Посредством метода «минимакса» можно устанавливать существование дальнейших периодических движений. Простейшую иллюстрацию этого метода мы получим, если будем рассматривать геодезические линии на поверхности вида тора в обыкновенном трехмерном пространстве. Изложенный выше метод минимума, очевидно, дает нам для каждого класса эквивалентных замкнутых кривых, не сводимых в точку, по крайней мере одну геодезическую линию, принадлежащую этому классу. Будем теперь деформировать замкнутую кривую $l$ таким образом, что в начальном и в конечном положении она будет совпадать с упомянутой минимальной геодезической линией и по крайней мере одна из угловых координат увеличится при деформации на $2 k \pi$. Конечно, во время этого движения длину $l$ придется, вообще говоря, увеличивать по сравнению с начальной, и эта длина пройдет через некоторый максимум. Рассмотрим деформацию, для которой этот максимум будет наименьшим. В некотором положении $l^{*}$ кривая $l$ действительно достигает этого максимума. Это положение $l^{*}$
${ }^{1}$ См. мою упомянутую статью $(\S 10-13)$.

отвечает замкнутой геодезической линии. Очевидно, что невозможно деформировать все соседние с $l^{*}$ кривые, имеющие меньшую длину, друг в друга, не переходя через кривые большей или равной длины; иначе $l^{*}$ не отвечала бы нашему определению. Это свойство характерно для всех кривых типа минимакса.

Вышеприведенное изложение интуитивно. Можно, однако, этот метод изложить вполне строго ${ }^{1}$.
В более общем случае мы приходим к следующему заключению.
Лагранжева проблема, подчиненнал прежним условиям (см. §3) и имеющая $k>1$ периодических движений минимального типа, эквивалентных замкнутой кривой $l$, будет непременно обладать еще по крайней мере $k-1$ периодическими движениями минимаксного типа, эквивалентными той же кривой.

Если мы исключим из рассмотрения все особые случаи и ограничимся интуитивным способом рассуждения, то мы можем следующим образом сделать это более общее положение вероятным. Пусть $I_{1}, \ldots, I_{k}$ будут значения интеграла $I$ вдоль $k$ периодических движений минимального типа, существование которых мы предполагаем, и пусть $I^{*}$ будет настолько большим числом, что мы можем непрерывной деформацией кривой $l$ перейти от какой-нибудь из соответствующих кривых $l_{1}, \ldots, l_{k}$ к любой другой так, чтобы интеграл $I$ на $l$ все время оставался бы меньше $I^{*}$. Для определенности предположим, что $I_{1}, \ldots, I_{k}$ расположены в порядке возрастания их величины.

Пусть $u$ будет переменный параметр и рассмотрим замкнутые кривые $l$ данного типа, для которых $I<u$. Пока $u<I_{1}$ (абсолютный минимум), таких кривых не будет совсем, но если $и$ будет увеличиваться, становясь больше $I_{1}$, то появляются кривые, сначала мало отличающиеся от $l_{1}$. Но чем больше становится $u$, тем большие отклонения от кривой $l_{1}$ делаются возможными для $l$. Точно так же, когда $u$ становится больше $I_{2}$, появляется новая изолированная совокупность кривых $l$ в окрестности кривой $l_{2}$. И, в конце концов, когда $u$ делается больше $I_{k}$, появляется последняя $k$-я совокупность кривых в окрестности кривой $l_{k}$.

Но, с другой стороны, при возрастании $u$ какие-нибудь две из имеющихся совокупностей кривых могут соединиться в одну, т.е. может стать возможным деформировать кривую $l_{\alpha}$ в кривую $l_{\beta}$ так, чтобы интеграл $I$ вдоль кривой $l$ все время оставался меньше $u$. Следовательно, будем иметь наименьшее значение $u$, для которого это возможно, и соответствующее периодическое движение типа минимакса. Каждый раз, когда происходит такое соединение, число изолированных совокупностей кривых $l$, имеющих $I<u$, уменьшается на единицу.
${ }^{1}$ См. мою упомянутую статью ( $\$ 15-19$ ), где метод минимакса развивается для случая двух степеней свободы.

Но когда $u=I^{*}$, то существует только одна такая совокупность, так что имеет место $k-1$ соединение. Следовательно, существует $k-1$ минимаксных периодических движений, что и требовалось доказать.

Нетрудно показать, что, за исключением того случая, когда периодическое движение типа минимакса кратное $\left({ }^{9}\right)$, только две совокупности кривых могут совпасть для одного из этих критических значений $u$.

Если характеристическая поверхность допускает дискретные преобразования в себя, то возникает исключительный случай, при котором периодические движения минимального типа должны считаться каждое больше чем один раз. Таков именно вышеупомянутый случай геодезических линий на торе.

Отметим, что когда мы рассматриваем какую-нибудь замкнутую кривую $l$ как описанную $k$ раз ( $k>1$ ), движения минимального типа остаются теми же, тогда как движения типа минимакса, связанные с ними, не будут теми же, что при $k=1$, а будут отличны от них.
Общее положение требует дальнейшего изучения.