1) См. также P. Курант и Д. Гильберт. Методы математической физики, I. Москва, 1933, стр. 174-175. Из рассуждения в тексте ясно, что понятие стационарности интеграла (1) не изменится, если в его определении заменить условия обращения в нуль разностей $x_{i}(t, \lambda)-x_{i}^{0}(t)$ вблизи концов промежутка $\left(t_{0}, t_{1}\right)$ условием их обращения в нуль на этих концах.
2) Квадратичная форма $F\left(x_{1}, \ldots, x_{m}\right)$ в переменных $x_{1}, \ldots, x_{m}$ называется положительной определенной, если $F\left(x_{1}, \ldots, x_{m}\right)>0$ при всяких вещественних $x_{i}$, не равных сплошь нулю.
3) Из равенства $\frac{\partial L}{\partial q_{i}^{\prime}}=c$ величина $q_{1}^{\prime}$ может быть определена как функция $q_{2}, \ldots, q_{m}, q_{2}^{\prime}, \ldots, q_{m}^{\prime}$. В самом деле, так как $L_{2}$ по предположению положительная определенная квадратичная форма в $q_{1}^{\prime}, \ldots, q_{m}^{\prime}$, то коэффициент в этой форме при $q_{1}^{\prime 2}{ }^{2}$ отличен от нуля, ибо в противном случае мы имели бы $L_{2}=0$ при $q_{1}^{\prime}=1, q_{2}^{\prime}=\ldots=q_{m}^{\prime}=0$ вопреки определению, сформулированному в предыдущем примечании. Таким образом, $\frac{\partial^{2} L}{\partial q_{1}^{\prime 2}}
eq 0$. Но это означает, что в выражении $\frac{\partial L}{\partial q_{1}^{\prime}}$, линейном относительно $q_{1}^{\prime}$, коэффициент при $q_{1}^{\prime}$ отличен от нуля. Следовательно, равенство $\frac{\partial L}{\partial q_{1}^{\prime}}=c$ разрешимо относительно $q_{1}^{\prime}$.
4) Согласно $\S 3$ переход от $x, y, t$ к $\bar{x}, \bar{y}, \bar{t}$ сохраняет нормальную форму уравнений, так как
\[
\left(x^{\prime 2}+y^{\prime 2}\right) d t=\left(\bar{x}^{\prime 2}+\bar{y}^{2}\right) d \bar{t} .
\]
5) Здесь $c$ – постоянная энергии. Выписанные $m$ интегралов не являются независимыми, ибо, как нетрудно видеть,
\[
\sum_{i=1}^{m} c_{i}=0 .
\]
6) $u_{y}+i u_{x}$ не равно тождественно нулю, так как $a-c$ и $b$ не могут одновременно обращаться в нуль тождественно. В противном случае интеграл $V$ был бы линейной комбинацией $W$ и линейного интеграла. Iрим. перев.
7) Здесь предполагается, что эти уравнения однозначно разрешимы относительно $r_{i}$. Это условие заведомо соблюдается, когда $L\left(q_{1}, \ldots, q_{m}, q_{1}^{\prime}, \ldots, q_{m}^{\prime}\right)$ есть квадратичная функция $q_{1}^{\prime}, \ldots, q_{m}^{\prime}$ и $L_{2}$ – положительная определенная форма в $q_{1}^{\prime}, \ldots, q_{m}^{\prime}$.
8) Точнее говоря, если $q_{i}(t)$ образуют решение уравнений Лагранжа, то, полагая $r_{i}=q_{i}^{\prime}, p_{i}=\frac{\partial L}{\partial q_{i}^{\prime}}$, получим решение нашей новой вариационной задачи. В самом деле, уравнения, получаемые варьированием $p_{i}$, как показано в тексте, суть как раз $r_{i}=q_{i}^{\prime}$. Уравнения же, получаемые $\underset{\text { вид }}{\text { варированием }} q_{i}$ в силу соотношений $p_{i}=\frac{\partial L\left(q, q^{\prime}\right)}{\partial q_{i}^{\prime}}=\frac{\partial L(q, r)}{\partial r_{i}}$, имеют вид
\[
p_{i}^{\prime} \equiv \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial q_{i}^{\prime}}\right)=-\frac{\partial H}{\partial q_{i}} \equiv-\sum_{j=1}^{m} p_{j} \frac{\partial r_{j}}{\partial q_{i}}+\frac{\partial L}{\partial q_{i}}+\sum_{j=1}^{m} \frac{\partial L(q, r)}{\partial r_{j}} \frac{\partial r_{j}}{\partial q_{i}} \equiv \frac{\partial L}{\partial q_{j}}
\]

и также выполняются в силу уравнений Лагранжа.
9) Здесь, разумеется, надо предположить, что эти уравнения однозначно разрешимы относительно $p$.
10) Преобразования (7) и (8), вообще говоря, сводятся друг к другу. Чтобы перейти от (7) к (8), надо лишь ввести новую функцию преобразования
\[
K^{*}=K+\sum_{j=1}^{m} \bar{p}_{j} \bar{q}_{j}
\]

и выразить ее через $q_{1}, \ldots, q_{m}, \bar{p}_{1}, \ldots, \bar{p}_{m}, t$. Обратный переход совершается по формуле
\[
K=K^{*}-\sum_{j=1}^{m} \bar{p}_{j} \bar{q}_{j}
\]

где $K$ должно быть выражено через $q_{1}, \ldots, q_{m}, \bar{q}_{1}, \ldots, \bar{q}_{m}, t$. Прим. перев.