На основе трех доказанных подготовительных лемм мы можем теперь доказать одну теорему, из которой следует обобщение последней геометрической теоремы Пуанкаре, сформулированное в $\S 2$.
$\delta$-теорема. Если всякая радиальная полупрямая $\vartheta=\mathrm{const}$ пересекает каждую из кривых $\Gamma$ и $\Gamma_{1}$ лишь в одной точке и если преобразование $T$ перемещает точки кривых $C$ и $\Gamma$ в противоположных угловых направлениях (относительно $\vartheta$ ), то для всякого $\delta>0$ либо в $R$ существует точка $P$, такая, что $T(P)$ лежит на той же радиальной полупрямой, что и $P$, причем расстояние между этими точками меньше $\delta$, либо в $R$ (или в $R_{1}$ ) содержится открытое кольцо $\Sigma$, опирающееся на $C$ и переходящее при преобразовании $T$ (или $T^{-1}$ ) в кольцо, лежащее в $\Sigma$ и радиально отстоящее не меньше чем на $\delta$ от границы кольца $\Sigma$ в направлении наружу.

Чтобы установить эту теорему, очевидно, достаточно доказать, что если никакой области $\Sigma$ не существует, то должна существовать точка $P$.

Если никакой области $\Sigma$ не существует, то согласно лемме 1 существуют конечные $\delta$-цепи, и тогда согласно леммам 2 и 3 существует вспомогательное преобразование $E$ и кривая $P_{0} P_{1} \ldots P_{n-1} Q_{0} P_{n} Q_{1}$.

Теперь представим себе точку $A$, движущуюся по этой кривой от $P_{0}$ к $Q_{0}$. Ее образ при преобразовании $T E$, которую мы обозначим через $A_{1}$, движется при этом от $P_{1}$ к $Q$. В плоскости прямоугольных координат $r, \vartheta$, вектор $A A_{1}$ (рис. 12) вращается в течение этого процесса на определенный угол, который мы обозначим через $\operatorname{rot} A A_{1}$.

Для определенности допустим, что координата $\vartheta$ точек круга $C$ увеличивается при преобразовании $T$. Тогда согласно предположению координата $\vartheta$ точек кривой $\Gamma$ должна уменьшаться при $T$. Если обозначить через $a$ положительный острый угол, образуемый вектором $P_{0} P_{1}$ с положительной осью $\vartheta$, а через $\beta$ — лежащий между $\pi / 2$ и $3 \pi / 2$ угол, образуемый с этой же осью вектором $Q_{0} Q_{1}$, то ясно, что интересующий нас поворот либо равен $\beta-\alpha$, либо отличается от $\beta-\alpha$ на целое кратное $2 \pi$. Для последующего чрезвычайно важно установить, что этот поворот в точности равен $\beta-\alpha\left({ }^{3}\right)$.

Допустим, что пересекаемая вспомогательной кривой $P_{0} Q_{1}$ полоса, ограниченная кривыми $C$ и $E^{\prime}\left(I_{1}{ }_{1}\right)$, деформируется посредством чисто радиального перемещения таким образом, что кривые $E(C)$ и $E\left(\Gamma_{1}\right)$ (из которых и вторая непрерывна и пересекает лишь в одной точке всякую радиальную полупрямую, в силу предположения относительно $\Gamma_{1}$ ) переходят в прямые линии $r=b$ и $r=c$, тогда как прямая $C$ остается неподвижной. В течение этой деформации $\operatorname{rot} A A_{1}$, взятый вдоль деформируемой кривой, будет изменяться непрерывно. Следовательно, угол $\beta-\alpha$, измеренный прежним образом, либо все время будет точным значением $\operatorname{rot} A A_{1}$, либо будет отличаться от $\operatorname{rot} A A_{1}$ на одно и то же целое кратное $2 \pi$. Кроме того, $\alpha$ и $\beta$ будут удовлетворять прежним неравенствам
\[
0<\alpha<\frac{\pi}{2}, \quad \frac{\pi}{2}<\beta<\frac{3 \pi}{2} .
\]

Предположим теперь, что вспомогательная кривая, преобразованная таким образом в кривую, пересекающую полосу $a \leqslant r \leqslant c$, подвергается дальнейшей деформации в этой полосе, причем точки $P_{0}, P_{1}$, $Q_{0}, Q_{1}$ остаются закрепленными. Ясно, что благодаря непрерывности изменения $\operatorname{rot} A A_{1}$ доказываемое равенство будет все время соблюдаться или все время нарушаться, если только кривая не приобретает при деформации кратных точек.

Но в начальном положении дуга $P_{0} P_{1}$ пересекает полосу $a \leqslant r \leqslant b$, тогда как $P_{1} Q_{1}$ лежит вне этой полосы. Следовательно, дугу $P_{0} P_{1}$ можно деформировать в этой полосе в прямолинейный отрезок $P_{0} P_{1}$. Далее, дуга $P_{1} Q_{0} Q_{1}$ пересекает полосу $b \leqslant r \leqslant c$ и, очевидно, может быть деформирована в ломаную линию $P_{1} Q_{0} Q_{1}$ без изменения положения точек $P_{1}, Q_{0}$ и $Q_{1}$. Таким образом, посредством законного изменения мы получаем ломаную линию $P_{0} P_{1} Q_{0} Q_{1}$, где указанные точки расположены в порядке возрастающей координаты $r$, в то время как у точки $P_{1}$ координата $\vartheta$ больше, чем у точки $P_{0}$, а у точки $Q_{1}$ координата $\vartheta$ меньше, чем у точки $Q_{0}$.

В этом нормальном положении пригодность выражения $\beta-\alpha$ для $\operatorname{rot} A A_{1}$ очевидна. Следовательно, и для исходной вспомогательной кривой оно пригодно, как бы сложна ни была эта кривая.

В силу неравенств, которым подчинены $\beta$ и $\alpha$, мы заключаем отсюда, что $\operatorname{rot} A A_{1}$ положителен при движении точки $A$ от $P_{0}$ к $Q_{0}$ по вспомогательной кривой.

Рассмотрим теперь измененное преобразование $T E_{\lambda}$, где $E_{\lambda}$ означает радиальное перемещение, передвигающее каждую точку на расстояние в $\lambda$ раз большее, чем при преобразовании $E$. Таким образом, $E_{1}$ есть то же самое, что $E$, тогда как $E_{0}$ есть тождественное преобразование, при котором каждая точка остается на месте. Если обозначить $T E_{\lambda}(A)$ через $A_{1}$, то ясно, что при уменьшении $\lambda$ от 1 до $0 \operatorname{rot} A A_{1}$ будет меняться непрерывно, если только $A$ и $A_{1}$ не совпадут при какомнибудь $\lambda$. Но это дало бы точку $P$ такую, которая лежала бы на одной радиальной полупрямой с $T(P)$. Таким образом, эту возможность больше нет надобности рассматривать. А так как при уменьшении $\lambda$ точки $P_{1}$ и $Q_{1}$ движутся по линиям $\vartheta=$ const соответственно справа и слева от $P_{0}$ и $Q_{0}$, то неравенство $\operatorname{rot} A A_{1}>0$ должно соблюдаться, пока $\lambda$ достигнет нуля.

Поэтому угол поворота вектора, проведенного из точки $A$ к ее образу $A_{1}$, при преобразовании $T=T E_{0}$, положителен, когда $A$ движется по вспомогательной кривой $P_{0} Q_{0}$. При непрерывном переводе вспомогательной кривой в какую-либо другую кривую, пересекающую кольцо $R$, этот поворот должен изменяться непрерывно, или же мы придем к инвариантной точке и, следовательно, к только что упомянутому случаю. Этот угол поворота никогда не равен нулю, так как согласно предположению теоремы вектор $A A_{1}$ имеет составляющую по оси $\vartheta$ положительную, когда $A$ лежит на $C$, и отрицательную, когда $A$ лежит на Г. Таким образом, полный поворот вектора $A A_{1}$ положителен вдоль всякой кривой, пересекающей $R$.

Теперь необходимо отметить полную симметрию вхождения $T$ и $T^{-1}$ в предположение и заключение $\delta$-теоремы. Благодаря этому, мы можем принять обратное преобразование $T^{-1}$ за основное, причем $R$ и $R_{1}, \Gamma$ и $\Gamma_{1}$ просто поменяются ролями. Кроме того, преобразования $T^{-1}$ передвигает точки кривых $C$ и $\Gamma_{1}$, в противоположных направлениях относительно $\vartheta$. Для определенности мы считали, что в плоскости прямоугольных координат $r$ и $\vartheta$ преобразование $T$ передвигает точки кривой $C$ вправо, а точки кривой $\Gamma$ влево. Следовательно, преобразование $T^{-1}$ переводит в этой же плоскости точки кривой $C$ влево, а точки кривой $\Gamma_{1}$ — вправо.

Принимая во внимание это небольшое изменение, мы приходим к заключению, что полный угловой поворот вектора, проведенного из точки $B$ к ее образу $B_{-1}$, при преобразовании $T^{-1}$ отрицателен вдоль всякой кривой, пересекающей кольцо $R_{1}$.

Но когда $B$ пересекает $R_{1}, B_{-1}$, разумеется, пересекает $R$ и $B_{-1}$ можно принять за точку $A$. Отсюда мы заключаем, что $\operatorname{rot} A A_{1}$ отрицателен при движении точки $A$ вдоль любой кривой, пересекающей $R$.

Это нелепо, так как полный поворот вектора $A_{1} A$ в точности равен повороту вектора $A A_{1}$, положительному при тех же условиях согласно доказанному.
Следовательно, $\delta$-теорема доказана.