Перейдем теперь к рассмотрению той системы дифференциальных уравнений, которая получается в проблеме трех тел после применения десяти известных интегралов для понижения порядка системы с восемнадцатого до восьмого. Другими словами, мы считаем, что десяти соответствующим постоянным интегрирования даны некоторые определенные значения и внимание направлено на рассмотрение $\infty^{7}$ движений, соответствующих данной системе значений констант. В последующем мы будем предполагать, что не все постоянные площадей равны нулю и что постоянная энергии положительна, т. е. будем считать, что $f>0, K>0$.

Вектор момента количества движения с составляющими $a, b, c$ определяет направление в пространстве, играющее в последующем изложении важную роль. Очевидно, что любые два движения, дающие в некоторый момент одно и то же расположение в отношении положения тел и направления и величины скоростей, но различающиеся только угловым расположением относительно этой оси момента количества движения, будут и в дальнейшем при своем движении различаться только этим. Другими словами, если $\varphi$ обозначает какую-нибудь угловую координату, фиксирующую расположение системы относительно оси момента количества движения, а $u_{1}, \ldots, u_{7}$ являются какой-нибудь системой относительных координат, не содержащей $\varphi$, то дифференциальные уравнения, определяющие $\infty^{7}$ движений, имеют вид:
\[
\begin{aligned}
\frac{d u_{i}}{d t} & =U_{i}\left(u_{1}, \ldots, u_{7}\right) \quad(i=1, \ldots, 7) \\
\frac{d \varphi}{d t} & =\Phi\left(u_{1}, \ldots, u_{7}\right) .
\end{aligned}
\]

Первые уравнения составляют систему дифференциальных уравнений седьмого порядка, в то время как последнее уравнение позволяет нам определить $\varphi$ посредством еще одного интегрирования. При желании можно исключить время из этих уравнений, так что система перейдет в систему шестого порядка
\[
\frac{d u_{i}}{d u_{1}}=\frac{U_{i}}{U_{1}} \quad(i=2,3, \ldots, 7) .
\]

Таким образом, с чисто формальной точки зрения система восемнадцатого порядка может быть «приведена» к системе шестого порядка.

С той точки зрения, однако, которую мы примем в дальнейшем, такое приведение (которое, кстати говоря, может быть проведено без нарушения гамильтоновой формы уравнений $)^{1}$ не представит для нас никакой существенной выгоды.

Рассмотрим расширенное многообразие $M_{18}$ состояний движения, в котором особенности, соответствующие двойному соударению, устранены методом, изложенным в § 7 этой главы.

Граница многообразия $M_{18}$, будет в этом случае состоять из движений, характеризующихся одной из следующих возможностей: одна из координат $x_{i}, y_{i}, z_{i}$ безгранично возрастает по абсолютной величине; величина $R$ стремится к нулю; постоянная энергии какой-нибудь пары тел $P_{i}, P_{j}$ относительно их центра тяжести возрастает безгранично по абсолютной величине. Очевидно, что точки, находящиеся на некотором расстоянии от границы, определенной этими тремя возможностями, имеют ограниченные координаты и не все три из их взаимных расстояний малы; благодаря условию, наложенному на энергию,
${ }^{1}$ Cм., например, Whittaker, «Analytical Dynamics», гл. 13.

постоянная энергии относительно центра тяжести всех трех тел будет, наверное, невелика по абсолютной величине, а то обстоятельство, что относительные постоянные энергии невелики, означает, что ближайшие два тела скоро должны разойтись на значительное расстояние. Таким образом, либо все координаты и составляющие скоростей ограничены, и ни одно из взаимных расстояний не мало, или же движение близко по времени к такому состоянию и, следовательно, не близко к границе многообразия $M_{18}$.

В $M_{18}$ совокупность всех движений системы может быть представлена как постоянный поток жидкости, причем линии потока соответствуют возможным типам движения. Когда мы фиксируем десять постоянных интегрирования, то мы этим самым сосредоточиваем свое внимание на соответственном потоке подмногообразия $M_{8}$ вдоль самого себя, в котором линии потока изображают рассматриваемые $\infty^{7}$ движений.

Движения, различающиеся только ориентацией относительно оси момента количества движения, образуют замкнутое однопараметрическое семейство таких линий потока, что их соответственные точки дают замкнутые кривые; другими словами, параметры $u_{1}, \ldots, u_{7}$ постоянны вдоль такой кривой, в то время как $\varphi$ изменяется от 0 до $2 \pi$. В частном случае лагранжевых равносторонних или прямолинейных решений, когда взаимные расстояния остаются постоянными ${ }^{1}$, соответствующая замкнутая кривая будет сама линией потока.
«Приведенное многообразие $M_{7}$ состояний движения» соответствует $\infty^{7}$ состояниям движения, определенным системой координат, подобной $u_{1}, \ldots, u_{7}$.

Очевидно, что в первоначальном многообразии $M_{18}$ замкнутые кривые, которые дают состояния движения, различающиеся лишь ориентацией около оси момента количества движения, представляют собою $\infty^{17}$ таких аналитических кривых, что через каждую точку проходит одна и только одна кривая. Следовательно, если мы желаем подробнее исследовать особенности $M_{7}$, то мы должны только изучить особенности $M_{8}$. Мы хотим здесь изучить особенности многообразия $M_{8}$ и, следовательно, $M_{7}$ в той мере, в какой это нужно для того, чтобы получить следующий результат.

Для неспециальных значений величин $f>0$ и $К>0$ приведенное аналитическое многообразие $M_{7}$ состояний движения не имеет особенных точек, но имеет границу, причем при приближении точки к границе либо $R$ стрелится к нулю или бесконечности, либо постоянная энергии какой-нибудь пары тел относительно их центра тяжести становится сколь угодно больцой и отрицательной.
${ }^{1}$ См. статью Lagrange, «Essai sur le problème des trois corps», Oeuvres, т. VI.

Прежде всего докажем вкратце наше утверждение относительно границ многообразия $M_{7}$. На некотором расстоянии от границы ни одна из координат не может быть велика, так как ни одно из расстояний $r_{i}$ не велико, а центр тяжести системы находится в начале координат. Так как постоянная энергии для всех трех тел дана, то ни одна из частных постоянных энергии какой-нибудь пары не может быть велика и положительна. Следовательно, только в том случае, когда одна из этих частных постоянных энергии велика и отрицательна, состояние движения может быть близким к границе $M_{7}$.

Исследуя аналитический характер многообразия $M_{8}$, а следовательно, и $M_{7}$, мы можем предположить, что рассматриваемое в данный момент состояние движения не является состоянием двойного соударения. В самом деле, «частица» в $M_{18}$ вблизи состояния двойного соударения может быть переведена аналитически в частицу, окружающую другое состояние движения, не являющееся состоянием двойного соударения. Таким образом, инвариантное подмногообразие $M_{7}$ будет аналитическим либо во всех точках какой-нибудь линии потока, либо ни в одной точке этой линии.

Применим координаты $x, y, z, \xi, \eta, \zeta, x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}, \xi^{\prime}, \eta^{\prime}, \zeta^{\prime}$, определяющие положение точки в многообразии $M_{12}$, часть которого составляет $M_{8}$. Системы этих координат, удовлетворяющие условиям момента количества движения и энергии [(11) и (12)], изображают однозначно все состояния движения, принадлежащие многообразию $M_{8}$ вблизи рассматриваемого движения, принадлежащего $M_{8}$. Очевидно, что, вообще говоря, эти четыре уравнения могут быть решены для любых четыpex из двенадцати переменных, т. е, что $M_{8}$ является аналитическим в рассматриваемой точке.

Мы можем показать, однако, что для неспециальных значений величин $f>0$ и $K>0$ многообразие $M_{8}$ не может содержать вообще никаких особенных точек. Выберем оси координат так, чтобы $x=y=\eta=0$, т. е., чтобы тело $P_{1}$ лежало в направлении оси $z$ от $P_{0}$, а прямая, соединяющая $P_{2}$ с центром тяжести тел $P_{0}$ и $P_{1}$, лежала в плоскости $(x, z)$. Постараемся решить наши четыре уравнения относительно $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}, \eta^{\prime}$, выразив эти переменные как функции остальных. Условие разрешимости этих уравнений будет выполнено, если определитель Якоби
\[
\left|\begin{array}{cccc}
0 & 0 & 0 & \xi \\
0 & -z & 0 & -\zeta \\
z & 0 & 0 & 0 \\
x^{\prime} & y^{\prime} & z^{\prime} & \eta^{\prime}
\end{array}\right| .
\]

не обращается в нуль. Мы здесь сократили якобиан на очевидный множитель $m$ в первых трех столбцах и на множитель $\mu$ в четвертом.

Значит, многообразие $M_{8}$ является аналитическим в данной точке при условии, что имеет место неравенство
\[
-\xi z^{2} z^{\prime}
eq 0 \text {. }
\]

Но уже было указано, что $z$ не равно нулю. Кроме того, мы можем считать $\xi
eq 0$, если только $P_{2}$ не находится постоянно на прямой $P_{0} P_{1}$, и мы можем взять $z^{\prime}
eq 0$, если только расстояние $P_{0} P_{1}$ (и подобным же образом любое расстояние $P_{i} P_{j}$ ) не остается постоянным. Отсюда мы заключаем, что либо многообразие $M_{8}$ является аналитическим вдоль рассматриваемой линии потока, либо все три тела лежат на одной прямой или же на постоянных расстояниях друг от друга, но не на одной прямой.

В последнем случае тела $P_{0}, P_{1}, P_{2}$ лежат, как известно, в вершинах равностороннего треугольника в плоскости, перпендикулярной к вектору момента количества движения. Этот треугольник вращается с постоянной угловой скоростью вокруг своего центра тяжести. Кроме того, известно, что для каждого заданного значения угловой скорости существует одна и только одна возможная величина треугольника этого рода. Таким образом, при заданных значениях величин $f$ и $K$ такого движения, вообще говоря, не будет существовать.

Подобным же образом в первом из рассматриваемых случаев дальнейшее исследование показывает, что расстояния между телами остаются неизменными. Известно, что для заданного значения угловой скорости существуют три решения рассматриваемого типа и, следовательно, вообще говоря, не будет решений при данных значениях $f$ и $K$.

Во всех случаях многообразие $M_{7}$ может иметь особенности только в точках, соответствующих равносторонне-треугольным и прямолинейным решениям с постоянными взаимными расстояниями. Эти решения могут существовать только в том случае, когда между $f$ и $K$ существуют известные аналитические соотношения. Только когда $f$ и К при своем изменении проходят через эти критические значения, может изменяться топологическая природа $M_{7}$.

Многообразие $M_{7}$ имеет основное значение для проблемы трех тел, но, насколько я знаю, оно нигде не было изучено даже в связи с такими элементарными вопросами, как связность. В работе Пуанкаре доказывается существование известных периодических движений, т.е. известных замкнутых линий потока в $M_{7}$, получаемых методом аналитического продолжения из предельного интегрируемого случая задачи трех тел; им были также рассмотрены (в связи с разложением в формальные ряды) соседние движения, т.е. торообразные окрестности таких замкнутых линий потока, но Пуанкаре не рассматривал многообразия $M_{7}$ в целом.

В заключение заметим, что состояния движения, при которых три тела движутся все время в плоскости, проходящей через их центр тяжести и перпендикулярной к вектору момента количества движения, соответствуют инвариантному подмногообразию $M_{5}$ многообразия $M_{7}$, содержащему все особенные точки, когда таковые существуют. Поскольку, вопрос касается размерности, это многообразие $M_{5}$ могло бы служить границей надлежащим образом обобщенной секущей поверхности (см. главу V).