Главная > ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ (Д.Бирктоф)
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

Вышеприведенные теоремы могут быть обобщены и дополнены в различных направлениях.

Прежде всего рассмотрим случай, когда $X_{i}$ суть функции от $x_{1}, \ldots, x_{n}$ и параметра $c$, определенные для всех $x$ в области $R$ и для $c^{\prime}<c<c^{\prime \prime}$, равномерно непрерывные в той же области и кроме того удовлетворяющие условию Липшица относительно $n+1$ переменных $x_{1}, \ldots, x_{n}, c$. Рассмотрим систему $n+1$ дифференциальных уравнений
\[
\begin{aligned}
\frac{d x_{i}}{d t} & =X_{i}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, x_{n+1}\right) \quad(i=1, \ldots, n), \\
\frac{d x_{n+1}}{d t} & =0
\end{aligned}
\]

с начальными условиями
\[
x_{i}\left(t_{0}\right)=x_{i}^{0} \quad(i=1, \ldots, n), x_{n+1}\left(t_{0}\right)=c,
\]

где $x^{0}$ находится в $R$ и $\mathrm{c}^{\prime}<\mathrm{c}<\mathrm{c}^{\prime \prime}$. Теорема существования, теорема единственности и первая теорема о непрерывности могут быть применены к этим уравнениям. Из этих теорем следует, что единственное решение $x_{i}(t)(i=1, \ldots, n+1)$ существует и непрерывно по $x_{i}^{0}$ и $c$. Но это решение, очевидно, удовлетворяет уравнениям
\[
\frac{d x_{i}}{d t}=X_{i}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, c\right) \quad(i=1, \ldots, n)
\]

и начальным условиям $x_{i}\left(t_{0}\right)=x^{0}$.
Если $X_{i}$ кроме того обладает ограниченными первыми частными производными по $x_{1}, \ldots, x_{n}, c$, удовлетворяющими условию Липшица относительно этих переменных, то по второй теореме о непрерывности $\partial x_{i} / \partial c$ будут существовать.

Следовательно, теоремы существования, единственности и непрерывности непосредственно распространяются на случай, когда правые части $\mathrm{X}_{i}$ дифференциальных уравнений (1) содержат один или несколько параметров.
Далее положим, что выражение $X_{i}$ содержит $t$ наряду с $x_{1}, \ldots, x_{n}$. Рассматривая, аналогично предыдущему, систему дифференциальных уравнений
\[
\frac{d x_{i}}{d t}=X_{i}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, x_{n+1}\right) \quad(i=1, \ldots, n), d x_{n+1} / d t=1
\]

с $n+1$ начальным условием
\[
x_{i}\left(t_{0}\right)=x_{i}^{0} \quad(i=1, \ldots, n), \quad x_{n+1}\left(t_{0}\right)=t_{0},
\]

мы видим, что при надлежащем ограничении для $t$ эта система имеет решение и что это решение единственно, если функции $X_{i}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, t\right)$ удовлетворяют условию Липшица относительно $x_{1}, \ldots, x_{n}, t$. Легко формулировать для этой системы также утверждение, соответствующее первой и второй теореме непрерывности.

Таким образом, подобное же обобщение может быть сделано для случая, когда функции $X_{i}$, зависят от времени $t$.

Далее положим, что $X_{i}$ зависят только от $x_{1}, \ldots, x_{n}$ и обладают непрерывными частными производными включительно до порядка $\mu>0$, причем частные производные порядка $\mu$ удовлетворяют условию Липшица. Приведенное выше доказательство второй теоремы о непрерывности показывает, что данная система (1) дифференциальных уравнений может быть заменена подобной же системой порядка $2 n$ с зависимыми переменными $x_{1}, \ldots, x_{n}$ и $y_{1}, \ldots, y_{n}$, где, например, $y_{i}=\partial x_{i} / \partial x_{1}^{0}$; эта система порядка $2 n$ состоит, разумеется, из данных $n$ уравнений и из $n$ уравнений вариации. Если мы теперь применим вторую теорему о непрерывности к этой дополненной системе, то получим непосредственно, что вторые частные производные $\partial^{2} x_{i} / \partial x_{j}^{0} \partial x_{i}^{0}$ и подобным же образом $\partial^{2} x_{i} / \partial x_{j}^{0} \partial x_{k}^{0}$ существуют и непрерывны. В дополненной системе уравнений правые части будут вообще иметь непрерывные частные производные вплоть до порядка $\mu-1$, причем последние будут удовлетворять условию Липшица.

Повторяя вышеприведенное рассуждение, мы докажем существование частных производных $x_{1}, \ldots, x_{n}$ по $x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}$ включительно до порядка $\mu$.
$B$ случае, если функции $X_{i}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ имеют конечные частные производные до порядка $\mu$ включительно, причем частные производные порядка $\mu$ удовлетворяют условию Липиица, то составляющие $x_{1}, \ldots, x_{n}$, рассматриваемые как функции от $x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}, t-t_{0}$, обладают непрерывными частными производными до порядка $\mu$ включительно.

Важным частным случаем этой теоремы, с которым мы только и будем иметь дело в дальнейшем, будет тот случай, когда функции $\mathrm{X}_{i}$ имеют непрерывные частные производные по $x_{1}, \ldots, x_{n}$ любого порядка. В этом случае составляющие $x_{1}, \ldots, x_{n}$ будут иметь непрерывные частные производные любого порядка по $x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}, t-t_{0}$

Если кроме того функции $X_{i}$ суть аналитические функции от $x_{1}, \ldots, x_{n}$, то составляющие $x_{1}, \ldots, x_{n}$, рассматриваемые как функции от $x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}, t-t_{0}$ будут аналитическими функциями этих переменных.
Наметим вкратце доказательство этого важного факта.
Заметим прежде всего, что достаточно показать, что единственное решение уравнений (1), обращающееся в $x^{0}$ при $t=0$, имеет в качестве составляющих аналитические функции от $x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}, t$. Как и во второй теореме о непрерывности, общий случай мы можем привести к этому, заменив в дифференциальных уравнениях $t$ на $t^{\prime}=t-t_{0}$.
Далее, полагая
\[
x_{1}^{\prime}=x_{1}-x_{1}^{0}, \ldots, \quad x_{n}^{\prime}=x_{n}-x_{n}^{0}
\]

и подставляя $x_{1}^{\prime}, \ldots, x_{n}^{\prime}$ в наши уравнения, мы видим, что мы можем ограничиться доказательством аналитичности $x_{1}, \ldots, x_{n}$ в окрестности начала координат. Но так как $X_{i}$ в этом случае суть аналитические функции в окрестности начала, то мы можем написать:
\[
X_{i} \ll \frac{M}{1-\frac{x_{1}+\ldots+x_{n}}{r}} \quad(i=1, \ldots, n),
\]

где $M$ – достаточно большое положительное количество, а $r$ – достаточно малое положительное количество. Написанная формула означает, что все коэффициенты разложения $X_{i}$ в ряд по степеням $x_{i}$ не превосходят по абсолютной величине соответствующих коэффициентов разложения в ряд правой части ${ }^{1}$.

Рассмотрим вспомогательную систему дифференциальных уравнений
\[
\frac{d x_{i}}{d t}=\frac{M}{1-\frac{x_{1}+\ldots+x_{n}}{r}},
\]

единственным решением которой, удовлетворяющим условию
\[
x_{1}=x_{1}^{0}, \ldots \quad x_{n}=x_{n}^{0}
\]

при $t=0$, будет, очевидно,
\[
x_{i}=x_{i}^{0}+u \quad(i=1, \ldots, n),
\]

где $u$ определяется уравнением
\[
\left(1-\frac{x_{1}^{0}+\ldots+x_{n}^{0}}{r}\right) u-\frac{n u^{2}}{2 r}=M t .
\]

В этом случае $x_{1}, \ldots, x_{n}$ очевидно, аналитические функции от $x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}, t$; далее, явное выражение для $x_{1}, \ldots, x_{n}$, получаемое последовательным дифференцированием вспомогательной системы уравнений и подстановкой в полученные равенства значений $x_{1}^{0}=\ldots=$
${ }^{1}$ Доказательство соотношения этого типа см., например, у E.Picard, Traité d’Analyse, т. 2, гл. 9.

$=x_{n}^{0}=t=0$ показывает, что в разложении $x_{1}, \ldots, x_{n}$ по степеням $x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}, t$ все коэффициенты положительны.

Но из написанного выше неравенства, очевидно, следуют подобные же неравенства между любой частной производной $\mathrm{X}_{i}$ и соответственной частной производной правой части вспомогательной системы уравнений. Таким образом мы убеждаемся, что ряды, составленные посредством последовательного дифференцирования уравнений (1) по $x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}, t$ и подстановки в полученные равенства $x_{1}^{0}=\ldots=x_{n}^{0}=$ $=t=0$ сходятся, потому что коэффициенты их членов меньше по абсолютной величине коэффициентов ряда, абсолютная сходимость которого нам известна. Следовательно, эти ряды определяют аналитические функции $x_{1}, \ldots, x_{n}$, причем из способа построения этих функций очевидно, что все разности
\[
X_{i}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)-\frac{d x_{i}}{d t} \quad(i=1, \ldots, n),
\]

рассматриваемые как функции от $x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}, t$, обращаются в точке $x_{1}^{0}=\ldots=x_{n}^{0}=t=0$ в нуль вместе со всеми своими частными производными любого порядка. Отсюда следует, что эти разности обращаются в нуль тождественно. Значит, полученные этим формальным способом ряды дают единственное искомое решение дифференциальных уравнений (1), и аналитичность решения, таким образом, доказана.

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru