Нашу систему (3) дифференциальных уравнений можно сразу же привести к системе двенадцатого порядка при помощи интегралов количества движения (5), применяя, например, следующий метод, предложенный Лагранжем. Пусть координаты точки $P_{1}$ относительно $P_{0}$ будут $(x, y, z)$, а координаты точки $P_{2}$ относительно центра тяжести тел $P_{0}$ и $P_{1}$ будут $(\xi, \eta, \zeta)$. Если мы обозначим для удобства
\[
\left.\begin{array}{c}
p=\frac{m_{1}}{m_{0}+m_{1}}, \quad q=\frac{m_{0}}{m_{0}+m_{1}}, \\
M=m_{0}+m_{1}+m_{2}, \quad m=\frac{m_{0} m_{1}}{m_{0}+m_{1}}, \quad \mu=\frac{\left(m_{0}+m_{1}\right) m_{2}}{m_{0}+m_{1}+m_{2}},
\end{array}\right\}
\]
то получим следующие явные формулы преобразования переменных:
вместе с формулами обратного преобразования:
\[
\left.\begin{array}{rl}
x_{0} & =-\frac{m_{2}}{M} \xi-p x, \quad y_{0}=-\frac{m_{2}}{M} \eta-p y, \quad z_{0}=-\frac{m_{2}}{M} \zeta-p z, \\
x_{1} & =-\frac{m_{2}}{M} \xi+q x, y_{1}=-\frac{m_{2}}{M} \eta+q y, \quad z_{1}=-\frac{m_{2}}{M} \zeta+q z, \\
x_{2} & =-\frac{m_{0}+m_{1}}{M} \xi, y_{2}=-\frac{m_{0}+m_{1}}{M} \eta, z_{2}=-\frac{m_{0}+m_{1}}{M},
\end{array}\right\}
\]
которые следуют из формул (8) и (5).
Полученная таким путем система двенадцатого порядка может быть записана в следующей изящной форме:
\[
\left.\begin{array}{rlrlrl}
\frac{d x}{d t} & =x^{\prime}, & \frac{d y}{d t} & =y^{\prime}, & \frac{d z}{d t} & =z^{\prime} ; \\
\frac{d \xi}{d t} & =\xi^{\prime}, & \frac{d \eta}{d t} & =\eta^{\prime}, & \frac{d \zeta}{d t} & =\zeta^{\prime} ; \\
m \frac{d x^{\prime}}{d t} & =\frac{\partial U}{\partial x}, & m \frac{d y^{\prime}}{d t} & =\frac{\partial U}{\partial y}, & m \frac{d z^{\prime}}{d t} & =\frac{\partial U}{\partial z}, \\
\mu \frac{d \xi^{\prime}}{d t} & =\frac{\partial U}{\partial \xi}, & \mu \frac{d \eta^{\prime}}{d t} & =\frac{\partial U}{\partial \eta}, & \mu \frac{d \zeta^{\prime}}{d t} & =\frac{\partial U}{\partial \zeta} .
\end{array}\right\}
\]
В этих новых переменных уравнения (5) количества движения можно считать удовлетворенными тождественно, в то время как интегралы площадей принимают вид:
\[
\left.\begin{array}{l}
m\left(y z^{\prime}-z y^{\prime}\right)+\mu\left(\eta \zeta^{\prime}-\zeta \eta^{\prime}\right)=a, \\
m\left(z x^{\prime}-x z^{\prime}\right)+\mu\left(\zeta \xi^{\prime}-\xi \zeta^{\prime}\right)=b \\
m\left(x y^{\prime}-y x^{\prime}\right)+\mu\left(\xi \eta^{\prime}-\eta \xi^{\prime}\right)=c
\end{array}\right\}
\]
а интеграл энергии будет:
\[
\frac{1}{2} m\left(x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}\right)+\frac{1}{2} \mu\left(\xi^{\prime 2}+\eta^{\prime 2}+\zeta^{\prime 2}\right)=U-K .
\]
Легко видеть, что на уравнения (10) можно смотреть как на уравнения движения в пространстве двух частиц с координатами $(x, y, z)$ и $(\xi, \eta, \zeta)$ и массами $m$ и $\mu$ соответственно, в консервативном поле сил с потенциальной энергией, равной $-U$. Эти уравнения могут быть также выведены из лагранжева или гамильтонова вида уравнений при помощи вариационных принципов (см. главу II).
§ 4. Равенство Лагранжа. Положим
\[
R^{2}=\frac{m_{0} m_{1} r_{2}^{2}+m_{0} m_{2} r_{1}^{2}+m_{1} m_{2} r_{0}^{2}}{M}=m r^{2}+\mu \rho^{2},
\]
где
\[
r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}, \rho^{2}=\xi^{2}+\eta^{2}+\zeta^{2} .
\]
Если мы теперь подставим в (13) явные выражения для $r^{2}$ и $\rho^{2}$, полученные из (14), и дважды продифференцируем, то, пользуясь формулами (10) и (12), получим следующее равенство, принадлежащее Лагранжу:
\[
\frac{d^{2} R^{2}}{d t^{2}}=2(U-2 K)
\]
Нужно заметить, что $U$ однородно (размерности -1) относительно $x, y, z, \xi, \eta, \zeta$, так что
\[
x \frac{\partial U}{\partial x}+y \frac{\partial U}{\partial y}+z \frac{\partial U}{\partial z}+\xi \frac{\partial U}{\partial \xi}+\eta \frac{\partial U}{\partial \eta}+\zeta \frac{\partial U}{\partial \zeta}=-U .
\]
