеих частях, получим, принимая во внимание выражения для $Q_{i}$ :
\[
\frac{\partial W}{\partial q_{j}^{\prime}}=\sum_{i=1}^{m} a_{i j} q_{i}^{\prime} \quad(j=1, \ldots, m),
\]

откуда
\[
W=T+U,
\]

где
\[
T=\frac{1}{2} \sum_{j, k=1}^{m} a_{j k} q_{j}^{\prime} q_{k}^{\prime},
\]
a $U$ зависит только от $q_{1}, \ldots, q_{m}$.
Из этой формулы для $W$ следует, конечно, на основании сказанного в предыдущих параграфах, что $L=T-U$, и, следовательно,
\[
Q_{i}=\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial q_{i}^{\prime}}\right)+\frac{\partial U}{\partial q_{i}}+R_{i} \quad(i=1, \ldots, m),
\]

где $R_{i}$ удовлетворяет условию (7).

Поскольку первые два члена правой части дают выражение, совершенно подобное приведенному выше выражению для $Q_{i}$, причем члены, содержащие $q_{j}^{\prime \prime}$, в обоих выражениях совпадают, то из этого следует, что разности $R_{i}$ должны иметь вид:
\[
R_{i}=\sum_{j, k=1}^{m} c_{i j k} q_{j}^{\prime} q_{k}^{\prime}+c_{i} \quad(i=1, \ldots, m) .
\]

Принимая во внимание условие (7), мы заключаем далее, что для всех $i, j, k$ имеют место соотношения
\[
c_{i j k}+c_{j k i}+c_{k i j}=0, c_{i}=0,
\]

причем, разумеется, $c_{i j k}=c_{i k j}$.
Следовательно, принципы I-V приводят к динамической системе, у которой внешние силы выражаются формулами
\[
Q_{i}=\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial q_{i}^{\prime}}\right)+\frac{\partial U}{\partial q_{i}}+\sum_{j, k=1}^{m} c_{i j k} q_{j}^{\prime} q_{k}^{\prime},
\]

где $c_{i j k}=c_{i k j}$ суть функции координат, удовлетворяющие условию
\[
c_{i j k}+c_{j k i}+c_{k i j}=0
\]

для любых $i, j, k$.
Остается лишь так подобрать возможно простое последнее свойство системы, чтобы из него следовало $c_{i j k}=0$ для всех $i, j, k$.
VI. Если при каком-нибудь выборе системы координат кинетическал энергия $T$ делается стационарной относительно $q_{1}, \ldots, q_{m}$, в некоторой точке $q_{1}^{0}, \ldots, q_{m}^{0}$, то силы $Q_{i}$ вызывают ускорение, независимое от скоростей.

Предположим пока, что такое стационарное $T$ существует. Тогда имеем в точке $q_{1}^{0}, \ldots, q_{m}^{0}$
\[
\frac{\partial a_{i j}}{\partial q_{k}}=0 \quad(i, j, k=1, \ldots, m) .
\]

Выражение для $Q_{i}$ в этой точке обращается в
\[
Q_{i}=\sum_{j=1}^{m} a_{i j} q_{j}^{\prime \prime}+\frac{\partial U}{\partial q_{i}}+\sum_{j, k=1}^{m} c_{i j k} q_{j}^{\prime} q_{k}^{\prime} .
\]

(Нужно отметить, что написанная выше формула для $Q_{i}$ сохраняется для всех систем координат.) Если теперь эти силы $Q_{i}$ не зависят от скоростей, то все $c_{i j k}$ должны обращаться в нуль для этой специальной координатной системы, а следовательно, согласно известному закону преобразования членов $R_{i}$ и для любой координатной системы. Таким образом, получена искомая лагранжева форма для внешних сил, и, следовательно, условия I-VI определяют регулярную лагранжеву динамическую систему.

Утверждение, что существует стационарное $T$, следует из общеизвестной теоремы, гласящей, что для любой системы координат геодезического типа в точке $q_{1}^{0}, \ldots, q_{m}^{0}$ квадрат линейного элемента
\[
d s^{2}=\sum_{i, j=1}^{m} a_{i j} d q_{i} d q_{j}
\]

имеет стационарные в этой точке коэффициенты.
Обратно, легко видеть, что для всякой регулярной лагранжевой системы внешние силы $Q_{i}$ удовлетворяют условиям I-VI.