Рассмотрим теперь любую кривую движения, лежащую в $M$, и точку $P_{t}$ движущуюся по ней. Точки $P_{t}$ образуют «точечную группу» данного движения. Всякая предельная точка совокупности $P_{t}$, соответствующая $\lim t=+\infty$, будет называться $\omega$-предельной точкой, а всякая предельная точка совокупности $P_{t}$ при $\lim t=-\infty$ будет называться $\alpha$-предельной точкой.

Во всех случаях предельные точки каждого из двух классов образуют замкнутую совокупность.

Все $\omega$ – (или $\alpha-)$ предельные точки любого движения $P_{t}$ образуют замкнутую свлзную совокупность, состоящую из кривых движения. Расстояние точки $P_{t}$ от этой предельной совокупности стремится к нулю $n р и \lim t=+\infty$ (соответственно $-\infty$ ).

Действительно, пусть $P^{*}$ будет $\omega$-предельная точка, к которой $P_{t}$ приближается при $\lim t=+\infty$ и пусть $P^{* *}$ будет точка, в которую $P^{*}$ придет через промежуток времени $c$. Очевидно, что $P_{t+c}$ будет стремиться к $P^{* *}$, если $P_{t}$ стремится к $P^{*}$. Иначе говоря, $P^{* *}$ есть $\omega$-предельная точка, если $P^{*}$ есть таковая. Отсюда следует, что все точки точечной группы, содержащей $P^{*}$, суть $\omega$-предельные точки.

Для того, чтобы доказать, что расстояние $P_{t}$ от $\omega$-предельной совокупности стремится к нулю, мы прибегнем к рассуждению от противного. Если бы $P_{t}$ не стремилось равномерно к $\omega$-предельной совокупности при $\lim t=+\infty$, то можно было бы выбрать бесконечную последовательность безгранично возрастающих значений $t$ таким образом, чтобы для всех этих значений точка $P_{t}$ отстояла от всякой $\omega$-предельной точки на расстоянии, не меньшем некоторого положительного количества $d$. Но эта последовательность точек $P_{t}$ должна иметь по крайней мере одну предельную точку $P_{1}$, и эта точка будет находиться на расстоянии, не меньшем $d$, от любой $\omega$-предельной точки. Однако, по определению, $P_{1}$ есть $\omega$-предельная точка, так что мы пришли к противоречию. Очевидно, что $\omega$-предельная совокупность – связная, так как к ней равномерно приближается точка $P_{1}$, когда $t$ стремится к $+\infty$, тогда как $P_{t}$ движется непрерывно вдоль кривой движения $\left({ }^{20}\right)$.

Если мы рассмотрим совокупности движений $M_{1}, M_{2}, \ldots$, приводящие к совокупности центральных движений $M_{r}$, то увидим, что $\alpha$ – и $\omega$-предельные движения для движения совокупности $M_{p}$ лежат в $M_{p+1}$.