Известным интегралом, квадратичным относительно скоростей, является интеграл энергии. Кроме того, известно, что динамические системы так называемого типа Лиувилля, для которых $L$ имеет вид:
$$L=\frac{1}{2}U\sum _{j=1}^m{v}_j\left(q_j\right)q_j^2-\frac{W}{U},$$

где
$$U=\sum _{j=1}^m{u}_j\left(q_j\right),W=\sum _{j=1}^m{w}_j\left(q_j\right)$$

имеют $m$ интегралов, квадратичных относительно скоростей, а именно:
$$\frac{1}{2}{U}^2{v}_i{q}_i^{\prime 2}-c{u}_i+w_i=c_i(i=1,\dots ,m)\left({}^5\right),$$

и могут быть полностью проинтегрированы.
Мы предполагаем здесь рассмотреть частный случай обратной задачи: определить условия, при которых система Лагранжа с двумя степенями свободы, обратимого типа, с постоянной энергии, равной нулю, имеет условный интеграл, квадратичный относительно скоростей, т. е. вида
$$V\equiv \frac{1}{2}(a{x}^2+2b{x}^{\prime }{y}^{\prime }+c{y}^2)+d{x}^{\prime }+e{y}^{\prime }+f=k,$$

где $a,\dots ,f$ суть функции от $x$ и $y$, причем мы предполагаем, что этот интеграл не является линейной комбинацией интеграла энергии и линейного интеграла.

Если такой интеграл существует, то любое преобразование переменных $x,y,t$ типа, рассмотренного в $\mathrm{\S }3$, оставляет форму этого интеграла без изменения. Следовательно, мы можем привести наши уравнения к нормальному виду, для которого
$$L=\frac{1}{2}(x^{\prime 2}+y^{\prime 2})+\gamma .$$

Дифференцируя предполагаемый интеграл и исключая $x^{\prime \prime },y^{\prime \prime }$ с помощью уравнений Лагранжа, мы получим полином не выше чем третьей степени относительно $x^{\prime },y^{\prime }$, который должен обращаться тождественно в нуль в силу соотношения $W\equiv \frac{1}{2}(x^{\prime 2}+y^2)-\gamma =0$. Но члены третьей степени относительно $x^{\prime },y^{\prime }$ суть
$$\frac{1}{2}{a}_x{x}^{\prime 3}+(b_x+\frac{1}{2}{a}_y)x^{\prime 2}{y}^{\prime }+(b_y+\frac{1}{2}{c}_x)x^{\prime }{y}^{\prime 2}+\frac{1}{2}{c}_y{y}^{\prime 3}.$$

Эти члены вместе с членами низших порядков должны дать нуль на основании равенства $W=0$. Это может быть только в том случае, если написанный полином делится на $x^{\prime 2}+y^{\prime 2}$, т. е. если
$$a_x-c_x=2b_y,a_y-c_y=-2b_x.$$

Но эти формулы представляют собой дифференциальное уравнение Коши-Римана для сопряженных гармонических функций $a-c,2b$, и мы можем написать:
$$a-c=2u_y,b=u_x,$$

где $u$ — гармоническая функция.
Из этого следует, что квадратичные члены предполагаемого интеграла можно написать в виде:
$$\frac{1}{2}{u}_y{x}^{\prime 2}+u_x{x}^{\prime }{y}^{\prime }-\frac{1}{2}{u}_y{y}^{\prime 2}+\rho (x^{\prime 2}+y^{\prime 2}).$$

Принимая во внимание интеграл энергии, мы можем заменить последний член на $2\rho \gamma$. Остальные квадратичные члены могут быть записаны так:
$$\frac{1}{2}\mathrm{Re}\left[(u_y-i{u}_x){(x^{\prime }+i{y}^{\prime })}^2\right]$$

где $\mathrm{Re}(z)$ означает вещественную часть $z$.
Определим теперь аналитическую функцию $g$ от $x+iy$ соотношением
$$g^{\prime 2}=\frac{1}{u_y+i{u}_x},\left({}^6\right)$$

и совершим замену переменных
$$\overline{x}+i\overline{y}=g(x+iy),d\overline{t}={\left|g^{\prime }\right|}^{2}dt,$$

сохраняющую нормальную форму уравнений. Мы видим, что написанные выше квадратичные члены, которые можно записать еще так:
$$\frac{1}{2}\mathrm{Re}\left[\frac{g^{\prime 2}(dx+idy{)}^2}{{\left|g^{\prime }\right|}^{4}d{t}^2}\right],$$

в новых переменных превращаются в
$$\frac{1}{2}({\overline{x}}^{\prime 2}-{\overline{y}}^{\prime 2}).$$

Следовательно, наш интеграл примет более простой вид:
$$\frac{1}{2}(x^{\prime 2}-y^{\prime 2})+d{x}^{\prime }+e{y}^{\prime }+f=k,$$

если мы будем писать для простоты $x,y,t$ вместо $\overline{x},\overline{y},\overline{t}$.
Далее, продифференцировав это уравнение по $t$, как прежде, получим после исключения $x^{\prime \prime },y^{\prime \prime }$ :
$$\begin{array}{l}{d}_x{x}^{\prime 2}+(d_y+e_x)x^{\prime }{y}^{\prime }+e_y{y}^{\prime 2}+(f_x+{\gamma }_x)x^{\prime }+\\ +(f_y-{\gamma }_y)y^{\prime }+d{\gamma }_x+e{\gamma }_y=0.\end{array}$$

Члены первой степени должны тождественно обращаться в нуль, откуда находим:
$$\gamma =\phi (x)+\psi (y);f=-\phi (x)+\psi (y).$$

Но при таком виде $\gamma$ дифференциальные уравнения сразу интегрируемы.

Если обратимая лагранжева система с двумя степенями свободы и с постоянной энергии, равной нулю, имеет условный интеграл, квадратичный относительно скоростей и существенно отличный от интеграла энергии, то преобразованием переменных мы можем добиться того, чтобы уравнения и интеграл энергии приняли вид
$$x^{\prime \prime }={\phi }^{\prime }(x),y^{\prime \prime }={\psi }^{\prime }(y),\frac{1}{2}(x^{\prime 2}+y^{\prime 2})=\phi (x)+\psi (y).$$

Квадратичный интеграл в таком случае будет
$$\frac{1}{2}(x^{\prime 2}-y^{\prime 2})=\phi (x)-\psi (y)+k,$$

и уравнения полностью интегрируемы, причем решение их имеет вид:
$$t=\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{dx}{\sqrt{\phi +k/2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{dy}{\sqrt{\psi -k/2}}.$$

Уравнения типа Лиувилля представляют собой существенно эквивалентный случай.