Со времен Хилла и Пуанкаре стараются охарактеризовать движения динамических систем в их общих качественных чертах. Эта последняя фаза развития теоретической динамики представляет большой интерес для математика. Важность качественных динамических идей для точных наук едва ли может быть переоценена. Для пояснения этих идей я вкратце рассмотрю несколько простых примеров. После такой подготовки я хочу привлечь внимание к некоторым нерешенным динамическим проблемам.

Весьма важной является, например, не совсем определенная идея о том, что любое устойчивое движение динамической системы либо является периодическим, либо совершается вблизи периодического движения. Чтобы иметь дело с очень простым случаем, рассмотрим движение частицы $P$ по прямой под влиянием силы $f$, зависящей только от положения и скорости частицы ${ }^{2}$. Мы будем предполагать, что на прямой имеется только одно положение равновесия $O$. Если тогда $x$ означает расстояние $O P$, а $t$ – время, то мы имеем уравнение:
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=f\left(x, \frac{d x}{d t}\right)
\]

где $f$ – заданная функция. Так как рассматриваемое движение устойчиво, то
\[
|x| \leqslant M, \quad|y| \leqslant M
\]

при $t \geqslant 0$, где $y=d x / d t$. Но вышеприведенное уравнение второго порядка сейчас же ведет к двум уравнениям первого порядка:
\[
\frac{d x}{d t}=y, \quad \frac{d y}{d t}=f(x, y),
\]

где $x$ и $y$ рассматриваются как прямоугольные координаты. Движениям соответствуют кривые, однократно заполняющие плоскость. Равновесие в $O$ соответствует точечной кривой $x=y=0$, которую мы также будем обозначать через $O$.
${ }^{1} \mathrm{~B}$ этой статье приводится содержание двух докладов, которые автор читал в качестве гостя в Берлинском университете 30 нюня и 3 июля 1928 г.
${ }^{2}$ Этот пример, как и другие здесь приведенные, подробно рассмотрен в моей книге «Динамические системы». Там же даны дальнейшие литературные указания.

При $y>0$ каждая точка движется по своей кривой направо, так как $d x / d t>0$. При $y<0$ каждая точка движется налево. На оси $x$ каждая точка движется в направлении оси $y$ или в противоположном направлении. Рассматриваемое устойчивое движение соответствует кривой, лежащей при $t \geqslant 0$ в квадрате $|x| \leqslant M,|y| \leqslant M$.

Рассмотрим прежде всего простейший случай, когда движущаяся точка ни разу не пересекает ось $x$. Здесь имеется лишь одна возможность: точка приближается к положению равновесия при бесконечном возрастании $t$, как показано на рис. $13 a$.
Рис. 13
Рис. 14
Рис. $13 b, c$ соответствует одному или двум переходам через ось. При двух переходах точки перехода лежат по разные стороны от положения равновесия, так как по одну сторону направление везде одно и то же. Мы имеем здесь движение частицы $P$, которая один или два раза колеблется через положение равновесия, чтобы потом начать приближаться к нему. При трех переходах $A, B, C$, очевидно, что $C$ лежит не только по ту же сторону, что и $A$, но и между $O$ и $A$ (рис. 14). Здесь частица трижды проходит через положение равновесия, причем третье колебание меньше первого. После этого $P$ приближается к этому положению. Эти процессы можно продолжить. Мы должны иметь или конечное число убывающих колебаний с последующим приближением к положению равновесия, или бесконечно много колебаний. В этом последнем случае движение или в точности периодическое, или колебания возрастают, приближаясь к периодическому движению, или они убывают с приближением к периодическому движению, или, наконец они убывают с приближением к положению равновесия. Общая идея о связи между устойчивостью и периодичностью оправдывается, таким образом, по крайней мере в этом частном случае.
При более глубоком рассмотрении этой идеи выявляются некоторые «центральные движения» и «рекуррентные движения» как действительные обобщения периодических движений.

В классической динамике дифференциальные уравнения обычно имеют гамильтонов или канонический вид. В простейшем случае одной степени свободы два дифференциальных уравнения таковы:
\[
\frac{d p}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q}, \quad \frac{d q}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p},
\]

где $H$ (энергия) есть заданная аналитическая функция $p$ и $q$. Умножая эти два уравнения на $\partial H / \partial p$ и $\partial H / \partial q$ и складывая, убеждаемся сейчас же, что в плоскости $p, q$ точка движется по кривой $H=$ const. Поэтому движение должно быть либо неустойчивым, либо периодическим, либо приближающимся к положению равновесия ( $\left.p_{0}, q_{0}\right)$. Пользуясь, далее, интегралом $H=$ const можно интегрировать эти дифференциальные уравнения.

Мы рассмотрим теперь гамильтонову систему с двумя степенями свободы, так как это простейший неразрешимый случай. Уравнения имеют вид
\[
\frac{d p_{i}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{i}}, \quad \frac{d q_{i}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}},
\]

где $H$ – заданная аналитическая функция четырех переменных $p_{1}, q_{1}$, $p_{2}, q_{2}$. Пользуясь известным интегралом энергии $H=$ const и независимостью $H$ от $t$, можно чисто формальным образом понизить на две единицы порядок этой системы. Эта редукция хорошо известна, и нет надобности проводить ее здесь. Новые упрощенные уравнения могут быть следующим образом представлены в виде гамильтоновой системы с одной степенью свободы:
\[
\frac{d p}{d \tau}=-\frac{\partial H}{\partial q}, \quad \frac{d q}{d \tau}=\frac{\partial H}{\partial p} .
\]

Здесь $H$ – известная функция переменных $p, q, \tau$. Этой редукцией мы будем пользоваться в дальнейшем.

Если $p_{1}, q_{1}, p_{2}, q_{2}$ означают координаты точки в четырехмерном пространстве, то четыре первоначальных уравнения определяют некоторое течение жидкости в этом пространстве. Составляющими скорости являются как раз четыре величины, стоящие в правых частях уравнений (2). Каждая точка ( $p_{1}, q_{1}, p_{2}, q_{2}$ ) представляет определенное состояние движения. Линии тока или кривые движения соответствуют возможном движениям системы. Совокупность возможных точек соответствует «многообразию состояний» и может быть замкнутой или незамкнутой. Две такие динамические системы «эквивалентны», если существует точечное преобразование, переводящее точки и движения одной системы в точки и движения другой.

Действительная цель динамики состоит в том, чтобы определить все инварианты данной динамической системы относительно таких преобразований так, чтобы было возможно ответить на вопрос, эквивалентны ли две такие системы или нет.

Вообще говоря, такие инварианты существуют лишь в окрестности положения равновесия или периодического движения. Поэтому мы будем рассматривать окрестность замкнутой кривой движения, соответствующей такому периодическому движению.

Соответственно нашей редукции мы будем рассматривать только близкие состояния движения, для которых постоянная энергии та же, что и для данного периодического движения. Они соответствуют трехмерной части многообразия состояний, образующей топологический тор.

При надлежащем выборе переменных $p, q, \tau$ данная кривая движения будет лежать вдоль оси $\tau$ в пространстве $p, q, \tau$, где всякие две точки $(p, q, \tau+2 \pi)$ и $(p, q, \tau)$ соответствуют одному и тому же состоянию движения. Здесь тор превращается в бесконечный цилиндр.

Пусть теперь дана некоторая поверхность $S$, пересекающая замкнутую кривую движения в точке $Q$ под углом, отличным от нуля. Плоскость $\tau=0$, очевидно, является поверхностью этого рода. Возьмем какую-либо точку $P$ этой поверхности и проследим проходящую через $P$ кривую движения в направлении возрастающего времени до первой следующей точки $P_{1}$, также лежащей на $S$. Этим определяется точечное преобразование $T$ от любого $P$ к соответствующему $P_{1}: P_{1}=T(P)$. Это преобразование, как и обратное преобразование $P=T^{-1}\left(P_{1}\right)$, аналитично, если только данная проблема и секущая поверхность аналитичны. Следует заметить, что $Q$ является неподвижной точкой преобразования $T$.

Чтобы дать простой пример такого преобразования $T$, рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка
\[
q^{\prime \prime}+k^{2} q=0,
\]

или, что то же самое, два дифференциальных уравнения типа (3):
\[
\frac{d p}{d t}=-k^{2} q=-\frac{\partial H}{\partial q}, \quad \frac{d q}{d t}=p=\frac{\partial H}{\partial p} \quad\left[H=\frac{1}{2}\left(p^{2}+k^{2} q^{2}\right)\right] .
\]

Решение $(p, q)$, принимающее при $\tau=0$ значения $\left(p_{0}, q_{0}\right)$, дается формулами:
\[
p=p_{0} \cos k \tau-k q_{0} \sin k \tau, \quad q=\frac{p_{0}}{k} \sin k \tau+q_{0} \cos k \tau .
\]

При возрастании $\tau$ от 0 до $2 \pi$ получаем $p_{1}, p_{2}$ :
\[
p_{1}=p_{0} \cos 2 k \pi-k q_{0} \sin 2 k \pi, \quad q_{1}=\frac{p_{0}}{k} \sin 2 k \pi+q_{0} \cos 2 k \pi .
\]

В координатах ( $p / \sqrt{k}, q \sqrt{k}$ ) это преобразование $T$ является обычным вращением на угол $2 k \pi$.

Очевидно, что при другом выборе координат или секущей поверхности определится другое преобразование $\bar{T}$, эквивалентное $T$. В самом деле, при новом выборе координат изменяются лишь координаты на $S$. Но и при новом выборе секущей поверхности паре значений $p, q$ переменных на $S$ соответствует одна и только одна пара $\bar{p}, \bar{q}$ на $\bar{S}$, в силу чего и здесь преобразования $T$ и $\bar{T}$ должны быть эквивалентными.

Этот результат допускает обращение, а именно, если преобразования, относящиеся к двум динамическим проблемам, эквивалентны, то и эти проблемы эквивалентны друг другу. Чтобы доказать это, надо лишь определить взаимно однозначное и непрерывное отображение двух многообразий состояний.

Геометрически это совершается так. Точки поверхностей $S$ и $\bar{S}$ соответствуют друг другу заданным образом. Всякая другая точка $P$ первого многообразия лежит на дуге $Q Q_{1}$, оканчивающейся в двух точках секущей поверхности. Точка $P$ делит дугу на две части $Q P$ и $P Q_{1}$. Обозначим отношение этих частей $Q P / P Q_{1}$ через $\sigma$. Будем считать точки $P$ и $\bar{P}$ соответствующими, если они лежат на соответствующих дугах $Q Q_{1}$ и $\overline{Q Q}_{1}$ и имеют одинаковые $\sigma$ и $\bar{\sigma}$. Таким образом, устанавливается непрерывное преобразование одного многообразия в другое многообразие, переводящее кривые движения первого многообразия в кривые движения второго.

Применяемые здесь точечные преобразования только непрерывны. Таким образом, при этом способе доказательства мы пользуемся группой всех непрерывных точечных преобразований.

Эти соображения показывают, что все динамические свойства движений соответствуют свойствам преобразований секущих поверхностей. Таким образом, динамическая проблема сводится к проблеме преобразований плоскости вблизи неподвижной точки. Ясно также, что такое сведение произвольной динамической проблемы к проблеме преобразований всегда возможно по крайней мере вблизи периодического движения.

Каковы же теперь характеристические свойства преобразования, соответствующего динамической проблеме (3)?

Чтобы ответить на этот вопрос, заметим прежде всего, что при применении канонических переменных $p, q, \tau$ и секущей поверхности $\tau=0$ площади не меняются при преобразовании $T$. В самом деле, течение оставляет объем неизменным, так как уравнения могут быть написаны следующим образом:
\[
\frac{d p}{d \tau}=-\frac{\partial H}{\partial q}, \frac{d q}{d \tau}=\frac{\partial H}{\partial p}, \quad \frac{d r}{d \tau}=1 \quad[H=H(p, q, r)],
\]

где
\[
\frac{\partial}{\partial p}\left(-\frac{\partial H}{\partial q}\right)+\frac{\partial}{\partial q}\left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)+\frac{\partial}{\partial r}(1)=0 .
\]

При этом каждая точка движется с составляющей скорости, равной единице, по оси $\tau$. Поэтому маленький цилиндр с основанием $\alpha$ в плоскости $\tau=0$ и с постоянной маленькой высотой $h$ должен все время иметь основание с одной и той же площадью. Произвольная площадь $\alpha$ в плоскости $p, q$ должна поэтому равняться соответствующей площади $\bar{\alpha}$ в плоскости $\tau=2 \pi$, что и требовалось доказать.

Мы можем теперь дать несколько иную картину нашей проблемы на плоскости. В плоскости $p, q$ каждая точка движется в каждый момент $\tau$ с составляющими скорости $-\partial H / \partial q, \partial H / \partial p$. Таким образом, определяется переменное течение на плоскости, которое такое же, как если бы плоскость $\tau=c$ двигалась в направлении оси $\tau$ со скоростью равной единице и каждая точка плоскости $p, q$ оставалась бы на соответствующей кривой движения. Это переменное течение есть течение несжимаемой жидкости в плоскости, так как площадь всякой части остается постоянной. Мы видим также, что двумерное течение периодично с периодом $2 \pi$. Ранее введенное преобразование $T$ имеет здесь следующий смысл. Точка $P$ жидкости, которая при $\tau=0$ занимает положение $p_{0}, q_{0}$, будет через $2 \pi$ секунд находиться в $p_{1}, q_{1}$.

Обратно, каждое сохраняющее площадь периодическое течение этого рода соответствует динамической проблеме (3). В самом деле, дифференциальные уравнения такого течения могут быть написаны в виде
\[
\frac{d p}{d \tau}=P, \quad \frac{d q}{d \tau}=Q, \quad \frac{d r}{d \tau}=1 \quad[P=P(p, q, r), \quad Q=Q(p, q, r)],
\]

где $P$ и $Q$ периодичны в $r$ с периодом $2 \pi$ и где
\[
\frac{\partial P}{\partial p}+\frac{\partial Q}{\partial q}=0
\]

в силу несжимаемости. Если теперь положить
\[
H=\int_{(0,0)}^{(p, q)}(Q d p-P d q),
\]

то эти дифференциальные уравнения примут как раз вид (3).
Поэтому кажется очевидным, что всякое однозначное, сохраняющее площади преобразование $T$ соответствует гамильтоновой проблеме типа (3). Этот факт сейчас же доказывается по крайней мере в том случае, когда функции, определяющие $T$, равно как и все их производные, непрерывны, и функция $H$ того же рода (но, быть может, неаналитическая $)^{1}$.

Для динамических систем со многими степенями свободы соответствующее объемосохраняющее свойство таких преобразований $T$ не вполне характерно.

Рассмотрим теперь какое-либо сохраняющее площади преобразование $T$ вблизи неподвижной точки. В общем случае оно имеет один из следующих типов. Либо линейная часть $T$ является вращением
\[
p_{1}=p_{0} \cos \vartheta-q_{0} \sin \vartheta, \quad q_{1}=p_{0} \sin \vartheta+q_{0} \cos \vartheta,
\]

где $\vartheta / 2 \pi$ иррационально, либо она имеет вид
\[
p_{1}=\lambda p_{0}, \quad q_{1}=\frac{1}{\lambda} q_{0},
\]

где $\lambda^{2}
eq 1$. Второй, значительно более простой тип будем называть неустойчивым, первый – устойчивым.

Во втором случае можно, по всей вероятности, при надлежащем выборе переменных $p, q$ придать преобразованию $T$ следующую нормальную форму:
\[
p_{1}=\lambda e^{p_{0} q_{0}} p_{0}, \quad q_{1}=\frac{1}{\lambda} e^{-p_{0} q_{0}} q_{0} .
\]

При этом допускаются все точечные преобразования, при которых соответствующие функции и все их производные непрерывны. Для исходной динамической проблемы прямые $p_{0}=0$ и $q_{0}=0$ соответствуют двум семействам асимптотических движений. Все другие близкие движения приближаются к периодическому движению с тем, чтобы потом опять удалиться от него.
${ }^{1}$ См. мою заметку «Замечание о роли геометрической теоремы Пуанкаре».

В первом случае также существует простая нормальная форма:
\[
\begin{array}{l}
p_{1}=p_{0} \cos \left(\vartheta+r_{0}^{2}\right)-q_{0} \sin \left(\vartheta+r_{0}^{2}\right), \\
q_{1}=p_{0} \sin \left(\vartheta+r_{0}^{2}\right)+q_{0} \cos \left(\vartheta+r_{0}^{2}\right),
\end{array}
\]

где $r_{0}^{2}=p_{0}^{2}+q_{0}^{2}$. Эта нормальная форма в общем случае достижима лишь формальным образом.

Мы видим, что и здесь существует единственный формальный инвариант $\vartheta$. Преобразование можно с большой степенью точности рассматривать как подобное вращению вокруг точки $(0,0)$ на зависящий от радиуса $r_{0}$ угол $\vartheta+r_{0}^{2}$.

Определение природы преобразования в этом случае является одной из интереснейших и труднейших проблем математики. Существенный вопрос заключается в следующем: остаются ли точки $P$, близкие к точке $(0,0)$, все время близкими к ней при повторении преобразования $T$ ? Это – простейший случай проблемы динамической устойчивости, которая в настоящее время не разрешена.

В этом направлении я хочу сделать еще одно замечание. В силу природы преобразования в этом случае можно придти к заключению, что вблизи рассматриваемого периодического движения существует бесконечное множество периодических движений с той же постоянной энергии, совершающих много оборотов в течение своего периода ${ }^{1}{ }^{1}$. Идея доказательства следующая (разумеется, я не могу привести всех деталей).

При больших $n$ и в достаточно малой окрестности точки $(0,0)$ преобразование $T^{n}$ имеет вид вращения на угол $n\left(\vartheta+r_{0}^{2}\right)$ по крайней мере в том отношении, что вращение вдоль круга $r=r_{0}$ превосходит вращение при $r=0$ более чем на $2 \pi$. Поэтому можно найти $m$ такое, что если $T^{n}$ дополнить поворотом на угол $2 m \pi$, то вращение будет положительным при $r=r_{0}$ и отрицательным при $r=0$.

Легко усмотреть, что при этом новом преобразовании $T_{m}^{n}$ должна существовать по крайней мере одна замкнутая кривая $C$ вокруг точки $(0,0)$ такая, что на ней вращение равно нулю. В силу сохранения площадей, при $T_{m}^{n}$ кривые $C$ и $T_{m}^{n}(C)$ должны иметь по крайней мере одну общую точку $P$. Далее непосредственно доказывается, что каждый радиус пересекает $C$ в одной и только одной точке. Поэтому и $T_{m}^{n}(C)$ обладает тем же свойством, так как каждая точка $T_{m}^{n}(Q)$ кривой $T_{m}^{n}(C)$ лежит на том же радиусе, что и $Q$. Следовательно, $T_{m}^{n}(P)$ должно совпадать с $P$.

Эта точка $P$ соответствует периодическому движению, совершающему $n$ оборотов в течение своего периода. А так как $n$ может быть взято сколь угодно большим, то существует бесконечное множество таких периодических движений вблизи рассматриваемого периодического движения.

Так называемая последняя геометрическая теорема Пуанкаре была им установлена, чтобы доказать существование таких новых периодических движений. Наш метод показывает, однако, как во многих важнейших случаях можно избежать применения этой теоремы. Очень интересно отметить, что большинство неправильных попыток доказательства этой теоремы основано на соображениях совершенно того же рода, что и вышеприведенные. Эти попытки как раз потому не ведут к цели, что в общем случае теоремы Пуанкаре нам не известно, что $C$ имеет нужный специальный вид.

Мы рассмотрим теперь вкратце следующие четыре примера динамических систем: 1) бильярдный шар на эллиптическом столе; 2) частицу на гладкой выпуклой поверхности; 3) частицу на гладкой замкнутой поверхности повсюду отрицательной кривизны и 4) задачу трех тел.