Глава VI была посвящена предварительному изучению динамических систем гамильтонова типа с двумя степенями свободы $(m=2)$, в особенности в связи с вопросом о периодических движениях. В настоящей главе мы предполагаем не только рассмотреть полнее вопрос о существовании и распределении таких периодических движений, но также и различных других типов движений.

Для систем этого рода мы имеем сначала четырехмерное многообразие состояний движения с координатами $p_{1}, q_{1}, p_{2}, q_{2}$. Однако, выбирая какое-нибудь определенное значение постоянной энергии $H=h$, мы определяем таким образом в нашем четырехмерном многообразии трехмерное аналитическое подмногообразие. Это трехмерное многообразие мы и будем рассматривать в дальнейшем как многообразие состояний движения. Иными словами, используя интеграл энергии, мы приведем систему дифференциальных уравнений четвертого порядка к системе третьего порядка.

Мы ограничимся рассмотрением только тех случаев, когда $M$ не имеет особенностей, т.е. является замкнутым и аналитическим многообразием, и, кроме того, будем считать, что $M$ не содержит точек равновесия системы, потому что такие точки существуют лишь при исключительных значениях величины $h$.

Рассмотрим теперь какое-нибудь периодическое движение; оно будет изображаться замкнутой кривой в $M$. Вообразим себе, что эту кривую пересекает некоторая аналитическая поверхность $S$. Если, исходя из какой-нибудь точки $P$, лежащей на $S$ достаточно близко к периодическому движению, мы будем двигаться вдоль кривой движения в направлении возрастающего времени $t$, то мы пересечем $S$ снова в некоторой точке $P_{1}$. Мы будем писать $P_{1}=T(P)$ и, таким образом, определим одно-однозначное аналитическое преобразование $T$ поверхности $S$ в себя по крайней мере в окрестности данного периодического движения. Преобразование $T$ оставляет на месте точку, соответствующую данному периодическому движению. Периодическим движениям, близким к данному, но до замыкания описывающим $k$ оборотов, будет соответствовать система $k$ точек $P, T(P), \ldots, T^{k-1}(P)$, причем
\[
T^{k}(P)=P,
\]

где смысл применяемых символов очевиден.
Существует весьма важный частный случай, когда мы можем указать на некоторые характеристические свойства преобразования $T$, основываясь на полученных уже результатах. Это случай, когда гамильтонова проблема получена из лагранжевой, имеющей главную функцию, квадратичную относительно скоростей (глава VI, $\S 1-3$ ).

Напомним в точности способы выбора координат для этого случая. Прежде всего, лагранжевы координаты $q_{1}, q_{2}$ выбираются таким образом, что $q_{1}$ является угловой координатой, причем вдоль данного периодического движения $q_{1}$ равно $2 \pi t / \tau$, где $\tau$ – период движения, а $q_{2}$ равно нулю. Далее, из дифференциальных уравнений следует, что $\frac{\partial H}{\partial p_{1}}$ не равно нулю вдоль периодического движения, и мы можем разрешить уравнение $H=h$ относительно $p_{1}$ в виде
\[
p_{1}+K\left(q_{1}, p_{2}, q_{2}, h\right)=0,
\]

где $K$ – аналитическая функция своих четырех аргументов и при этом периодическая относительно $q_{1}$ с периодом $2 \pi$. Следовательно, $q_{1}, p_{2}, q_{2}$ составляют вместе подходящую систему координат для $M$ в торообразной окрестности данного периодического движения. Для этих переменных имеют место уравнения гамильтонова типа:
\[
\frac{d p_{2}}{d q_{1}}=-\frac{\partial K}{\partial q_{2}}, \quad \frac{d q_{2}}{d q_{1}}=\frac{\partial K}{\partial p_{2}} .
\]

Уравнения (1) дают нам возможность выразить координаты $p_{2}, q_{2}$ вдоль любой кривой движения через угловую координату $q_{1}$, после чего $t$ может быть найдено простым интегрированием.

Последнее преобразование состоит в замене координаты $p_{2}$ на новую $p_{2}-p_{2}^{0}$. Здесь $p_{2}^{0}(t)$ есть значение $p_{2}$ вдоль данной периодической кривой, причем $t$ должно быть заменено его значением вдоль периодического движения $q_{1} \tau / 2 \pi$. Если мы в то же время преобразуем $K$, прибавив к нему слагаемое $q_{2} d p_{2}^{0} / d q_{1}$, то вид уравнений (1) будет сохранен, и $K$ останется периодической функцией от $q_{1}$ периода $2 \pi$. Данному периодическому движению будет при этом соответствовать $p_{2}=q_{2}=0$.

Таким путем делается очевидной природа координат, применяемых для приведения проблемы к проблеме обобщенного равновесия. Эти координаты имеют то преимущество, что если в качестве секущей поверхности $S$ мы возьмем «плоскость» $q_{1}=0$, то преобразование $T$ окажется сохраняющим площади. Кроме того, если наше периодическое движение принадлежит к общему устойчивому типу, так что множители $\pm \lambda$ в уравнениях (1) суть чисто мнимые количества, несоизмеримые с $\sqrt{-1}$, то, как мы видели (глава VI, $\S 2$ ), преобразование $T$ может быть представлено в нормальном виде:
\[
\left.\begin{array}{l}
u_{1}=u_{0} \cos \left(\sigma+s r_{0}^{2}\right)-v_{0} \sin \left(\sigma+s r_{0}^{2}\right)+\Phi \\
v_{1}=u_{0} \sin \left(\sigma+s r_{0}^{2}\right)+v_{0} \cos \left(\sigma+s r_{0}^{2}\right)+\Psi
\end{array}\right\}
\]

где
\[
r_{0}^{2}=u_{0}^{2}+v_{0}^{2},
\]

при подходящем выборе переменных $u, v$; здесь $\Psi, \Phi$ – сходящиеся степенные ряды по $u_{0}, v_{0}$, начинающиеся с членов сколь угодно высокого порядка. Это преобразование во всяком случае возможно, если величина $l=\sqrt{-1} s / 2 \pi$ не обращается в нуль.

Нужно заметить, что выбор поверхности $S$ не влияет на получаемое преобразование $T$ с точностью до замены переменных.

Изучив подробнее преобразование $T$ и основываясь на его свойстве сохранять площади и на его нормальном виде (2), мы показали выше, что сколь угодно близко к данному периодическому движению устойчивого типа имеется бесконечное множество других периодических движений.

В случае, когда периодическое движение принадлежит к общему неустойчивому типу, мы можем выбрать множитель $\lambda$ так, что либо само $\lambda$, либо $2 \lambda-\sqrt{-1}$ есть вещественное число $\left({ }^{1}\right)$. Тот же самый метод, который мы применяли в устойчивом случае (глава III, §6-9), приводит нас к подобному же формальному решению и к вещественному нормальному виду для $T$ :
\[
u_{1}=\mu u e^{l r_{0}^{2}}+\Phi, v_{1}=\frac{1}{\mu} v e^{-l r_{0}^{2}}+\Psi \quad(\mu
eq \pm 1),
\]

при условии, что $l
eq 0$; здесь $\Phi$ и $\Psi$ являются рядами того же типа, что и в формуле (2).

Этот общий неустойчивый случай является очень простым аналитически ${ }^{1}$. Мы будем иметь две инвариантные аналитические кривые, проходящие через начало координат, которые можно принять за оси $u$
${ }^{1} \mathrm{Cm}$. мою статью «Surface Transformations and Their Dynamical Applications», Acta Mathematica, vol. 43, 1922, §27, или статью Hadamard «Sur l’itération et les solutions asymptotiques des équations différentielles», Bull. Soc. Math. France, vol. $29,1901$.

и $v$. Точки, лежащие на одной из этих инвариантных кривых, при последовательном повторении преобразования $T$ приближаются к началу координат; точки другой инвариантной кривой удаляются от начала, в то время как точки, не лежащие на этих кривых, сперва приближаются, а затем удаляются от начала.

Если мы применим эти результаты к многообразию $M$ вблизи периодического движения неустойчивого типа, то увидим, что имеются две инвариантные аналитические поверхности, проходящие через кривую периодического движения, одна из которых соответствует аналитическому семейству движений, асимптотических к периодическому движению в положительном направлении, а другая – подобному же семейству движений, асимптотических в отрицательном направлении. Все прочие близлежащие движения сначала приближаются, а затем удаляются от нашего периодического движения неустойчивого типа.

Очевидно, что не может существовать никаких периодических движений, лежащих целиком вблизи данного периодического движения неустойчивого типа в противоположность тому, что мы видели для движений, принадлежащих к общему устойчивому типу $(l
eq 0)$.

Таким образом, мы видим, насколько различаются между собой классы периодических движений устойчивого и неустойчивого типа.

Переходим теперь к рассмотрению вопроса о том, в какой мере необходимы наложенные ограничения.

Прежде всего, ни в какой точке периодического движения не могут обращаться в нуль одновременно все частные производные интеграла энергии $H$, так что многообразие $H=h$ является правильным аналитическим трехмерным многообразием $M$ вдоль периодического движения. Если вместо $p_{1}, q_{1}, p_{2}, q_{2}$ в качестве координат выбраны $p, q, r, h$, то инвариантный интеграл обыкновенного трехмерного объема принимает вид
\[
\iiint \int \varphi d p d q d r d h
\]

где $\varphi>0$ есть аналитическая функция от $p, q, r, h$. Следовательно, интеграл $\iiint \varphi d p d q d r$ инвариантен в многообразии $M$.

Отсюда следует далее, что $T$ оставляет инвариантным двойной интеграл $\iint \psi d u d v$, где $u, v$ суть координаты на поверхности $S$, а $\psi>0$ является аналитической функцией от $u$ и $v$. Это можно показать по существу тем же рассуждением, что и в главе VI §1. Этого обстоятельства уже достаточно для получения нормальных форм (2) и (3) и для получения из них вышеприведенных выводов ${ }^{1}$.
${ }^{1}$ См. мою цитированную статью, где доказывается как высказанное утверждение, так и нижеследующее.

Следовательно, гамильтонову проблему нам не нужно ограничивать вышеуказанным способом.

В самом деле, можно показать, что для самого общего преобразования $T$, имеющего подобный инвариантный двойной интеграл $\iint \psi d u d v$, всегда существует формально инвариантная функция $\Omega(u, v)$, данная формальными степенными рядами, по степеням $u, v$. Мы можем определить неустойчивый случай как такой, когда уравнение $\Omega=0$ дает вещественные формальные инвариантные кривые неустойчивого типа. В этом случае всегда имеются асимптотические инвариантные аналитические семейства движений (или аналитические семейства периодических движений, содержащие данное периодическое движение). Все другие соседние движения приближаются и затем отдаляются от данного периодического движения. Таким образом, не существует близких периодических движений, за исключением движений, принадлежащих к. тому же аналитическому семейству, что и данное периодическое движение, если таковые существуют $\left({ }^{2}\right)$.

Если уравнение $\Omega=0$ не дает вещественных формальных инвариантных кривых этого рода, то периодическое движение мы можем назвать принадлежащим к устойчивому типу. В рассмотренном выше случае общего устойчивого типа функция $\Omega$ совпадает с $r^{2}$ с точностью до членов высшего порядка. Если $\sigma$ несоизмерима с $2 \pi$, тогда как $s$ вместе с некоторыми, но не со всеми подобными константами обращается в нуль, то никаких существенных изменений не требуется, за исключением того, что в формуле (2) член $s r_{0}^{2}$ заменяется на $s^{(k)} r_{0}^{2 k}$. Если однако, все эти константы равны нулю, то нормальный вид (2) сохраняется с $s=0$, и к таким нерегулярным периодическим движениям уже невозможно применить наше прежнее рассуждение, с помощью которого мы показали существование бесконечного множества периодических движений вблизи данного.

С другой стороны, никакого существенного затруднения не возникает для движения устойчивого типа в случае, когда $\sigma$ равно 0 или $\pm \pi$ или, общее, когда $\sigma$ соизмеримо с $2 \pi$; в этих случаях данное периодическое движение является кратным или само, или если его повторить $k$ раз, где $k$ – надлежащее целое число. В последнем случае необходимо взять вместо $T$ преобразование $T^{k}$, для которого число $\sigma$ будет равно нулю. Здесь инвариантная функция $\Omega$ начинается с членов степени высшей, чем вторая, и дальнейшее рассмотрение показывает, что $T$ аналогично вращению на угол, равный нулю в начале кординат и возрастающий (или убывающий) с увеличением расстояния от начала. Представляется, следовательно, весьма вероятным, что в этом случае также должно быть бесконечное множество соседних периодических движений, хотя доказательство этого еще не проведено во всех своих аналитических деталях.

Следовательно, в весьма общих случаях устойчивого периодического движения, а, может быть, во всех, за исключением совершенно особого случая, когда $T$ формально эквивалентно чистому вращению на угол, несоизмеримый с $2 \pi\left({ }^{3}\right)$, это свойство будет сохраняться. Упомянутый исключительный случай будет тот, когда функция $M$ в формальном решении сводится к своему первому члену $\lambda$.

Следовательно, для самого общего случая неустойчивого типа $(m=2)$ характерным является существование асимптотических аналитических семейств движений (или, по крайней мере, аналитических семейств периодических движений, содержащих данное движение). Прочие близлежащие движения приближаются и затем удаляются от данного периодического движения.

В салом общем устойчивом случе, за исключением в высшей степени вырождающегося случая, когда $\sigma$ несоизмерило с $2 \pi$ и формальные ряды не включают никаких переменных периодов, будут иметься соседние периодические движения ( $\left.{ }^{4}\right)$.

Необходимо подчеркнуть, что второе из этих утверждений сформулировано здесь без подробного доказательства, которого я еще не имел возможности провести.

Вырождающийся случай устойчивого типа является действительным исключением, как показывает пример в главе VI, §4, и требует дальнейшего исследования. Кроме того, формальные ряды перестают быть пригодными в устойчивом случае, когда $\lambda$ соизмеримо с $\sqrt{-1}$. Они должны быть заменены рядами значительно более сложного типа, относительно строения которых некоторые идеи можно найти, например, в моей вышеупомянутой статье; прежнее определение формальной устойчивости должно быть обобщено таким образом, чтобы возможно было допускать сколь угодно большие периоды.

Между неспециализированной динамической проблемой и в высшей степени исключительным случаем интегрируемой проблемы существует большое количество различных промежуточных случаев. Для того, чтобы обладать аналитическим орудием, применимым ко всем без исключения случаям, без сомнения, необходимо было бы рассмотреть вопрос об устойчивости и неустойчивости аналитических семейств периодических движений, подобно вышерассмотренному периодическому движению. Хотя индивидуальные периодические движения, принадлежащие к такому семейству, должны считаться неустойчивыми, но это обстоятельство само по себе ничего не дает для решения вопроса о том, как будут себя вести близкие движения по отношению ко всему семейству движений, рассматриваемому в целом.

Мы собираемся в дальнейшем рассмотреть главным образом те динамические проблемы, для которых всякое периодическое движение и его кратные являются простыми периодическими движениями с $l
eq 0$.

Такие системы будут называться «неинтегрируемыми системами общего типа». Мы ограничиваемся этими системами не столько вследствие того, что рассмотрение более общих систем представляло бы какоенибудь существенное математическое затруднение, сколько во избежание усложнения рассуждений. Интегрируемые системы будут рассмотрены отдельно в $§ 13$, тогда как для промежуточных случаев будут даны некоторые указания о характере результатов.