Построение преобразования $T{T}^{\ast }$. Мы переходим теперь к рассмотрению задач, связанных с геодезическими линиями на аналитической поверхности. Для того, чтобы получить насколько возможно более конкретные результаты, мы ограничимся случаем замкнутой выпуклой поверхности $S$, хотя окажется, что эти ограничения не являются необходимыми для приводимого ниже рассуждения.

Мы уже установили существование по крайней мере одной замкнутой геодезической линии $g$ типа минимакса (глава V, §7), которую мы будем считать не имеющей двойных точек. Наше первое утверждение заключается в том, что существует настолько большое положительное число $L$, что любая геодезическая дуга длины, большей $L$, пересекает $g$ по крайней мере дважды (или идет вдоль $g$ ). В самом деле, в противном случае существовала бы последовательность геодезических дуг $g_n$ длиной $L_n$, из которых ни одна не пересекает $g$, причем $lim{L}_n=+\mathrm{\infty }$. Но для этого необходимо, чтобы при достаточно большом $L_n$ никакая часть $g_n$ не лежала бы слишком близко от $g$, потому что замкнутые геодезические линии типа минимакса обладают тем свойством, что лежащие в окрестности их геодезические дуги пересекают их в точках, отделенных каждая от своей предыдущей дугами ограниченной длины; точнее, можно показать, что если $P$ есть точка, лежащая на $g$, и $P^{\prime \prime }$ ее вторая сопряженная точка в смысле вариационного исчисления, то дуга $P{P}^{\prime \prime }$ делает по крайней мере один полный оборот на $g{.}^1$
1 Доказательство этого утверждения см. в моей статье «Dynamical Systems with Two Degrees of Freedom», Trans. Amer. Math. Soc., vol. 18, 1917, особенно $\mathrm{\S }19$.

Следовательно, если $P_n$ будет середина $g_n$, то последовательность точек $P_n$ будет иметь предельную точку $P$, не лежащую на $g$, и геодезические линии $g_n$ будут иметь по крайней мере одно такое предельное направление в $P$, что полная геодезическая линия $h$, проходящая через $P$ по этому направлению, не пересекается с $g$ и даже нигде не приближается к $g$.

Рассмотрим теперь ту часть поверхности $S$, разделенной линией $g$ на две части, в которой лежит $h$, и в частности часть $S$, лежащую между $g$ и $h$. Одной из границ этой области $s$ будет линия $g$, имеющая всюду геодезическую кривизну, равную нулю, а другая граница $\gamma$ состоит из части или всего $h$ и его предельных точек.

Пусть $N_1$ и $N_2$ будут две близкие достижимые точки полученной таким образом границы $\gamma$, так что в области $s$ существует короткая криволинейная дуга $N_{1}A{N}_2$, все внутренние точки которой лежат не на границе $s$. Рассмотрим также короткую геодезическую дугу $N_{1}G{N}_2$. Тогда кривая $N_{1}A{N}_{2}G{N}_1$ ограничивает некоторую область $\sigma$.

Если какая-нибудь внутренняя точка дуги $N_{1}G{N}_2$ принадлежит границе $\gamma$, то вся дуга $N_{1}G{N}_2$, должна лежать на этой границе; иначе, кривая $h$ пересекала бы $N_{1}G{N}_2$, и, следовательно, должна была бы иметь общие точки с $N_{1}A{N}_2$, что противоречит определению $N_{1}A{N}_2$. В этом случае $N_{1}G{N}_2$ составлнет часть границы $\gamma$ и область $\sigma$ лежит целиком в $s$. Если геодезическая дуга $N_{1}G{N}_2$ не имеет внутренней точки, принадлежащей $\gamma$, то она лежит целиком внутри области $s$, за исключением точек $N_1$ и $N_2$. Следовательно, если мы возьмем на границе $\gamma$ циклическую цепь близких точек
$$N_1,N_2,\dots ,N_n,$$

то различные между собой короткие геодезические дуги $N_1{N}_2$, $N_2{N}_3,\dots ,N_n{N}_1$ все лежат внутри $s$ или совпадают с $\gamma$. Мы предполагаем, что эта цепь обходит $\gamma$ в положительном угловом направлении. В этом случае граница $\gamma$ будет все время оставаться слева. Но в построенном таким образом многоугольнике из геодезических дуг угол в области $s$ при любой вершине будет меньше или равен $\pi$. В самом деле, если бы, например, угол при $N_{i+1}$ превосходил $\pi$, то было бы очевидно, что $\gamma$ лежит также влево от короткой геодезической дуги $N_i{N}_{i+2}$ и, таким образом, точка $N_{i+1}$ оказалась бы вполне окруженной точками, не лежащими на $\gamma$, что невозможно.

Но интегральная кривизна части $S$, ограниченной этим многоугольником, будет согласно известной формуле в точности равна сумме этих $n$ внутренних углов, уменьшенной на величину ( $n-2$ ) $\pi$, и, таким образом, будет меньше $2\pi$, что невозможно, потому что интегральная кривизна каждой из обеих областей, ограниченных кривой $g$, равна в точности $2\pi$ согласно той же формуле.

Таким образом, мы пришли к противоречию, в силу чего наше утверждение о существовании числа $L$, обладающего тем свойством, что все геодезические дуги длины больше $L$, пересекают $g$, должно быть справедливо.

Мы введем теперь систему параметров, определяющих геодезические линии следующим образом: пусть какая-нибудь произвольно направленная геодезическая линия $f$ пересекает данную направленную геодезическую линию $g$ точке $P$. Положение точки $P$ может быть определено ее геодезическим расстоянием $\vartheta$ от некоторой фиксированной точки на $g$, если полную длину $g$ мы примем за $2\pi$, что всегда можно сделать, выбрав соответствующую единицу длины, то переменная $\vartheta$ будет периодической с периодом $2\pi$. Далее, буквой $\phi$ мы обозначим угол между положительными направлениями линий $g$ и $f$ в точке $P$, так что $0<\phi <\phi \left({}^{15}\right)$.

Следующий раз линия $f$ пересечет линию $g$ в противоположном направлении, и соответствующие координаты ${\vartheta }_1^{\ast }$ и ${\phi }_1^{\ast }$ будут изменяться аналитически вместе с $\vartheta$ и $\phi$. Таким образом, мы определяем преобразование $T$ :
$${\phi }_1^{\ast }=h(\phi ,\vartheta ),{\vartheta }_1^{\ast }=\chi (\phi ,\vartheta ),$$

которое переводит в себя кольцо $R$ :
$$0<\phi <\pi ,0⩽\vartheta <2\pi ,$$

где $\phi +\pi$ и $\vartheta$ — полярные координаты точки кольца, так же как в предыдущем параграфе.

Подобным же образом за этим пересечением с координатами ${\phi }^{\ast },{\vartheta }^{\ast }$ будет следовать пересечение снова в первоначальном направлении с координатами ${\phi }_1,{\vartheta }_1$; таким образом, определяется второе преобразование кольца в себя, а именно $T^{\ast }$ :
$${\phi }_1=h^{\ast }({\phi }^{\ast },{\vartheta }^{\ast }),{\vartheta }_1={\chi }^{\ast }({\phi }^{\ast },{\vartheta }^{\ast }).$$

Вдоль границ кольца $R$ мы можем считать преобразования $T$ и $T^{\ast }$ непрерывными. В этом обстоятельстве можно убедиться следующим образом. Если геодезическая линия $f$, близкая к $g$, пересекает $g$ под малым углом $\phi$ в данной точке $\vartheta$, то, разумеется, $f$ пересечет $g$ опять под малым углом ${\phi }_1^{\ast }$ в точке ${\vartheta }_1^{\ast }$, близкой к сопряженной с первой точкой пересечения, как было указано выше. Из этого следует доказываемая непрерывность. Кроме того, мы знаем, что три последовательные сопряженные точки соответствуют дуге, большей одного полного цикла кривой $g$.

Если $\phi =0$ или $\phi =\pi$, то будем иметь соответственно ${\phi }_1^{\ast }=0$ или ${\phi }_1^{\ast }=\pi$, так же как, если ${\phi }^{\ast }=0$ или $\pi$, то будем иметь ${\phi }_1=0$ или $\pi$ соответственно. Кроме того, если $\vartheta$ или ${\vartheta }^{\ast }$ возрастает вдоль границы кольца, то соответственно ${\vartheta }_1^{\ast }$ или ${\vartheta }_1$ будет возрастать. Действительно, мы уже видели, что если $\vartheta$ — координата точки $P$, то ${\vartheta }_1^{\ast }$ есть координата сопряженной точки $P^{\prime }$. Таким образом, $T$ и $T^{\ast }$ суть прямые преобразования $\left({}^{16}\right)$ кольца, переводящие внутреннюю и внешнюю границы $R$ в самих себя.
Рис. 4
Рассмотрим теперь несколько подробнее характер преобразования $T$ и $T^{\ast }$ вдоль границ. Эти преобразования, очевидно, определены только с точностью до полных оборотов, и желательно было бы установить какое-нибудь соглашение, которое устранило бы этот произвол и дало бы нам возможность сравнить преобразование вдоль внутренней и вдоль внешней границы кольца. Рассмотрим любую направленную дугу $P_0{P}_1$ геодезической линии $f$ между двумя последовательными точками пересечения $P_0$ и $P_1$ линий $f$ и $g$ (рис. 4 ) и будем называть двойную точку $Q$ дуги $P_0{P}_1$ положительной, если движущаяся точка, описывающая дугу $P_0{P}_1$, пересекая свой пройденный путь в точке $Q$, переходит с левой стороны на правую, и отрицательной в противоположном случае. «Индексом» дуги $P_0{P}_1$ мы назовем разность между числом положительных и числом отрицательных двойных точек в дуге $P_0{P}_1$. Определим теперь значение разности ${\vartheta }_1^{\ast }-\vartheta$ как равное наименьшей положительной дуге $P_0{P}_1$ линии $g$, увеличенное на $2\pi i$, где $i$ — индекс дуги.

Мы можем показать теперь, что определенное таким образом ${\vartheta }_1^{\ast }$ изменяется непрерывно вместе с $\vartheta$ и $\phi$. В самом деле, если $\vartheta$ и $\phi$ изменяются, то новые двойные точки не могут появиться внутри дуги $P_0{P}_1$, потому что геодезическая дуга не может касаться себя самой. Если положительная двойная точка появляется в $P_1$, то, очевидно, ${\vartheta }_1^{\ast }$ увеличивается как раз на $2\pi$, как и должно быть по нашему определению. При появлении отрицательной двойной точки ${\vartheta }_1^{\ast }$ подобным же образом уменьшается на $2\pi$. Таким образом, наше соглашение приводит к непрерывной функции во всех случаях.

Но очевидно также, что если геодезическую дугу $P_0{P}_1$, лежащую в окрестности кривой $g$, непрерывно деформировать в этой окрестности, не сохраняя ее геодезического характера, но оставляя точки $P_0$ и $P_1$ неподвижными и допуская только простое внутреннее касание, то положительные и отрицательные двойные точки будут появляться одновременно парами, так что индекс кривой не изменится. Таким образом, если мы дугу $P_0{P}_1$ преобразуем в спиралеобразную кривую, исключив все отрицательные двойные точки, то индекс, очевидно, будет равен числу оборотов этой спирали вдоль $g$. В этом случае увеличение $\vartheta$, т.е. ${\vartheta }_1^{\ast }-\vartheta$, будет измеряться согласно нашему условию длиной дуги вдоль кривой $g\left({}^{17}\right)$. Если, однако, нами исключены все положительные двойные точки, то наше соглашение даст для разности ${\vartheta }_1^{\ast }-\vartheta$ выражение $2\pi i(i⩽0)$ плюс угловое значение кратчайшей положительной дуги $P_0{P}_1$, и, следовательно, эта разность ${\vartheta }_1^{\ast }-\vartheta$ превосходит длину дуги $P_0{P}_1$ на $2\pi \left({}^{18}\right)$.

Отсюда выводим, что, согласно нашему условию, разность ${\vartheta }_1^{\ast }-\vartheta$ измеряется для $\phi =0$ фактическим приращением $\vartheta$ вдоль $g$, а для $\phi =\pi$ эта разность измеряется алгебраическим приращением (фактически убыванием) $\vartheta$ вдоль дуги, увеличенным на $2\pi$, так как дуга $P_0{P}_1$ должна браться в положительном направлении.

Но при переходе от точки $P$ к ее второй сопряженной точке $P^{\prime \prime }$, при $\phi =0,\vartheta$ увеличивается на некоторую величину $\alpha$, причем
$$2k\pi ⩽\alpha <2(k+1)\pi ,$$

где число $k⩾1$ не зависит от положения точки $P$; действительно, однооднозначное прямое преобразование точек кривой $g$, переводящее любую точку $P$ в ее вторую сопряженную, определяет коэффициент вращения ${}^1$, лежащий между $2k\pi$ и $2(k+1)\pi$ причем $k⩾1$, благодаря упомянутому уже свойству сопряженных точек на геодезической линии минимаксного типа. Отсюда мы получаем неравенство
$$2k\pi ⩽\chi (0,\vartheta )-\vartheta <2(k+1)\pi .$$

Подобным же образом, рассматривая случай $\phi =\pi$, убедимся, что ${\vartheta }_1^{\ast }-2\pi$ уменьшается на аналогичную величину, так что имеем:
$$-2k\pi <\chi (\pi ,\vartheta )-\vartheta ⩽-2(k-1)\pi .$$
${}^1$ Определение коэффициентов вращения Пуанкаре и краткое рассмотрение их свойств см. в моей статье «Surface Transformations and Their Dynamical Applications», Acta, Mathematica, vol. 43, 1922, $\mathrm{\$}45$.

Отсюда следует, что преобразование $T$ (или $T^{\ast }$ ) передвигает в противоположных направлениях точки обеих границ кольца $R$, во всяком случае, если мы исключим тот особый случай, когда вторая сопряженная точка совпадает с первоначальной после одного цикла кривой $g\left({}^{19}\right)$.