Случай $K<0$ не представляет никаких трудностей, поскольку вопрос касается общего качественного характера движений. Равенство Лагранжа (15) обеспечивает, что $d^{2} R^{2} / d t^{2}$ будет в этом случае превосходить $4|K|$. Следовательно, линия, изображающая $R^{2}$ как функцию от $t$ в плоскости с прямоугольными координатами $t, R^{2}$, будет представлять собою кривую с одним минимумом, обращенную всюду выпуклостью вниз, т.е. $R^{2}$ будет безгранично возрастать.

То же заключение будет, очевидно, справедливым и для $K=0$, по крайней мере если $U$ не приближается к нулю. Но это может случиться только в том случае, когда все три взаимных расстояния тел безгранично возрастают.

В случае, когда $K \leqslant 0, f>0$, по крайней мере два, если не все три, взаимные расстояния тел безгранично увеличиваются при безграничном возрастании или убывании времени. $B$ случае $K \leqslant 0, f=0$ то же утверждение справедливо, если только движение не оканчивается (в том или другом направлении времени) тройным соударением.

Желательно было бы, разумеется, более полное качественное рассмотрение движений, для которых $K \leqslant 0$. Но и на основании только что сформулированных результатов мы можем рассматривать этот случай как «решенный» в качественном смысле.

В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением случая $f>0$, $K>0$, т. е. случая, когда не все константы площадей равны нулю и потенциальная энергия системы недостаточна для того, чтобы все три расстояния между телами могли безгранично возрастать.

Останется, таким образом, нерассмотренным случай $f=0, K>0$. В этом случае движение будет происходить существенно в одной плоскости, и здесь, быть может, посредством надлежащего уточнения неравенства Сундмана возможно получить результаты, подобные тем, которые получены для случая $f>0, K>0$.

Мы переходим к рассмотрению некоторых простых и важных свойств движения в случае $f>0, K>0$.
$B$ случае $f>0, K>0$ наименьшее из трех расстояний между телами не может превзойти $M^{2} / 3 K$.

Доказательство очевидно. Из интеграла энергии (12) следует, что $U$ не меньше, чем $K$. Но все расстояния $r_{0}, r_{1}, r_{2}$ будут не меньше наименьшего расстояния $r$. Отсюда получаем:
\[
\frac{m_{0} m_{1}+m_{1} m_{2}+m_{0} m_{2}}{r} \geqslant K .
\]

Числитель левой части не превосходит $M^{2} / 3$, откуда непосредственно следует доказываемое неравенство.

В случае $f>0, K>0$ наибольшее из взаимных расстояний $r_{i}$ будет обязательно превосходить наименьшее $r_{j}$ по крайней мере в $k$ раз при условии, что
\[
R \leqslant \frac{2 m^{*} \frac{1 / 2}{2} f^{2}}{k^{2} M^{3}} \text { или } R \geqslant \frac{k M^{5 / 2}}{3 K},
\]

где $m^{*}$ обозначает наименьшую из трех масс $m_{0}, m_{1}, m_{2}$.
Для того, чтобы доказать это утверждение, обозначим через $k_{1}$ фактическое отношение наибольшего расстояния к наименьшему. Тогда мы будем иметь:
\[
R^{2} \leqslant \frac{\left(m_{0} m_{1}+m_{0} m_{2}+m_{1} m_{2}\right) k_{1}^{2} r^{2}}{M} \leqslant \frac{M k_{1}^{2} r^{2}}{3},
\]

где $r$ обозначает наименьшее из расстояний. Из подобных же вычислений находим:
\[
U \leqslant \frac{m_{0} m_{1}+m_{0} m_{2}+m_{1} m_{2}}{r} \leqslant \frac{M^{2}}{3 r} .
\]

Но равенство Сундмана (16) вместе с формулой (18) дает
\[
\frac{f^{2}}{R^{2}}<2 U
\]

Если мы применим к этой формуле выведенные выше неравенства для $R^{2}$ и $U$, то легко получим
\[
r>\frac{4 f^{2}}{k_{1}^{2} M^{3}} .
\]

Но поскольку $R$ равно по меньшей мере $m^{\frac{1}{2}} r$, причем $m$ в свою очередь не менее половины наименьшей массы $m^{*}$ [см. равенства (7)], находим:
\[
R>\frac{2 m^{* \frac{1}{2}} f^{2}}{k_{1}^{2} M^{3}} .
\]

Следовательно, если $R$ не превосходит первого из выражений, указанных в формулировке доказываемого утверждения, то мы тотчас видим, что $k_{1}$ превосходит $k$. Это доказывает первую часть нашего утверждения.

Для того, чтобы доказать вторую часть, обозначим через $\bar{r}$ наибольшее из расстояний $r_{0}, r_{1}, r_{2}$. Мы имеем тогда
\[
R^{2} \leqslant \frac{\left(m_{0} m_{1}+m_{0} m_{2}+m_{1} m_{2}\right) \bar{r}^{2}}{M} \leqslant \frac{M \bar{r}^{2}}{3},
\]

откуда
\[
\bar{r}>\frac{R}{M^{1 / 2}} .
\]

Если мы применим теперь выведенное уже неравенство для наименьшего расстояния $r$ вместе с только что написанным, то найдем:
\[
k_{1}>\frac{3 K R}{M^{5 / 2}} .
\]

Следовательно, если $R$ не меньше второго из написанных в формулировке утверждения выражений, то $k_{1}$ будет больше $k$. Это доказывает вторую часть утверждения.

Если $f>0, K>0$, то часть кривой $R=R(t)$ ( $t, R$ суть прямоугольные координаты), для которой $R<f / 2^{\frac{1}{2} / K^{1 / 2}}$, состоит из конечной дуги, обращенной выпуклостью вниз и имеющей один минимум. Если $R=R_{0}$ есть этот минимум, то кривая возрастает в обе стороны, пока
\[
R<\frac{f^{2}}{2 K R_{0}},
\]

причем наклон касательной $R^{\prime}$ удовлетворяет неравенству
\[
R^{\prime 2} \geqslant \frac{R-R_{0}}{R}\left(\frac{f^{2}}{R_{0} R}-2 K\right) .
\]

Для того, чтобы доказать это утверждение, заметим прежде всего, что когда $R$ ограничено, как указано в начале доказываемого утверждения, то $R$ не может быть равно постоянной величине. В самом деле, если бы $R$ было постоянным, то равенство Лагранжа (15) давало бы $U=2 K$. Но комбинация равенства Сундмана (16) и формулы (18) с равенством $U=2 K$ дала бы
\[
\frac{f^{2}}{R^{2}} \leqslant 2 K,
\]

что противоречит ограничениям, наложенным на $R$. Подобными же рассуждениями мы можем показать, что если $R^{\prime}$ обращается в нуль, когда $R$ ограничено, как выше, то $R^{\prime \prime}$ должно быть положительным. В самом деле, в противном случае мы нашли бы из равенства Лагранжа (15) $U \leqslant 2 K$, и отсюда, применяя равенство Сундмана (16) и формулу (18), мы получили бы вышеупомянутое неравенство $f^{2} / R^{2} \leqslant 2 K$, приводящее к противоречию.

Если на рассматриваемой дуге имеется точка, для которой $R^{\prime}=0$, то в этой точке $R$ достигает абсолютного минимума. По обе стороны от нее функция $H$ (см. §5) будет возрастать (или, по крайней мере, не будет убывать) вместе с $R$, пока мы не придем (при $R=R_{1}$ ) к новой точке, для которой $R^{\prime}=0$. Отсюда получаем
\[
2 K R_{1}+\frac{f^{2}}{R_{1}} \geqslant 2 K R_{0}+\frac{f^{2}}{R_{0}},
\]

откуда
\[
2 K \geqslant \frac{f^{2}}{R_{0} R_{1}},
\]

так как $R_{1}>R_{0}$.
В этом случае $R$ действительно возрастает, по крайней мере, до тех пор, пока не превзойдет величину $f^{2} / 2 K R_{0}$. Кроме того, пока $R$ остается $\leqslant f / 2 K R_{0}, H$ остается не меньше $H_{0}$. Из этого следует, что $R^{\prime 2}$ в каждый момент не меньше выражения, указанного в формулировке доказываемой теоремы, так что теорема в этом случае справедлива.

Случай, когда $R^{\prime}
eq 0$ всюду на нашей дуге, может быть исключен из рассмотрения. В этом случае $H$ должно убывать (или по крайней мере не возрастать) с убыванием $R$. Следовательно, $R$ не может стремиться к нулю, потому что в этом случае $H$ делалось бы бесконечным. Когда $R$ будет приближаться к своей нижней границе $R_{0}$, то $R^{\prime}$ будет стремиться к нулю. Отсюда мы заключаем, что сформулированное неравенство для $R^{\prime 2}$ остается справедливым, если $R_{0}$ определено таким образом.

Но этот вид асимптотического приближения $R$ к значению $R_{0}$, когда $t$ безгранично возрастает (или убывает), невозможен. Эту невозможность можно показать следующим образом. Заменим в неравенстве $H \geqslant H_{0}$ знак $\geqslant$ знаком равенства. Таким способом мы определим новую кривую $R=R(t)$, наклон которой для любого $R$ не больше по абсолютной величине соответствующего наклона вдоль первоначальной кривой $R=R(t)$. Следовательно, определенная таким образом новая кривая приближается к оси $t$ медленнее, чем первоначальная, и должна тоже асимптотически приближаться к прямой $R=R_{0}$, что следует из уравнения $H=H_{0}$. Но дифференцируя это уравнение по $t$, получаем:
\[
2 R R^{\prime \prime}+R^{2}+2 K-\frac{f^{2}}{R^{2}}=0 .
\]

Следовательно, когда $t$ стремится к бесконечности, а $R, R^{\prime}$ стремятся к $R_{0}, 0$ соответственно, то $R^{\prime \prime}$ будет стремиться к определенному положительному количеству, что невозможно.

Полученные до сих пор результаты можно рассматривать как касающиеся тех движений, при которых все три тела находятся и некоторый момент $t=t_{0}$ близко друг к другу, причем их взаимное отдаление измеряется величиной $R$. Тела будут отдаляться друг от друга, так что $R$ будет возрастать, и при этом весьма быстро (при условии, что $R$ не будет ни слишком велико, ни слишком мало) до тех пор, пока $R$ не станет очень большим.

Мы переходим теперь к выводу аналогичных результатов для того случая, когда по крайней мере одно из расстояний между телами велико. В этом случае удобно пользоваться величиной $\rho$ вместо $R$. Нужно при этом принимать во внимание, что в последующем изложении $r$ обозначает все время наименьшее из трех расстояний.

Если $f>0, K>0$, то до тех пор, пока $\rho \geqslant \frac{2 M^{2}}{3 K}$, одно и то же расстояние $r_{2}$ будет наименьшим расстоянием.

При указанных условиях $\rho$ будет по крайней мере вдвое превосходить расстояние $r_{2}$. Следовательно, $r_{0}$ и $r_{1}$, превосходят $r_{2}$, так как $\rho$ есть расстояние от $P_{2}$ до центра тяжести тел $P_{0}$ и $P_{1}$. Но, если $r_{0}$ и $r_{1}$ превосходят $r_{2}$, то одно и то же расстояние $r_{2}$ все время остается наименьшим.
$B$ случае, когда $f>0, K>0$, получаем для $\rho \geqslant \frac{2 M^{2}}{3 K}$ неравенство
\[
\rho^{\prime \prime}>-\frac{8 M}{\rho^{2}} .
\]

Если для какого-нибудь такого значения $\rho$ имеем
\[
\rho^{\prime} \geqslant \frac{4 M^{1 / 2}}{\rho^{1 / 2}},
\]

то $\rho$ будет все вреля увеличиваться, стремясь к бесконечности.
Мы исходим из следующего тождества:
\[
\rho^{\prime \prime}+\rho^{\prime 2}=\xi \xi^{\prime \prime}+\eta \eta^{\prime \prime}+\zeta \zeta^{\prime \prime}+\xi^{2}+\eta^{2}+\zeta^{2} .
\]

Последние три слагаемых левой части представляют собою квадрат скорости точки $(\xi, \eta, \zeta)$, в то время как $\rho^{\prime 2}$ даст квадрат радиальной скорости и поэтому не превосходит величины $\xi^{2}+\eta^{2}+\zeta^{\prime 2}$. Из этого обстоятельства и дифференциальных уравнений (10) получаем:
\[
\rho \rho^{\prime \prime} \geqslant \frac{1}{\mu}\left(\xi \frac{\partial U}{\partial \xi}+\eta \frac{\partial U}{\partial \eta}+\zeta \frac{\partial U}{\partial \zeta}\right) .
\]

Но выражение в скобках в правой части как раз равно выражению $\rho \partial U / \partial n$, где производная $\partial U / \partial n$ взята по направлению прямой линии, соединяющей $P_{2}$ с центром тяжести тел $P_{0}$ и $P_{1}$. Очевидно, что $\partial r_{0} / \partial n$ и $\partial r_{1} / \partial n$ не могут по абсолютной величине превосходить единицу, и мы получаем:
\[
\rho \rho^{\prime \prime} \geqslant-\frac{\rho}{\mu}\left(\frac{m_{1} m_{2}}{r_{0}^{2}}+\frac{m_{0} m_{2}}{r_{1}^{2}}\right)>-M \rho\left(\frac{1}{r_{0}^{2}}+\frac{1}{r_{1}^{2}}\right)
\]
[см. формулы (7)]. Но в рассматриваемом случае $r_{0}$ и $r_{1}$ превосходят $\rho-r$ и, следовательно, $\rho / 2$. Это приводит к первому из доказываемых неравенств.

Вместо того, чтобы продолжать наше исследование аналитическим путем, заметим, что это неравенство можно рассматривать как равносильное требованию, чтобы частица двигалась вдоль оси $\rho$ под действием силы, направленной к началу координат и не превосходящей силу тяжести, вызываемую массой, равной $8 M$. Но в этом случае очевидно, что частица будет удаляться в бесконечность при условии, что начальная скорость, направленная от начала координат, будет не меньше скорости при падении из бесконечности под действием притяжения такой массы. Но это как раз и есть то, что требуется доказать.

Нужно отметить, что поскольку начальное значение величины $\rho$ не меньше, чем $2 M^{2} / 3 K$, то $\rho$ продолжает оставаться все время больше этой величины, и, следовательно, одно и то же расстояние $r$ остается всегда наименьшим из трех расстояний.

Мы собираемся теперь соединить вместе эти результаты и доказать, что если минимум $R_{0}$ достаточно мал, то $R$ и $\rho$ будут безгранично возрастать. Качественное основание этого рассуждения очевидно. Согласно тому, что было уже доказано, для $R^{*}$ и $R^{* \prime}$, сколь угодно больших, мы можем выбрать $R_{0}$ столь малым, что все движения, для которых минимум $R$ не превосходит $R_{0}$, соответствуют функции $R$, которая возрастает от своего минимума до $R^{*}$ и имеет при $R=R^{*}$ производную, не меньшую чем $R^{* \prime}$. Это означает, разумеется, что $\rho^{*}$ сколь угодно велико, потому что
\[
\lim _{R=\infty} \frac{R}{\rho}=\frac{1}{M^{1 / 2}}\left(m_{0} m_{2}+m_{1} m_{2}\right)^{1 / 2},
\]

причем стремление к пределу равномерно. Кроме того, так как мы имеем соотношение
\[
R R^{\prime}=m r r^{\prime}+\mu \rho \rho^{\prime},
\]

то, очевидно, что $\rho \rho^{\prime}$ должно быть велико и, в частности, $\left|\rho^{\prime}\right|$ должно быть велико при условии, что $\left|r r^{\prime}\right|$ равномерно ограничено. Но мы имеем
\[
r^{\prime 2} \leqslant x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}<\frac{2 U}{m},
\]

благодаря интегралу энергии (12). Отсюда:
\[
r^{2} r^{\prime 2}<\frac{2\left(m_{0} m_{1}+m_{0} m_{2}+m_{1} m_{2}\right) r}{m}<\frac{2 M^{2} r}{m^{*}}
\]

вследствие того, что $m$ превосходит половину наименьшей массы $m^{*}$. Таким путем находим
\[
\left|r r^{\prime}\right|<\frac{M^{2}}{K^{1 / 2} m^{* / 2}} .
\]

Следовательно, мы показали, что $\left|r r^{\prime}\right|$ равномерно ограничено.
Если для $f>0, K>0$ мы возьмем $R_{0}$ достаточно малым, то всякое движение, при котором наши три тела настолько сближаются, что в некоторый момент $R \leqslant R_{0}$, таково, что два из расстояний $r_{0}, r_{1}$ неограниченно возрастают вместе $c t$, тогда как третье $r_{2}$, остается все время меньшим $\frac{M^{2}}{3 K}$.

Мы не будем останавливаться на получении аналитической формулы, дающей $R_{0}$, хотя полученные выше результаты дали бы нам достаточный материал для вывода этой формулы.

Мы хотим в заключение остановиться на одном интересном вопросе, возникающем в связи с приведенными выводами. Вопрос заключается в следующем: которое из трех тел будет удаляться безгранично от двух других в случае близкого приближения к тройному столкновению? Ответ на этот вопрос дает следующее утверждение.

Всякое движение рассматриваемого типа характеризуется тем свойством, что в продолжение всего движения одно и то же тело (скажем $P_{2}$ ) остается на относительно далеком расстоянии от других двух ближайших тел.

В справедливости этого утверждения легко убедиться. В начале этого параграфа мы показали, что для $R$, большего или меньшего некоторых определенных величин, отношение наибольшего из расстояний к наименьшему будет как угодно велико. Следовательно, мы должны рассмотреть только промежуточные значения. Но в этих пределах, если бы отношение наибольшего расстояния к наименьшему не оставалось большим для достаточно малого $R_{0}$, существовали бы конфигурации трех
тел, при которых расстояния $r_{i}$ и отношения $r_{i} / r_{j}$ лежали бы между некоторыми постоянными границами, каким бы малым мы $R_{0}$ ни выбрали. Однако в таких конфигурациях величина $U$ не превосходит некоторого количества, и, следовательно, согласно интегралу энергии (12) то же было бы справедливо относительно скоростей $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}, \xi^{\prime}, \eta^{\prime}, \zeta^{\prime}$. Наконец, очевидно, что $R R^{\prime}$ не могло бы превзойти некоторую определенную величину. Но мы установили уже, что $R^{\prime}$ становится сколь угодно большим в таких пределах значений $R_{1}$, так что мы пришли к абсурду.

В этой области, очевидно, требуются еще дальнейшие исследования, целью которых должно быть более точное определение количественного характера движений; но доказанных здесь фактов достаточно для того, чтобы установить, что единственный случай, при котором возможно одновременное близкое приближение всех трех тел при данных $f>0, K>0$, будет тот, когда эти тела ведут себя, как пара тел, одно из которых соответствует ближайшим двум телам $P_{0}$ и $P_{1}$, тогда как другим является $P_{2}$. Движения тела $P_{2}$ и центра тяжести тел $P_{0}$ и $P_{1}$, будут в этом случае происходить по почти гиперболическим путям, тогда как $P_{0}$ и $P_{1}$ будут двигаться относительно их центра тяжести по почти эллиптическим орбитам.