Предположим, что в рассматриваемую систему (3) дифференциальных уравнений мы подставим
$$x_i=F_i(t,c_1\dots ,c_n)(i=1,\dots ,n),$$

где $F_i$ суть формальные степенные ряды относительно $n$ произвольных постоянных $c_1,\dots ,c_n$, не имеющие свободного члена и притом такие, что определитель $\partial F_i/\partial c_j$ в начале координат (т.е. в точке $c_1=\dots =$ $=c_n=0$ ) не обращается в нуль ни при каком значении $t$ и что коэффициенты этих рядов — вещественные аналитические функции от $t$. Может случиться, что полученные таким образом $n$ равенств будут в формальном смысле удовлетворяться тождественно относительно $t$ и $c_i$. В этом случае мы скажем, что ряды (5) дают «формальное общее решение» рассматриваемой системы дифференциальных уравнений.

В частном случае может оказаться, что коэффициенты функций $F_i$ являются периодическими функциями $t$ с периодом $\tau$. В этом случае мы будем иметь соответствующее преобразование
$$x_i=F_i(t,y_1,\dots ,y_n)(i=1,\dots ,n),$$

принадлежащее формальной группе. Если преобразованная формальная система дифференциальных уравнений будет
$$\frac{d{y}_i}{dt}=Y_i(y_1,\dots ,y_n,t)(i=1,\dots ,n),$$

то мы имеем формальные равенства:
$$\frac{\partial F_i}{\partial t}+\sum _{j=1}^n\frac{\partial F_i}{\partial y_j}{Y}_j\equiv X_i(F_1,\dots ,F_n,t)(i=1,\dots ,n),$$

в которых аргументами $F_i$ являются, разумеется, $y_1,\dots ,y_n,t$. Но утверждение, что $F_i$ дает формальное решение, означает как раз, что
$$\frac{\partial F_i}{\partial t}\equiv X_i(F_1,\dots ,F_n,t)(i=1,\dots ,n),$$

причем аргументами рядов $F_i$ в этом равенстве будут уже не $y_1,\dots ,y_n$, а $c_1,\dots ,c_n$.

Если мы теперь заменим в последней формуле $c_1,\dots ,c_n$ соответственно на $y_1,\dots ,y_n$, что, разумеется, всегда возможно, и сравним получившиеся тождества с предыдущими, то убедимся, что
$$\sum _{j=1}^n\frac{\partial F_i}{\partial y_j}{Y}_j=0$$

откуда, очевидно, $Y_i\equiv 0(i=1,\dots ,n)$. Следовательно, рассматриваемый случай оказывается таким частным случаем, в котором данная система дифференциальных уравнений может быть формально преобразована к нормальному виду
$$\frac{d{x}_i}{dt}=0(i=1,\dots ,n),$$

посредством преобразования, принадлежащего к рассматриваемой формальной группе. Как мы увидим ниже, в общем случае подобное преобразование невозможно.

Если над переменными уравнений (3) произвести преобразование, принадлежащее нашей формальной группе, то всякое формальное общее решение (5) преобразуется в формальное общее решение преобразованных уравнений.

Чтобы проще показать это, расширим временно формальную группу, включив в нее преобразования, коэффициенты которых суть непериодические аналитические функции $t$. К этой расширенной группе принадлежит, между прочим, преобразование, получаемое из формулы (5) заменой $c_1,\dots ,c_n$ на $y_1,\dots ,y_n$, которое превращает данные уравнения в систему уравнений, для которых $Y_i=0(i=1,\dots ,n)$. Но преобразованная система с переменными ${\overline{x}}_i,\dots ,{\overline{x}}_n$ может быть приведена к этому виду непосредственно путем преобразования, являющегося композицией преобразований от ${\overline{x}}_i$ к $x_i$ и от $x_i$ к $y_i$. А это как раз обозначает, что общее решение преобразованной системы может быть получено путем преобразования общего решения первоначальной системы. Это рассуждение предполагает, что формальные законы преобразований остаются в силе и в распространенной формальной группе.

Из любого формального решения (5) уравнений (3) мы можем получить всякое другое решение $x_i=G_i(t,d_1,\dots ,d_n)$ посредством подстановки в (5) вместо $c_1,\dots ,c_n$ произвольных вещественных рядов по $d_1,\dots ,d_n$, с постоянными, не зависящими от $t$ коэффициентами
$$c_i={\phi }_i(d_1,\dots ,d_n)(i=1,\dots ,n)$$

при единственном условии, что определитель $\left|\partial \phi /\partial d_j\right|$ не обращается в нуль при $d_1=\dots =d_n=0$.

Это почти очевидное обстоятельство можно просто доказать при помощи введенной нами расширенной группы. Два преобразования
$$x_i=F_i(t,z_1,\dots ,z_n),x_i=G_i(t,w_1,\dots ,w_n)(i=1,\dots ,n)$$

превращают уравнения (3) соответственно в уравнения
$$\frac{d{z}_i}{dt}=0,\frac{d{\omega }_i}{dt}=0(i=1,\dots ,n).$$

Следовательно, если мы напишем:
$$z_i={\phi }_i(t,{\omega }_1,\dots ,{\omega }_n)(i=1,\dots ,n),$$

обозначив через ${\phi }_i$ преобразование переменных $z$ непосредственно в $\omega$, то мы видим сразу, что
$$\frac{d{z}_i}{dt}=\frac{\partial {\phi }_i}{\partial t}+\sum _{j=1}^n\frac{\partial {\phi }_i}{\partial w_j}\frac{d{w}_j}{dt}=\frac{\partial {\phi }_i}{\partial t}=0$$

так что функции ${\phi }_1,\dots ,{\phi }_n$ не содержат переменной $t$, т.е.
$$z_i={\phi }_i({\omega }_1,\dots ,{\omega }_n)(i=1,\dots ,n).$$

Таким образом, получаем формальные тождества
$$F_i(t,{\phi }_1,\dots ,{\phi }_n)=G_i(t,d_1,\dots ,d_n)(i=1,\dots ,n),$$

причем в ${\phi }_1,\dots ,{\phi }_n$ мы должны подставить $d_1,\dots ,d_n$ вместо ${\omega }_1,\dots ,{\omega }_n$. Но это как раз и есть соотношение, которое мы хотим доказать. Очевидно также из определения обобщенной группы, что определитель $\left|\partial {\phi }_i/\partial d_j\right|$ не равен нулю при $d_1=\dots =d_n=0$.

Вопрос о существовании формальных решений может быть легко разрешен. Действительно, возьмем $c_1=x_1^0,\dots ,c_n=x_n^0$, где $x_i^0$ есть значение $x_i$ при $t=t_0$. Тогда, как было доказано в первой главе, общее решение
$$x_i=F_i(t,c_1,\dots ,c_n)(i=1,\dots ,n)$$

будет аналитической функцией от $c_1,\dots ,c_n$ для $\left|c_i\right|$ малых $(i=1,\dots ,n)$ при всяком $t$, лежащем в $t$-интервале, для которого $F_i$ определена при $c_1=\dots =c_n=0$. Но при этих значениях $c_i$ решение будет $x_i=0$ $(i=1,\dots ,n)$ для всех значений $t$, откуда следует, что решение представляет собою аналитическую функцию $c_1,\dots ,c_n,t$ для любого $t$ при условии, что все $\left|c_i\right|$ будут тогда достаточно малы. Таким образом, функции $F_i$ могут быть разложены в ряды по степеням $c_1,\dots ,c_n$, коэффициенты которых — аналитические функции $t$ для всех значений $t$. Кроме того, имеем, очевидно, при $t=t_0$
$$\frac{\partial F_i}{\partial c_j}={\delta }_{ij}({\delta }_{ij}=1;{\delta }_{ij}=0,\text{ если }ieqj).$$

Следовательно, $\frac{\partial F_i}{\partial c_j}(i=1,\dots ,n)$ составляют $n$ линейно независимых решений уравнений вариации при $j=1,\dots ,n$, и определитель $\left|\partial F_i/\partial c_j\right|$ не обращается при $c_1=\dots =c_n=0$ в нуль ни при каком значении $t$.
Существуют формальные решения всякой системы (3).
Очевидно, что если мы введем сопряженные переменные способом, указанным в предыдущем параграфе, то формальные решения соответственно видоизменятся.

Значение формальных решений будет выяснено в следующей главе. Здесь же достаточно указать, что такие решения применяются в астрономических задачах, когда нужно вычислить возмущения периодического движения.