Построение преобразования $T T^{*}$. Мы переходим теперь к рассмотрению задач, связанных с геодезическими линиями на аналитической поверхности. Для того, чтобы получить насколько возможно более конкретные результаты, мы ограничимся случаем замкнутой выпуклой поверхности $S$, хотя окажется, что эти ограничения не являются необходимыми для приводимого ниже рассуждения.

Мы уже установили существование по крайней мере одной замкнутой геодезической линии $g$ типа минимакса (глава V, §7), которую мы будем считать не имеющей двойных точек. Наше первое утверждение заключается в том, что существует настолько большое положительное число $L$, что любая геодезическая дуга длины, большей $L$, пересекает $g$ по крайней мере дважды (или идет вдоль $g$ ). В самом деле, в противном случае существовала бы последовательность геодезических дуг $g_{n}$ длиной $L_{n}$, из которых ни одна не пересекает $g$, причем $\lim L_{n}=+\infty$. Но для этого необходимо, чтобы при достаточно большом $L_{n}$ никакая часть $g_{n}$ не лежала бы слишком близко от $g$, потому что замкнутые геодезические линии типа минимакса обладают тем свойством, что лежащие в окрестности их геодезические дуги пересекают их в точках, отделенных каждая от своей предыдущей дугами ограниченной длины; точнее, можно показать, что если $P$ есть точка, лежащая на $g$, и $P^{\prime \prime}$ ее вторая сопряженная точка в смысле вариационного исчисления, то дуга $P P^{\prime \prime}$ делает по крайней мере один полный оборот на $g .^{1}$
1 Доказательство этого утверждения см. в моей статье «Dynamical Systems with Two Degrees of Freedom», Trans. Amer. Math. Soc., vol. 18, 1917, особенно $\S 19$.

Следовательно, если $P_{n}$ будет середина $g_{n}$, то последовательность точек $P_{n}$ будет иметь предельную точку $P$, не лежащую на $g$, и геодезические линии $g_{n}$ будут иметь по крайней мере одно такое предельное направление в $P$, что полная геодезическая линия $h$, проходящая через $P$ по этому направлению, не пересекается с $g$ и даже нигде не приближается к $g$.

Рассмотрим теперь ту часть поверхности $S$, разделенной линией $g$ на две части, в которой лежит $h$, и в частности часть $S$, лежащую между $g$ и $h$. Одной из границ этой области $s$ будет линия $g$, имеющая всюду геодезическую кривизну, равную нулю, а другая граница $\gamma$ состоит из части или всего $h$ и его предельных точек.

Пусть $N_{1}$ и $N_{2}$ будут две близкие достижимые точки полученной таким образом границы $\gamma$, так что в области $s$ существует короткая криволинейная дуга $N_{1} A N_{2}$, все внутренние точки которой лежат не на границе $s$. Рассмотрим также короткую геодезическую дугу $N_{1} G N_{2}$. Тогда кривая $N_{1} A N_{2} G N_{1}$ ограничивает некоторую область $\sigma$.

Если какая-нибудь внутренняя точка дуги $N_{1} G N_{2}$ принадлежит границе $\gamma$, то вся дуга $N_{1} G N_{2}$, должна лежать на этой границе; иначе, кривая $h$ пересекала бы $N_{1} G N_{2}$, и, следовательно, должна была бы иметь общие точки с $N_{1} A N_{2}$, что противоречит определению $N_{1} A N_{2}$. В этом случае $N_{1} G N_{2}$ составлнет часть границы $\gamma$ и область $\sigma$ лежит целиком в $s$. Если геодезическая дуга $N_{1} G N_{2}$ не имеет внутренней точки, принадлежащей $\gamma$, то она лежит целиком внутри области $s$, за исключением точек $N_{1}$ и $N_{2}$. Следовательно, если мы возьмем на границе $\gamma$ циклическую цепь близких точек
\[
N_{1}, N_{2}, \ldots, N_{n},
\]

то различные между собой короткие геодезические дуги $N_{1} N_{2}$, $N_{2} N_{3}, \ldots, N_{n} N_{1}$ все лежат внутри $s$ или совпадают с $\gamma$. Мы предполагаем, что эта цепь обходит $\gamma$ в положительном угловом направлении. В этом случае граница $\gamma$ будет все время оставаться слева. Но в построенном таким образом многоугольнике из геодезических дуг угол в области $s$ при любой вершине будет меньше или равен $\pi$. В самом деле, если бы, например, угол при $N_{i+1}$ превосходил $\pi$, то было бы очевидно, что $\gamma$ лежит также влево от короткой геодезической дуги $N_{i} N_{i+2}$ и, таким образом, точка $N_{i+1}$ оказалась бы вполне окруженной точками, не лежащими на $\gamma$, что невозможно.

Но интегральная кривизна части $S$, ограниченной этим многоугольником, будет согласно известной формуле в точности равна сумме этих $n$ внутренних углов, уменьшенной на величину ( $n-2$ ) $\pi$, и, таким образом, будет меньше $2 \pi$, что невозможно, потому что интегральная кривизна каждой из обеих областей, ограниченных кривой $g$, равна в точности $2 \pi$ согласно той же формуле.

Таким образом, мы пришли к противоречию, в силу чего наше утверждение о существовании числа $L$, обладающего тем свойством, что все геодезические дуги длины больше $L$, пересекают $g$, должно быть справедливо.

Мы введем теперь систему параметров, определяющих геодезические линии следующим образом: пусть какая-нибудь произвольно направленная геодезическая линия $f$ пересекает данную направленную геодезическую линию $g$ точке $P$. Положение точки $P$ может быть определено ее геодезическим расстоянием $\vartheta$ от некоторой фиксированной точки на $g$, если полную длину $g$ мы примем за $2 \pi$, что всегда можно сделать, выбрав соответствующую единицу длины, то переменная $\vartheta$ будет периодической с периодом $2 \pi$. Далее, буквой $\varphi$ мы обозначим угол между положительными направлениями линий $g$ и $f$ в точке $P$, так что $0<\varphi<\varphi\left({ }^{15}\right)$.

Следующий раз линия $f$ пересечет линию $g$ в противоположном направлении, и соответствующие координаты $\vartheta_{1}^{*}$ и $\varphi_{1}^{*}$ будут изменяться аналитически вместе с $\vartheta$ и $\varphi$. Таким образом, мы определяем преобразование $T$ :
\[
\varphi_{1}^{*}=h(\varphi, \vartheta), \quad \vartheta_{1}^{*}=\chi(\varphi, \vartheta),
\]

которое переводит в себя кольцо $R$ :
\[
0<\varphi<\pi, \quad 0 \leqslant \vartheta<2 \pi,
\]

где $\varphi+\pi$ и $\vartheta$ – полярные координаты точки кольца, так же как в предыдущем параграфе.

Подобным же образом за этим пересечением с координатами $\varphi^{*}, \vartheta^{*}$ будет следовать пересечение снова в первоначальном направлении с координатами $\varphi_{1}, \vartheta_{1}$; таким образом, определяется второе преобразование кольца в себя, а именно $T^{*}$ :
\[
\varphi_{1}=h^{*}\left(\varphi^{*}, \vartheta^{*}\right), \quad \vartheta_{1}=\chi^{*}\left(\varphi^{*}, \vartheta^{*}\right) .
\]

Вдоль границ кольца $R$ мы можем считать преобразования $T$ и $T^{*}$ непрерывными. В этом обстоятельстве можно убедиться следующим образом. Если геодезическая линия $f$, близкая к $g$, пересекает $g$ под малым углом $\varphi$ в данной точке $\vartheta$, то, разумеется, $f$ пересечет $g$ опять под малым углом $\varphi_{1}^{*}$ в точке $\vartheta_{1}^{*}$, близкой к сопряженной с первой точкой пересечения, как было указано выше. Из этого следует доказываемая непрерывность. Кроме того, мы знаем, что три последовательные сопряженные точки соответствуют дуге, большей одного полного цикла кривой $g$.

Если $\varphi=0$ или $\varphi=\pi$, то будем иметь соответственно $\varphi_{1}^{*}=0$ или $\varphi_{1}^{*}=\pi$, так же как, если $\varphi^{*}=0$ или $\pi$, то будем иметь $\varphi_{1}=0$ или $\pi$ соответственно. Кроме того, если $\vartheta$ или $\vartheta^{*}$ возрастает вдоль границы кольца, то соответственно $\vartheta_{1}^{*}$ или $\vartheta_{1}$ будет возрастать. Действительно, мы уже видели, что если $\vartheta$ – координата точки $P$, то $\vartheta_{1}^{*}$ есть координата сопряженной точки $P^{\prime}$. Таким образом, $T$ и $T^{*}$ суть прямые преобразования $\left({ }^{16}\right)$ кольца, переводящие внутреннюю и внешнюю границы $R$ в самих себя.
Рис. 4
Рассмотрим теперь несколько подробнее характер преобразования $T$ и $T^{*}$ вдоль границ. Эти преобразования, очевидно, определены только с точностью до полных оборотов, и желательно было бы установить какое-нибудь соглашение, которое устранило бы этот произвол и дало бы нам возможность сравнить преобразование вдоль внутренней и вдоль внешней границы кольца. Рассмотрим любую направленную дугу $P_{0} P_{1}$ геодезической линии $f$ между двумя последовательными точками пересечения $P_{0}$ и $P_{1}$ линий $f$ и $g$ (рис. 4 ) и будем называть двойную точку $Q$ дуги $P_{0} P_{1}$ положительной, если движущаяся точка, описывающая дугу $P_{0} P_{1}$, пересекая свой пройденный путь в точке $Q$, переходит с левой стороны на правую, и отрицательной в противоположном случае. «Индексом» дуги $P_{0} P_{1}$ мы назовем разность между числом положительных и числом отрицательных двойных точек в дуге $P_{0} P_{1}$. Определим теперь значение разности $\vartheta_{1}^{*}-\vartheta$ как равное наименьшей положительной дуге $P_{0} P_{1}$ линии $g$, увеличенное на $2 \pi i$, где $i$ – индекс дуги.

Мы можем показать теперь, что определенное таким образом $\vartheta_{1}^{*}$ изменяется непрерывно вместе с $\vartheta$ и $\varphi$. В самом деле, если $\vartheta$ и $\varphi$ изменяются, то новые двойные точки не могут появиться внутри дуги $P_{0} P_{1}$, потому что геодезическая дуга не может касаться себя самой. Если положительная двойная точка появляется в $P_{1}$, то, очевидно, $\vartheta_{1}^{*}$ увеличивается как раз на $2 \pi$, как и должно быть по нашему определению. При появлении отрицательной двойной точки $\vartheta_{1}^{*}$ подобным же образом уменьшается на $2 \pi$. Таким образом, наше соглашение приводит к непрерывной функции во всех случаях.

Но очевидно также, что если геодезическую дугу $P_{0} P_{1}$, лежащую в окрестности кривой $g$, непрерывно деформировать в этой окрестности, не сохраняя ее геодезического характера, но оставляя точки $P_{0}$ и $P_{1}$ неподвижными и допуская только простое внутреннее касание, то положительные и отрицательные двойные точки будут появляться одновременно парами, так что индекс кривой не изменится. Таким образом, если мы дугу $P_{0} P_{1}$ преобразуем в спиралеобразную кривую, исключив все отрицательные двойные точки, то индекс, очевидно, будет равен числу оборотов этой спирали вдоль $g$. В этом случае увеличение $\vartheta$, т.е. $\vartheta_{1}^{*}-\vartheta$, будет измеряться согласно нашему условию длиной дуги вдоль кривой $g\left({ }^{17}\right)$. Если, однако, нами исключены все положительные двойные точки, то наше соглашение даст для разности $\vartheta_{1}^{*}-\vartheta$ выражение $2 \pi i(i \leqslant 0)$ плюс угловое значение кратчайшей положительной дуги $P_{0} P_{1}$, и, следовательно, эта разность $\vartheta_{1}^{*}-\vartheta$ превосходит длину дуги $P_{0} P_{1}$ на $2 \pi\left({ }^{18}\right)$.

Отсюда выводим, что, согласно нашему условию, разность $\vartheta_{1}^{*}-\vartheta$ измеряется для $\varphi=0$ фактическим приращением $\vartheta$ вдоль $g$, а для $\varphi=\pi$ эта разность измеряется алгебраическим приращением (фактически убыванием) $\vartheta$ вдоль дуги, увеличенным на $2 \pi$, так как дуга $P_{0} P_{1}$ должна браться в положительном направлении.

Но при переходе от точки $P$ к ее второй сопряженной точке $P^{\prime \prime}$, при $\varphi=0, \vartheta$ увеличивается на некоторую величину $\alpha$, причем
\[
2 k \pi \leqslant \alpha<2(k+1) \pi,
\]

где число $k \geqslant 1$ не зависит от положения точки $P$; действительно, однооднозначное прямое преобразование точек кривой $g$, переводящее любую точку $P$ в ее вторую сопряженную, определяет коэффициент вращения $^{1}$, лежащий между $2 k \pi$ и $2(k+1) \pi$ причем $k \geqslant 1$, благодаря упомянутому уже свойству сопряженных точек на геодезической линии минимаксного типа. Отсюда мы получаем неравенство
\[
2 k \pi \leqslant \chi(0, \vartheta)-\vartheta<2(k+1) \pi .
\]

Подобным же образом, рассматривая случай $\varphi=\pi$, убедимся, что $\vartheta_{1}^{*}-2 \pi$ уменьшается на аналогичную величину, так что имеем:
\[
-2 k \pi<\chi(\pi, \vartheta)-\vartheta \leqslant-2(k-1) \pi .
\]
${ }^{1}$ Определение коэффициентов вращения Пуанкаре и краткое рассмотрение их свойств см. в моей статье «Surface Transformations and Their Dynamical Applications», Acta, Mathematica, vol. 43, 1922, $\$ 45$.

Отсюда следует, что преобразование $T$ (или $T^{*}$ ) передвигает в противоположных направлениях точки обеих границ кольца $R$, во всяком случае, если мы исключим тот особый случай, когда вторая сопряженная точка совпадает с первоначальной после одного цикла кривой $g\left({ }^{19}\right)$.