До сих пор мы рассматривали решения в обычном смысле. Рассмотрение дифференциальных уравнений показывает, что существует единственное аналитическое решение, при котором координаты и скорости тел принимают заданные значения при $t=t_{0}$, при условии, что тела $P_{0}, P_{1}, P_{2}$ геометрически различны (т.е. никакие два из них не находятся в одной точке. — Ред.). В случае совпадения двух из этих тел или всех трех тел правые части дифференциальных уравнений перестают быть аналитическими или даже определенными, так что мы уже не можем в этом случае применить теоремы существования главы $I$. Но, согласно полученным там результатам, эти решения могут быть либо продолжены на все значения $t$, или же, например, при возрастании $t$ продолжение возможно вплоть до какого-то значения $\bar{t}$ аргумента $t$.

Рассмотрим эту возможность в свете элементарных теорем существования.

Из восемнадцатимерного многообразия состояний движения, связанного с восемнадцатью зависимыми переменными
\[
x_{i}, y_{i}, z_{i}, x_{i}^{\prime}, y_{i}^{\prime}, z_{i}^{\prime} \quad(i=0,1,2),
\]

мы должны исключить три пятнадцатимерных аналитических многообразия
\[
r_{i}=0 \quad(i=0,1,2) .
\]

Остающееся открытое многообразие простирается в бесконечность и ограничено многообразиями $r_{i}=0$.

Согласно результатам, полученным в главе $I$, любое данное движение мы можем безгранично (аналитически) продолжать за исключением того случая, когда при приближении $t$ к некоторому критическому значению $\bar{t}$ соответственная точка $P$ стремится к границе вышеуказанной открытой области.

Предположим теперь, что наименьшее из трех взаимных расстояний тел $P_{0}, P_{1}, P_{2}$ не стремится к нулю, когда $t$ приближается к $\bar{t}$; при этом не предполагается, что какое-нибудь определенное из этих расстояний, например, $P_{0} P_{1}$ остается наименьшим вблизи $\bar{t}$. Мы можем в этом случае найти положения наших трех тел для $t$, сколь угодно близкого к $\bar{t}$, при которых все три их взаимные расстояния превосходят некоторую положительную постоянную $d$. Но из соотношения (4), в котором
\[
U<\frac{m_{0} m_{1}+m_{0} m_{2}+m_{1} m_{2}}{d},
\]

легко видеть, что скорости $x_{i}^{\prime}, y_{i}^{\prime}, z_{i}^{\prime}$ ограничены. Физически очевидно, что при таких начальных условиях продолжение движений возможно для интервала времени, не зависимого от частных значений взаимных расстояний или скоростей, благодаря характеру входящих сюда сил; мы не будем останавливаться на получении явного выражения для этого интервала на основании нашей первой теоремы существования. Таким образом, мы приходим к противоречию.

Аналитическое продолжение какого-нибудв данного движения в проблеме трех тел всегда возможно, если только при приближении времени $t$ некоторому значению $\bar{t}$ наименьше из трех взаимных расстояний не стремится к нулю.

Сейчас нам целесообразно вернуться к рассмотрению равенства Лагранжа (15). Когда $t$ приближается к $\bar{t}$, то $U$ стремится к положительной бесконечности. Следовательно, если мы представим $R^{2}$ как функцию от $t$ на плоскости, взяв $t$ и $R^{2}$ за прямоугольные координаты, то соответствующая кривая будет обращена вогнутостью вверх при $t$, достаточно близком к $\bar{t}$. Следовательно, $R^{2}$ либо делается бесконечным, либо стремится к конечному положительному пределу, либо к нулю.

Первый из этих случаев, очевидно, невозможен, так как тогда одно из тел удалялось бы бесконечно далеко от двух других, которые стремились бы к совпадению, когда $t$ приближается к $\bar{t}$, а такое положение вещей невозможно благодаря тому, что силы, действующие на далекое тело, ограничены по величине.

Во втором случае очевидно, что при приближении $t$ к $\bar{t}$ какое-то одно определенное из расстояний стремится к нулю, тогда как два других стремятся к одному и тому же предельному значению. Это есть случай соударения двух тел. Так как силы, действующие на третье тело, конечны в моменты, близкие к соударению, то оно приближается к определенному предельному положению; и следовательно, два других (соударяющихся) тела тоже стремятся к определенному положению, потому что центр тяжести системы фиксирован в начале координат.

В третьем случае мы имеем, разумеется, тройное соударение, которое произойдет в начале координат. Если, однако, постоянная $f$ не равна нулю, то тройное столкновение не может произойти; это следует тотчас же из формулы (22). В самом деле, мы видим, что $d\left(R^{2}\right) / d t$ будет отрицательным при $t$, близких к $\bar{t}$ в случае тройного столкновения, так как $d^{2} R^{2} / d t^{2}$ положительно, согласно равенству Лагранжа (15). Следовательно, $H$ будет убывать вместе с $R$ (или по крайней мере не возрастать), когда $t$ стремится к $\bar{t}$. Но рассмотрение выражения $H$ [формула (21)] показывает нам, что при $f
eq 0 \mathrm{H}$ делается положительно бесконечным, когда $R$ приближается к нулю. Таким образом, мы пришли к противоречию.

Когда $t$ приближается $\bar{t} \bar{t}$, то либо имеет место двойное соударение определенных двух тел в определенной точке, причем третье тело приближается к определенной точке, отличной от точки соударения, или же тройное соударение всех трех тел в их общем центре тяжести. Если, однако, $f$ не равно нулю, т.е. если постоянные площадей данных трех тел не все равны нулю, то тройное соударение не может произойти ни при каком $t$.

С этого момента мы будем предполагать, что $f>0$, и, таким образом, исключим тройное соударение.

Мы можем считать, что допущение $f>0$ просто заставляет нас ограничиваться рассмотрением общего случая. В самом деле, легко показать, что в случае, когда $f=0$, движение происходит в некоторой постоянной плоскости. Таким образом, здесь мы можем сразу привести нашу систему к системе низшего порядка. Более того, если $f=0$, то момент количества движения относительно оси, перпендикулярной к плоскости движения в центре тяжести системы, равен нулю. Таким образом, мы исключаем только частный случай движения в плоскости. Этот исключенный случай представляет большой интерес и заслуживает внимательного изучения сам по себе.