На основе трех доказанных подготовительных лемм мы можем теперь доказать одну теорему, из которой следует обобщение последней геометрической теоремы Пуанкаре, сформулированное в $\mathrm{\S }2$.
$\delta$-теорема. Если всякая радиальная полупрямая $\vartheta =\mathrm{const}$ пересекает каждую из кривых $\mathrm{\Gamma }$ и ${\mathrm{\Gamma }}_1$ лишь в одной точке и если преобразование $T$ перемещает точки кривых $C$ и $\mathrm{\Gamma }$ в противоположных угловых направлениях (относительно $\vartheta$ ), то для всякого $\delta >0$ либо в $R$ существует точка $P$, такая, что $T(P)$ лежит на той же радиальной полупрямой, что и $P$, причем расстояние между этими точками меньше $\delta$, либо в $R$ (или в $R_1$ ) содержится открытое кольцо $\mathrm{\Sigma }$, опирающееся на $C$ и переходящее при преобразовании $T$ (или $T^{-1}$ ) в кольцо, лежащее в $\mathrm{\Sigma }$ и радиально отстоящее не меньше чем на $\delta$ от границы кольца $\mathrm{\Sigma }$ в направлении наружу.

Чтобы установить эту теорему, очевидно, достаточно доказать, что если никакой области $\mathrm{\Sigma }$ не существует, то должна существовать точка $P$.

Если никакой области $\mathrm{\Sigma }$ не существует, то согласно лемме 1 существуют конечные $\delta$-цепи, и тогда согласно леммам 2 и 3 существует вспомогательное преобразование $E$ и кривая $P_0{P}_1\dots P_{n-1}{Q}_0{P}_n{Q}_1$.

Теперь представим себе точку $A$, движущуюся по этой кривой от $P_0$ к $Q_0$. Ее образ при преобразовании $TE$, которую мы обозначим через $A_1$, движется при этом от $P_1$ к $Q$. В плоскости прямоугольных координат $r,\vartheta$, вектор $A{A}_1$ (рис. 12) вращается в течение этого процесса на определенный угол, который мы обозначим через $\mathrm{rot}A{A}_1$.

Для определенности допустим, что координата $\vartheta$ точек круга $C$ увеличивается при преобразовании $T$. Тогда согласно предположению координата $\vartheta$ точек кривой $\mathrm{\Gamma }$ должна уменьшаться при $T$. Если обозначить через $a$ положительный острый угол, образуемый вектором $P_0{P}_1$ с положительной осью $\vartheta$, а через $\beta$ — лежащий между $\pi /2$ и $3\pi /2$ угол, образуемый с этой же осью вектором $Q_0{Q}_1$, то ясно, что интересующий нас поворот либо равен $\beta -\alpha$, либо отличается от $\beta -\alpha$ на целое кратное $2\pi$. Для последующего чрезвычайно важно установить, что этот поворот в точности равен $\beta -\alpha \left({}^3\right)$.

Допустим, что пересекаемая вспомогательной кривой $P_0{Q}_1$ полоса, ограниченная кривыми $C$ и $E^{\prime }\left(I_1{}_1\right)$, деформируется посредством чисто радиального перемещения таким образом, что кривые $E(C)$ и $E\left({\mathrm{\Gamma }}_1\right)$ (из которых и вторая непрерывна и пересекает лишь в одной точке всякую радиальную полупрямую, в силу предположения относительно ${\mathrm{\Gamma }}_1$ ) переходят в прямые линии $r=b$ и $r=c$, тогда как прямая $C$ остается неподвижной. В течение этой деформации $\mathrm{rot}A{A}_1$, взятый вдоль деформируемой кривой, будет изменяться непрерывно. Следовательно, угол $\beta -\alpha$, измеренный прежним образом, либо все время будет точным значением $\mathrm{rot}A{A}_1$, либо будет отличаться от $\mathrm{rot}A{A}_1$ на одно и то же целое кратное $2\pi$. Кроме того, $\alpha$ и $\beta$ будут удовлетворять прежним неравенствам
$$0<\alpha <\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}<\beta <\frac{3\pi }{2}.$$

Предположим теперь, что вспомогательная кривая, преобразованная таким образом в кривую, пересекающую полосу $a⩽r⩽c$, подвергается дальнейшей деформации в этой полосе, причем точки $P_0,P_1$, $Q_0,Q_1$ остаются закрепленными. Ясно, что благодаря непрерывности изменения $\mathrm{rot}A{A}_1$ доказываемое равенство будет все время соблюдаться или все время нарушаться, если только кривая не приобретает при деформации кратных точек.

Но в начальном положении дуга $P_0{P}_1$ пересекает полосу $a⩽r⩽b$, тогда как $P_1{Q}_1$ лежит вне этой полосы. Следовательно, дугу $P_0{P}_1$ можно деформировать в этой полосе в прямолинейный отрезок $P_0{P}_1$. Далее, дуга $P_1{Q}_0{Q}_1$ пересекает полосу $b⩽r⩽c$ и, очевидно, может быть деформирована в ломаную линию $P_1{Q}_0{Q}_1$ без изменения положения точек $P_1,Q_0$ и $Q_1$. Таким образом, посредством законного изменения мы получаем ломаную линию $P_0{P}_1{Q}_0{Q}_1$, где указанные точки расположены в порядке возрастающей координаты $r$, в то время как у точки $P_1$ координата $\vartheta$ больше, чем у точки $P_0$, а у точки $Q_1$ координата $\vartheta$ меньше, чем у точки $Q_0$.

В этом нормальном положении пригодность выражения $\beta -\alpha$ для $\mathrm{rot}A{A}_1$ очевидна. Следовательно, и для исходной вспомогательной кривой оно пригодно, как бы сложна ни была эта кривая.

В силу неравенств, которым подчинены $\beta$ и $\alpha$, мы заключаем отсюда, что $\mathrm{rot}A{A}_1$ положителен при движении точки $A$ от $P_0$ к $Q_0$ по вспомогательной кривой.

Рассмотрим теперь измененное преобразование $T{E}_{\lambda }$, где $E_{\lambda }$ означает радиальное перемещение, передвигающее каждую точку на расстояние в $\lambda$ раз большее, чем при преобразовании $E$. Таким образом, $E_1$ есть то же самое, что $E$, тогда как $E_0$ есть тождественное преобразование, при котором каждая точка остается на месте. Если обозначить $T{E}_{\lambda }(A)$ через $A_1$, то ясно, что при уменьшении $\lambda$ от 1 до $0\mathrm{rot}A{A}_1$ будет меняться непрерывно, если только $A$ и $A_1$ не совпадут при какомнибудь $\lambda$. Но это дало бы точку $P$ такую, которая лежала бы на одной радиальной полупрямой с $T(P)$. Таким образом, эту возможность больше нет надобности рассматривать. А так как при уменьшении $\lambda$ точки $P_1$ и $Q_1$ движутся по линиям $\vartheta =$ const соответственно справа и слева от $P_0$ и $Q_0$, то неравенство $\mathrm{rot}A{A}_1>0$ должно соблюдаться, пока $\lambda$ достигнет нуля.

Поэтому угол поворота вектора, проведенного из точки $A$ к ее образу $A_1$, при преобразовании $T=T{E}_0$, положителен, когда $A$ движется по вспомогательной кривой $P_0{Q}_0$. При непрерывном переводе вспомогательной кривой в какую-либо другую кривую, пересекающую кольцо $R$, этот поворот должен изменяться непрерывно, или же мы придем к инвариантной точке и, следовательно, к только что упомянутому случаю. Этот угол поворота никогда не равен нулю, так как согласно предположению теоремы вектор $A{A}_1$ имеет составляющую по оси $\vartheta$ положительную, когда $A$ лежит на $C$, и отрицательную, когда $A$ лежит на Г. Таким образом, полный поворот вектора $A{A}_1$ положителен вдоль всякой кривой, пересекающей $R$.

Теперь необходимо отметить полную симметрию вхождения $T$ и $T^{-1}$ в предположение и заключение $\delta$-теоремы. Благодаря этому, мы можем принять обратное преобразование $T^{-1}$ за основное, причем $R$ и $R_1,\mathrm{\Gamma }$ и ${\mathrm{\Gamma }}_1$ просто поменяются ролями. Кроме того, преобразования $T^{-1}$ передвигает точки кривых $C$ и ${\mathrm{\Gamma }}_1$, в противоположных направлениях относительно $\vartheta$. Для определенности мы считали, что в плоскости прямоугольных координат $r$ и $\vartheta$ преобразование $T$ передвигает точки кривой $C$ вправо, а точки кривой $\mathrm{\Gamma }$ влево. Следовательно, преобразование $T^{-1}$ переводит в этой же плоскости точки кривой $C$ влево, а точки кривой ${\mathrm{\Gamma }}_1$ — вправо.

Принимая во внимание это небольшое изменение, мы приходим к заключению, что полный угловой поворот вектора, проведенного из точки $B$ к ее образу $B_{-1}$, при преобразовании $T^{-1}$ отрицателен вдоль всякой кривой, пересекающей кольцо $R_1$.

Но когда $B$ пересекает $R_1,B_{-1}$, разумеется, пересекает $R$ и $B_{-1}$ можно принять за точку $A$. Отсюда мы заключаем, что $\mathrm{rot}A{A}_1$ отрицателен при движении точки $A$ вдоль любой кривой, пересекающей $R$.

Это нелепо, так как полный поворот вектора $A_{1}A$ в точности равен повороту вектора $A{A}_1$, положительному при тех же условиях согласно доказанному.
Следовательно, $\delta$-теорема доказана.