Преобразование $T$, выражаемое формулами
\[
\vartheta_{1}=f(\vartheta, \varphi), \quad \varphi_{1}=g(\vartheta, \varphi),
\]

обладает еще одним свойством, которое позволяет применить к этому преобразованию геометрическую теорему Пуанкаре, а именно: двойной интеграл $\iint \sin \vartheta d \vartheta d \varphi$, распространенный на какую-нибудь часть кольца $\sigma$, равен тому же интегралу, распространенному на образ этой части при преобразовании $T$ и его степенях. Это – по существу свойство сохранения площадей в измененных координатах.

Прежде чем мы перейдем к совершенно элементарному доказательству этого утверждения, мы укажем на одно его немедленное приложение, подтверждающее сделанное нами выше утверждение о большой теоретической важности преобразований кольца. Так как интеграл, написанный выше, вычисленный на площадях $\sigma_{0}, \sigma_{1}, \sigma_{2}, \ldots,\left(\sigma_{i}=T \sigma_{i-1}\right)$, имеет одно и то же значение и так как значение его на всем кольце конечно и равно $4 \pi$, то какие-нибудь два образа $\sigma_{i}$ и $\sigma_{j}(i>j)$ должны налегать друг на друга. Применяя обратное преобразование $T^{-1}$, получим, что $\sigma_{i-1}$ и $\sigma_{j-1}$ налегают друг на друга и, наконец, что $\sigma_{i-j}$ и $\sigma_{o}$ налегают друг на друга также. Но в переводе на язык проблемы бильярдного шара это значит, что можно послать шар с координатами (положением и направлением), сколь угодно близкими к любым данным так, чтобы он в конце концов вернулся сколь угодно близко к тому же положению и направлению. Пуанкаре, развив подробнее эту цепь рассуждений, показал ${ }^{1}$, что «веронтность» того, что произвольное движение возвращается бесконечно много раз в окрестность своего
${ }^{1}$ Cм. его «Methodes nouvelles de la Mécanique céleste», т. 3, гл. 26.

первоначального состояния, равна единице. Он назвал это свойство динамических систем «устойчивостью в смысле Пуассона».

Доказательство того, что написанный выше двойной интеграл инвариантен относительно преобразования $T$, основывается на вычислении в явном виде якобиана
\[
J=\frac{\partial \vartheta_{1}}{\partial \vartheta} \frac{\partial \varphi_{1}}{\partial \varphi}-\frac{\partial \vartheta_{1}}{\partial \varphi} \frac{\partial \varphi_{1}}{\partial \vartheta} .
\]

В самом деле, если интеграл $\iint M(\vartheta, \varphi) d \vartheta d \varphi$ инвариантен, то мы имеем:
\[
\iint M\left(\vartheta_{1}, \varphi_{1}\right) d \vartheta_{1} d \varphi_{1}=\iint M(\vartheta, \varphi) d \vartheta d \varphi
\]

где областью изменения переменных $\vartheta_{1}, \varphi_{1}$, является $\sigma_{1}$, в то время как переменные $\vartheta, \varphi$ пробегают $\sigma$. Но согласно основной теореме о замене переменных под знаком кратного интеграла преобразование переменных $T$ дает для интеграла слева выражение
\[
\iint_{\sigma} M\left(\vartheta_{1}, \varphi_{1}\right) J d \vartheta d \varphi .
\]

Сравнивая это выражение с интегралом справа, распространенным на ту же произвольную площадку, мы выводим, что функциональная зависимость
\[
M\left(\vartheta_{1}, \varphi_{1}\right) J=M(\vartheta, \varphi)
\]

необходима и также достаточна для инвариантности интеграла. Следовательно, для того чтобы доказать, что интеграл $\iint \sin \vartheta d \vartheta d \varphi$ инвариантен при преобразовании $T$, мы должны только показать, что
\[
J=\frac{\sin \vartheta}{\sin \vartheta_{1}} .
\]

Пусть
\[
x=F(\varphi), \quad y=G(\varphi)
\]

будет параметрическим уравнением кривой $C$ в прямоугольных координатах, так что если $\tau$ обозначает угол между положительным направлением оси $x$ и положительным направлением касательной к $C$ в некоторой точке $P$, то
\[
\tau=1 / \operatorname{arctg} \frac{G^{\prime}(\varphi)}{F(\varphi)}
\]

Подобным же образом, пусть $\tau_{1}$ обозначает тот же угол для образа $P_{1}$ точки $P$. Этот угол выражается такой же формулой, в которой только $\varphi$ заменено на $\varphi_{1}$. Наконец, пусть $\alpha$ обозначает угол между положительным направлением оси $x$ и направлением движения шара при выходе его из $P$ (рис. 3).

Очевидно, что имеют место следующие два соотношения:
\[
\begin{aligned}
\vartheta & =\alpha-\tau, \\
\vartheta_{1} & =\tau_{1}-\alpha .
\end{aligned}
\]

Рис. 3
Заменяя в этих формулах $\tau$ и $\tau_{1}$, их выражениями через $\varphi$, а также заменяя $\alpha$ выражением
\[
1 / \operatorname{arctg} \frac{G\left(\varphi_{1}\right)-G(\varphi)}{F\left(\varphi_{1}\right)-F(\varphi)},
\]

очевидно, равным $\alpha$, мы получим формулы, выражающие $\vartheta$ и $\vartheta_{1}$, через $\varphi, \varphi_{1}$ в явном виде:
\[
T:\left\{\begin{array}{c}
\vartheta=1 / \operatorname{arctg} \frac{G\left(\varphi_{1}\right)-G(\varphi)}{F\left(\varphi_{1}\right)-F(\varphi)}-1 / \operatorname{arctg} \frac{G^{\prime}(\varphi)}{F^{\prime}(\varphi)}=L\left(\varphi, \varphi_{1}\right), \\
\vartheta_{1}=1 / \operatorname{arctg} \frac{G^{\prime}\left(\varphi_{1}\right)}{F^{\prime}\left(\varphi_{1}\right)}-1 / \operatorname{arctg} \frac{G\left(\varphi_{1}\right)-G(\varphi)}{F\left(\varphi_{1}\right)-F(\varphi)}=M\left(\varphi, \varphi_{1}\right) .
\end{array}\right.
\]

Эти два уравнения определяют преобразование $T$ точки $(\vartheta, \varphi)$ в точку $\left(\vartheta_{1}, \varphi_{1}\right)$. Взяв дифференциалы обеих частей, находим:
\[
\begin{aligned}
d \vartheta & =L_{\varphi} d \varphi+L_{\varphi_{1}} d \varphi_{1}, \\
d \vartheta_{1} & =M_{\varphi} d \varphi+M_{\varphi_{1}} d \varphi_{1},
\end{aligned}
\]

откуда непосредственно получаем:
\[
d \vartheta_{1}=\frac{M_{\varphi_{1}}}{L_{\varphi_{1}}} d \vartheta+\left(M_{\varphi}-\frac{M_{\varphi_{1}} L_{\varphi}}{L_{\varphi_{1}}}\right) d \varphi, \quad d \varphi_{1}=\frac{1}{L_{\varphi_{1}}} d \vartheta-\frac{L_{\varphi}}{L_{\varphi_{1}}} d \varphi,
\]

что дает
\[
J=-\frac{M_{\varphi}}{L_{\varphi_{1}}}=-\frac{\left[F\left(\varphi_{1}\right)-F(\varphi)\right] G^{\prime}(\varphi)-\left[G\left(\varphi_{1}\right)-G(\varphi)\right] F^{\prime}(\varphi)}{\left[F\left(\varphi_{1}\right)-F(\varphi)\right] G^{\prime}\left(\varphi_{1}\right)-\left[G\left(\varphi_{1}\right)-G(\varphi)\right] F^{\prime}\left(\varphi_{1}\right)} .
\]

Но $F\left(\varphi_{1}\right)-F(\varphi)$ и $G\left(\varphi_{1}\right)-G(\varphi)$ пропорциональны соответственно $\cos \alpha, \sin \alpha$, а с другой стороны,
\[
F^{\prime}(\varphi)=\cos \tau, G^{\prime}(\varphi)=\sin \tau, \quad F^{\prime}\left(\varphi_{1}\right)=\cos \tau_{1}, \quad G^{\prime}\left(\varphi_{1}\right)=\sin \tau_{1},
\]

так что мы имеем окончательно:
\[
J=\frac{\sin (\alpha-\tau)}{\sin \left(\tau_{1}-\alpha\right)}=\frac{\sin \vartheta}{\sin \vartheta_{1}},
\]

что и требовалось доказать.