Рассмотрим «частицу» около какой-нибудь точки в некотором связном подмножестве многообразия центральных движений $M_{r}$. С возрастанием $t$ эта частица движется согласно дифференциальным уравнениям движения; следовательно, ее движение образует трубку в $M$, которая должна непременно пересечь сама себя, вследствие свойства региональной рекуррентности. Обозначим через $R$ получаемую таким образом трубчатую область вместе с предельными точками. При возрастании $t$ конец трубки $R$ движется внутрь трубки, и все $R$ переходит в свою собственную или несобственную часть. Но вследствие свойства региональной рекуррентности эта область не может перейти в свою собственную часть, и, следовательно, она переходит в себя. Таким образом, трубка, образованная частицей, при изменении $t$ в любом из обоих возможных направлений будет одна и та же и будет состоять из полных движений.

Но далее имеются две возможности: либо для каждой точки $P$, принадлежащей $M$, и для каждой частицы около этой точки соответствующая область $R$ совпадает с $M$, либо же для какой-нибудь точки $P$ при подходящем выборе частицы, содержащей эту точку, $R$ представляет собою только часть $M$. В первом случае мы будем говорить, что связная часть совокупности центральных движений $M_{r}$, будет «транзитивного» типа, во втором случае, что она будет «интранзитивного» типа.

Для проблемы классической динамики транзитивность означает, что любая малая частица при своем движении опишет все многообразие $M$ состояний движений, исключая лишь нигде не плотное множество движений, а интранзитивность означает, что для какой-то частицы это не будет справедливо.

Необходимым и достаточным условием интранзитивности связного множества центральных движений является существование в этом множестве инвариантной связной замкнутой области, составляющей только часть его.

Характерным признаком интранзитивного случая, в классической динамике будет, таким образом, существование инвариантных п-мерных континуумов, состоящих из целых кривых движения и составляющих лищь часть многообразия $M$.

Очевидно, что приведенное условие необходимо, так как подобной инвариантной областью является вышеописанная область $R$. С другой стороны, если существует инвариантная область $R$, то частица, лежащая целиком в $R$ в некоторый момент, будет при своем движении всегда оставаться в $R$ (при возрастании и убывании $t$ ), так что движения являются интранзитивными.

В случае интранзитивности все движения являются специальными. Это следует из того, что любое движение лежит либо внутри такого инвариантного подконтинуума, либо на его границе, либо в дополнительном множестве к инвариантному подконтинууму.

В случае, когда какая-нибудь связная часть совокупности $M_{T}$ центральных движений транзитивна, будут существовать движения, которые как при возрастании, так и при убывании $t$ пройдут, в конце концов, сколь угодно близко от каждой точки этой связной части.

Для определенности мы возьмем в нашем доказательстве $M_{r}=M$. Кроме того, сделаем предварительное замечание, состоящее в том, что любая частица при своем движении с возрастанием $t$ покроет все $M$; в противном случае она определяла бы инвариантную область $R$ в многообразии $M$ как раз того типа, который исключается свойством транзитивности. Следовательно, существуют дуги кривых движения, начинающиеся в любой окрестности данной точки и кончающиеся при большом $t$ в окрестности другой данной точки.

Начнем с того, что выберем положительное количество $d$, меньшее единицы, и какое-нибудь исчислимое множество точек $P_{k}$ ( $k=$ $=1,2, \ldots$ ), которое было бы всюду плотно в $M$. Очевидно, что если мы возьмем другое множество точек $\bar{P}_{k}(k=1,2, \ldots)$, такое, что для всякого $k$ расстояние $P_{k}$ от $\bar{P}_{k}$ будет меньше $d^{k}$, то это второе множество будет тоже всюду плотно в $M$.

Для того, чтобы получить движение, которое не было бы специальным, мы можем действовать следующим образом. В $d$-окрестности точки $P_{1}$ мы можем найти такую точку $P_{1}^{\prime}$, чтобы для нее существовала дуга $P_{1}^{\prime} P_{2}^{\prime}$ кривой движения, конец $P_{2}^{\prime}$ которой лежал бы в $d^{2}$-окрестности точки $P_{2}$. Возьмем теперь меньшую окрестность около точки $P_{1}^{\prime}$, лежащую в $d$-окрестности точки $P_{1}$ и обладающую тем свойством, что если точка $P_{1}^{\prime \prime}$ будет двигаться, оставаясь все время в этой окрестности, то некоторая точка $P_{2}^{\prime \prime}$ на кривой движения, проходящей через $P_{1}^{\prime \prime}$, соответствующая более позднему моменту времени, изменяясь непрерывно вместе с $P_{1}^{\prime \prime}$, будет оставаться все время в $d^{2}$-окрестности точки $P_{2}$. Это, очевидно, возможно.

Но теперь в этой меньшей окрестности точки $P_{1}^{\prime}$ мы можем выбрать такую точку $P_{1}^{\prime \prime}$, что кривая движения, проходящая через $P_{1}^{\prime \prime}$, пересечет при уменьшающемся $t d^{2}$-окрестность точки $P_{2}$. Пусть $Q_{2}^{\prime \prime}$ будет точка, лежащая в этой окрестности на нашей кривой движения. Таким образом, мы получим дугу $Q_{2}^{\prime \prime} P_{1}^{\prime \prime} P_{2}^{\prime \prime}$ кривой движения, такую, что $P_{1}^{\prime \prime}$ находится в $d$-окрестности точки $P_{1}$, в то время как $P_{2}^{\prime \prime}$ и $Q_{2}^{\prime \prime}$ находятся в $d^{2}$-окрестности точки $P_{2}$. Кроме того, мы можем выбрать окрестность точки $P_{1}^{\prime \prime}$, лежащую целиком в $d$-окрестности точки $P_{1}$ и столь малую, что при непрерывном изменении точки $P_{1}^{\prime \prime \prime}$ в этой окрестности мы можем непрерывно изменять оба конца $Q_{2}^{\prime \prime \prime}$ и $P_{2}^{\prime \prime \prime}$ дуги $Q_{2}^{\prime \prime \prime} P_{1}^{\prime \prime \prime} P_{2}^{\prime \prime \prime}$ кривой движения в $d^{2}$-огрестности точки $P_{2}$.

Следующим шагом будет выбор такой дуги $Q_{2}^{\prime \prime \prime} P_{1}^{\prime \prime \prime} P_{2}^{\prime \prime \prime} P_{3}^{\prime \prime \prime}$ кривой движения, что $P_{1}^{\prime \prime \prime}$ лежит в выбранной нами малой окрестности, что $P_{3}^{\prime \prime \prime}$ лежит в $d^{3}$-окрестности точки $P_{3}$. Затем, в результате следующего шага получаем дугу $Q_{3}^{I V} Q_{2}^{I V} P_{1}^{I V} P_{2}^{I V} P_{3}^{I V}$ и так далее, продолжая до бесконечности. Таким образом мы строим на $2(k-1)$-й стадии дугу кривой движения
\[
Q_{k}^{(2 k-2)} \ldots Q_{2}^{(2 k-2)} P_{1}^{(2 k-2)} P_{2}^{(2 k-2)} \ldots P_{k}^{(2 k-2)},
\]

причем точки $P_{k}^{j}$ и $Q_{k}^{j}$ лежат в $d^{k}$-окрестности точки $P_{k}$.
Очевидно, что, переходя к пределу, мы получим кривую движения
\[
\ldots Q_{3}^{*} Q_{2}^{*} P_{1}^{*} P_{2}^{*} P_{3}^{*} \ldots
\]

где $P_{k}^{*}$ и $Q_{k}^{*}$ лежат в $d^{k}$-окрестности точки $P_{k}$. Значит, множества точек $P_{1}^{*}, P_{2}^{*}, P_{3}^{*}, \ldots$ и $Q_{1}^{*}, Q_{2}^{*}, \ldots$ всюду плотны в $M$. Следовательно, $\alpha$ и $\omega$-предельные точки этого движения составляют все $M$, и само движение не является специальным.

В следующей главе ( $\S 11$ ) дан пример несингулярной геодезической проблемы транзитивного типа. Представляется вероятным, что вообще после того, как выполнены все очевидные приведения при помощи известных интегралов, задачи классической динамики будут транзитивного типа.

Между самым общим транзитивным случаем и весьма специальным случаем интегрируемой до конца системы лежит бесконечное разнообразие промежуточных возможных случаев, зависящих от частных свойств дифференциальных уравнений.

В следующей главе мы будем рассматривать случай систем с двумя степенями свободы. К несчастью, представляется весьма мало вероятным, чтобы методы, применяемые в этом случае, допускали простое обобщение на случай большего числа степеней свободы. Задача трех тел, рассматриваемая в главе IX, в высшей степени поучительна, как пример этого, более сложного случая, несмотря на то, что она относится к сингулярному типу.