Пусть теперь мы имеем лагранжеву динамическую проблему:
\[
\delta I=\delta \int_{t_{0}}^{t_{1}} L d t=0,
\]

где $L$ есть функция пространственных координат $q_{1}, \ldots, q_{m}$ и скоростей $q_{1}^{\prime}, \ldots, q_{m}^{\prime}$, квадратичная относительно этих последних переменных.

Выраженная этой вариационной формулой система дифференциальных уравнений имеет интеграл энергии, а именно:
\[
L_{2}-L_{0}=\text { const. }
\]

Прибавляя к $L_{0}$ надлежащее постоянное слагаемое, мы можем обратить для данного движения произвольную постоянную в написанной формуле в нуль. Мы попробуем упростить поставленную задачу, пользуясь интегралом энергии, который можем написать теперь в виде
\[
L_{2}-L_{0}=0 .
\]

Как мы уже видели, задаче можно дать иную вариационную формулировку, а именно:
\[
\delta \int_{t_{0}}^{t_{1}}\left(2 \sqrt{L_{0} L_{2}}+L_{1}\right) d t=0
\]
(см. главу II, §3), где подынтегральное выражение представляет собой однородную функцию от $q_{1}^{\prime}, \ldots, q_{m}^{\prime}$ размерности один и где, следовательно, значение интеграла не зависит от параметра $t$ вдоль пути интегрирования, а только от самого пути в пространстве $\left(q_{1}, \ldots, q_{m}\right)$.

Далее, координатами являются $q_{1}, \ldots, q_{m}$. Но выбор той или иной системы координат не существен, потому что любое однозначное аналитическое преобразование переменных не влияет на вариационный принцип. Необходимо, однако, потребовать, чтобы система значений координат $q_{1}, \ldots, q_{m}$ образовала некоторое аналитическое многообразие $M$ известной связности. Соответственно этому мы принимаем, что коэффициенты в $L$ суть аналитические функции от $q_{1}, \ldots, q_{m}$ на многообразии $M$, если $q_{1}, \ldots, q_{m}$ выбраны подходящим образом. Предположим, кроме того, что выражение $4 L_{0} L_{2}-L_{1}^{2}$, которое является однородной квадратичной формой относительно скоростей, будет положительной определенной формой. Мы можем рассматривать выражение $d s^{2}=L_{0} L_{2} d t^{2}$ как квадрат элемента дуги на «характеристической поверхности» $M$.

Обозначим через $l$ любую замкнутую кривую в $M$, которую нельзя непрерывно деформировать в точку. Многообразие $M$ здесь считается многосвязным в смысле линейной связности $\left({ }^{6}\right)$.

Предположим далее, что при такой непрерывной деформации кривой $l$ интеграл $I$ вдоль этой кривой безгранично возрастает, если $l$ не остается целиком в конечной части многообразия $\mathrm{M}$, а также, что $I$ превосходит некоторую положительную константу $I_{0}$ при любом выбоpe $l$. В этом случае, следовательно, будет существовать положительная точная нижняя граница для значений интеграла $I$ вдоль этих кривых.

Интуитивно очевидно, что эта граница будет достигнута на некоторой замкнутой кривой, которая будет соответствовать какому-то периодическому движению. Здесь мы не будем входить в детали доказательств, а ограничимся тем, что выскажем результат ${ }^{1}$.
${ }^{1}$ См. мою статью «Dynamical Systems with Two Degrees of Freedom», Trans. Amer. Math. Soc., vol. 18, 1917, где метод минимума разработан полнее и где имеются ссылки на важные предшествующие статьи Hadamard’a, Whittaker’a, Hilbert’a и Signorini.

Если нам дана лагранжева динамическая проблема этого рода с функцией
\[
L=L_{0}+L_{1}+L_{2}
\]

и на характеристической поверхности $M$ дан какой-нибудь замкнутый путь $l$, не сводимый в точку, то для любого заданного значения с постоянной энергии, т.е.для
\[
L_{2}-L_{0}=c,
\]

существует периодическое движение того же типа (в смысле непрерывных преобразований), что и $l$, для которого
\[
l=\int_{l}\left(2 \sqrt{L_{0} L_{2}}+L_{1}\right) d t
\]

имеет абсолютный минимум.
Если $L_{1}=0$, так что динамическая система обратима, то интеграл превращается в длину дуги в на характеристической поверхности и периодическое движение соответствует замкнутой геодезической линии данного типа.

В случае двух степеней свободы ( $m=2$ ) этот метод минимума дает только те периодические движения неустойчивого типа, для которых оба не равные нулю множителя вещественны ${ }^{1}$. Аналогичные результаты, несомненно, справедливы для любого числа степеней свободы и могут быть получены при помощи классических методов вариационного исчисления.

Если мы будем изменять постоянную энергии $c$, то почти очевидно, что периодическое движение будет изменяться аналитически. Мы имеем здесь, таким образом, пример аналитического продолжения периодического движения с изменением параметра (см. $\S 9$ этой главы).