Вышеприведенные теоремы могут быть обобщены и дополнены в различных направлениях.

Прежде всего рассмотрим случай, когда $X_{i}$ суть функции от $x_{1}, \ldots, x_{n}$ и параметра $c$, определенные для всех $x$ в области $R$ и для $c^{\prime}<c<c^{\prime \prime}$, равномерно непрерывные в той же области и кроме того удовлетворяющие условию Липшица относительно $n+1$ переменных $x_{1}, \ldots, x_{n}, c$. Рассмотрим систему $n+1$ дифференциальных уравнений
\[
\begin{aligned}
\frac{d x_{i}}{d t} & =X_{i}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, x_{n+1}\right) \quad(i=1, \ldots, n), \\
\frac{d x_{n+1}}{d t} & =0
\end{aligned}
\]

с начальными условиями
\[
x_{i}\left(t_{0}\right)=x_{i}^{0} \quad(i=1, \ldots, n), x_{n+1}\left(t_{0}\right)=c,
\]

где $x^{0}$ находится в $R$ и $\mathrm{c}^{\prime}<\mathrm{c}<\mathrm{c}^{\prime \prime}$. Теорема существования, теорема единственности и первая теорема о непрерывности могут быть применены к этим уравнениям. Из этих теорем следует, что единственное решение $x_{i}(t)(i=1, \ldots, n+1)$ существует и непрерывно по $x_{i}^{0}$ и $c$. Но это решение, очевидно, удовлетворяет уравнениям
\[
\frac{d x_{i}}{d t}=X_{i}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, c\right) \quad(i=1, \ldots, n)
\]

и начальным условиям $x_{i}\left(t_{0}\right)=x^{0}$.
Если $X_{i}$ кроме того обладает ограниченными первыми частными производными по $x_{1}, \ldots, x_{n}, c$, удовлетворяющими условию Липшица относительно этих переменных, то по второй теореме о непрерывности $\partial x_{i} / \partial c$ будут существовать.

Следовательно, теоремы существования, единственности и непрерывности непосредственно распространяются на случай, когда правые части $\mathrm{X}_{i}$ дифференциальных уравнений (1) содержат один или несколько параметров.
Далее положим, что выражение $X_{i}$ содержит $t$ наряду с $x_{1}, \ldots, x_{n}$. Рассматривая, аналогично предыдущему, систему дифференциальных уравнений
\[
\frac{d x_{i}}{d t}=X_{i}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, x_{n+1}\right) \quad(i=1, \ldots, n), d x_{n+1} / d t=1
\]

с $n+1$ начальным условием
\[
x_{i}\left(t_{0}\right)=x_{i}^{0} \quad(i=1, \ldots, n), \quad x_{n+1}\left(t_{0}\right)=t_{0},
\]

мы видим, что при надлежащем ограничении для $t$ эта система имеет решение и что это решение единственно, если функции $X_{i}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, t\right)$ удовлетворяют условию Липшица относительно $x_{1}, \ldots, x_{n}, t$. Легко формулировать для этой системы также утверждение, соответствующее первой и второй теореме непрерывности.

Таким образом, подобное же обобщение может быть сделано для случая, когда функции $X_{i}$, зависят от времени $t$.

Далее положим, что $X_{i}$ зависят только от $x_{1}, \ldots, x_{n}$ и обладают непрерывными частными производными включительно до порядка $\mu>0$, причем частные производные порядка $\mu$ удовлетворяют условию Липшица. Приведенное выше доказательство второй теоремы о непрерывности показывает, что данная система (1) дифференциальных уравнений может быть заменена подобной же системой порядка $2 n$ с зависимыми переменными $x_{1}, \ldots, x_{n}$ и $y_{1}, \ldots, y_{n}$, где, например, $y_{i}=\partial x_{i} / \partial x_{1}^{0}$; эта система порядка $2 n$ состоит, разумеется, из данных $n$ уравнений и из $n$ уравнений вариации. Если мы теперь применим вторую теорему о непрерывности к этой дополненной системе, то получим непосредственно, что вторые частные производные $\partial^{2} x_{i} / \partial x_{j}^{0} \partial x_{i}^{0}$ и подобным же образом $\partial^{2} x_{i} / \partial x_{j}^{0} \partial x_{k}^{0}$ существуют и непрерывны. В дополненной системе уравнений правые части будут вообще иметь непрерывные частные производные вплоть до порядка $\mu-1$, причем последние будут удовлетворять условию Липшица.

Повторяя вышеприведенное рассуждение, мы докажем существование частных производных $x_{1}, \ldots, x_{n}$ по $x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}$ включительно до порядка $\mu$.
$B$ случае, если функции $X_{i}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ имеют конечные частные производные до порядка $\mu$ включительно, причем частные производные порядка $\mu$ удовлетворяют условию Липиица, то составляющие $x_{1}, \ldots, x_{n}$, рассматриваемые как функции от $x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}, t-t_{0}$, обладают непрерывными частными производными до порядка $\mu$ включительно.

Важным частным случаем этой теоремы, с которым мы только и будем иметь дело в дальнейшем, будет тот случай, когда функции $\mathrm{X}_{i}$ имеют непрерывные частные производные по $x_{1}, \ldots, x_{n}$ любого порядка. В этом случае составляющие $x_{1}, \ldots, x_{n}$ будут иметь непрерывные частные производные любого порядка по $x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}, t-t_{0}$

Если кроме того функции $X_{i}$ суть аналитические функции от $x_{1}, \ldots, x_{n}$, то составляющие $x_{1}, \ldots, x_{n}$, рассматриваемые как функции от $x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}, t-t_{0}$ будут аналитическими функциями этих переменных.
Наметим вкратце доказательство этого важного факта.
Заметим прежде всего, что достаточно показать, что единственное решение уравнений (1), обращающееся в $x^{0}$ при $t=0$, имеет в качестве составляющих аналитические функции от $x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}, t$. Как и во второй теореме о непрерывности, общий случай мы можем привести к этому, заменив в дифференциальных уравнениях $t$ на $t^{\prime}=t-t_{0}$.
Далее, полагая
\[
x_{1}^{\prime}=x_{1}-x_{1}^{0}, \ldots, \quad x_{n}^{\prime}=x_{n}-x_{n}^{0}
\]

и подставляя $x_{1}^{\prime}, \ldots, x_{n}^{\prime}$ в наши уравнения, мы видим, что мы можем ограничиться доказательством аналитичности $x_{1}, \ldots, x_{n}$ в окрестности начала координат. Но так как $X_{i}$ в этом случае суть аналитические функции в окрестности начала, то мы можем написать:
\[
X_{i} \ll \frac{M}{1-\frac{x_{1}+\ldots+x_{n}}{r}} \quad(i=1, \ldots, n),
\]

где $M$ — достаточно большое положительное количество, а $r$ — достаточно малое положительное количество. Написанная формула означает, что все коэффициенты разложения $X_{i}$ в ряд по степеням $x_{i}$ не превосходят по абсолютной величине соответствующих коэффициентов разложения в ряд правой части ${ }^{1}$.

Рассмотрим вспомогательную систему дифференциальных уравнений
\[
\frac{d x_{i}}{d t}=\frac{M}{1-\frac{x_{1}+\ldots+x_{n}}{r}},
\]

единственным решением которой, удовлетворяющим условию
\[
x_{1}=x_{1}^{0}, \ldots \quad x_{n}=x_{n}^{0}
\]

при $t=0$, будет, очевидно,
\[
x_{i}=x_{i}^{0}+u \quad(i=1, \ldots, n),
\]

где $u$ определяется уравнением
\[
\left(1-\frac{x_{1}^{0}+\ldots+x_{n}^{0}}{r}\right) u-\frac{n u^{2}}{2 r}=M t .
\]

В этом случае $x_{1}, \ldots, x_{n}$ очевидно, аналитические функции от $x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}, t$; далее, явное выражение для $x_{1}, \ldots, x_{n}$, получаемое последовательным дифференцированием вспомогательной системы уравнений и подстановкой в полученные равенства значений $x_{1}^{0}=\ldots=$
${ }^{1}$ Доказательство соотношения этого типа см., например, у E.Picard, Traité d’Analyse, т. 2, гл. 9.

$=x_{n}^{0}=t=0$ показывает, что в разложении $x_{1}, \ldots, x_{n}$ по степеням $x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}, t$ все коэффициенты положительны.

Но из написанного выше неравенства, очевидно, следуют подобные же неравенства между любой частной производной $\mathrm{X}_{i}$ и соответственной частной производной правой части вспомогательной системы уравнений. Таким образом мы убеждаемся, что ряды, составленные посредством последовательного дифференцирования уравнений (1) по $x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}, t$ и подстановки в полученные равенства $x_{1}^{0}=\ldots=x_{n}^{0}=$ $=t=0$ сходятся, потому что коэффициенты их членов меньше по абсолютной величине коэффициентов ряда, абсолютная сходимость которого нам известна. Следовательно, эти ряды определяют аналитические функции $x_{1}, \ldots, x_{n}$, причем из способа построения этих функций очевидно, что все разности
\[
X_{i}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)-\frac{d x_{i}}{d t} \quad(i=1, \ldots, n),
\]

рассматриваемые как функции от $x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}, t$, обращаются в точке $x_{1}^{0}=\ldots=x_{n}^{0}=t=0$ в нуль вместе со всеми своими частными производными любого порядка. Отсюда следует, что эти разности обращаются в нуль тождественно. Значит, полученные этим формальным способом ряды дают единственное искомое решение дифференциальных уравнений (1), и аналитичность решения, таким образом, доказана.