Последняя геометрическая теорема Пуанкаре и ее обобщения ${ }^{1}$ доставляют нам дополнительное орудие для установления существования периодических движений. До сих пор еще не найдено какого-либо обобщения этой теоремы на большее число измерений, так что ее применение ограничивается динамическими системами с двумя степенями свободы. В этой главе мы намереваемся изложить некоторые основные идеи, содержащиеся в этой теореме и ее применениях.

Напомним, что движение вблизи периодического движения какойнибудь гамильтоновой или пфаффовой системы с $m$ степенями свободы, не содержащей времени $t$ в явном виде, может быть приведено к движению подобной же системы, имеющей только $m-1$ степеней свободы, но содержащей независимую переменную периодически с периодом $2 \pi$.

Само периодическое движение будет в этой новой системе обобщенным равновесием. Это приведение выполняется при помощи аналитического приема, указанного выше (глава IV, §1).

В этом параграфе мы рассмотрим вопрос о существовании периодических движений с периодом $2 k \pi$ в окрестности точки обобщенного равновесия для систем с одной степенью свободы ( $m=1$ ). Мы докажем существование бесконечного числа таких близких периодических движений в общем случае устойчивого равновесия при помощи соображений, которые хотя и не опираются явно на геометрическую теорему Пуанкаре, но повторяют в точности рассуждения, доказывающие эту теорему в некоторых частных случаях. Ниже (в $\S 3$ ) эти результаты будут приложены к первоначальной динамической проблеме с двумя степенями свободы.

Обозначим единственную пару переменных через $p, q$, так что гамильтонова главная функция $H$ будет зависеть от $p, q, t$, являясь периодической функцией от $t$ периода $2 \pi$, и вместе со своими первыми производными она будет обращаться в нуль в начале координат, т.е. при $p=q=0$ и всех значениях $t$.
${ }^{1} \mathrm{Cm}$. мою статью «An Extension of Poincare’s Last Geometric Theorem», Acta Mathematica, vol. $47,1926\left({ }^{1}\right)$.

Если теперь $\left(p_{0}, q_{0}\right)$ есть какая-нибудь точка вблизи начала координат, то существует единственное решение:
\[
p=f\left(p_{0}, q_{0}, t\right), \quad q=g\left(p_{0}, q_{0}, t\right),
\]

принимающее при $t=0$ значения ( $p_{0}, q_{0}$ ); это решение аналитично в $p_{0}, q_{0}, t$ при $t$ сколь угодно большом и $p_{0}, q_{0}$ достаточно малых. Обозначим через $p_{1}, q_{1}$ значения $p, q$ при $t$, равном полному периоду $2 \pi$. Иначе говоря, имеем
\[
p_{1}=f\left(p_{0}, q_{0}, 2 \pi\right), \quad q_{1}=g\left(p_{0}, q_{0}, 2 \pi\right),
\]

где $f$ и $g$ – аналитические функции от $p_{0}, q_{0}$, обращающиеся в нуль вместе с этими переменными.

Таким путем мы определяем преобразование $T$, имеющее такую же природу, что и преобразование секущей поверхности, рассмотренное в предыдущей главе ( $\$ 10$ ). В самом деле, если мы введем новую зависимую переменную $r=t$, то система двух уравнений Гамильтона может быть заменена эквивалентной системой:
\[
\frac{d p}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q}, \quad \frac{d q}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p}, \quad \frac{d r}{d t}=1,
\]

где $H$ – функция от $p, q, r$ периодическая по $r$ с периодом $2 \pi$. Для этих уравнений многообразие состояний движения будет 3 -мерным пространством с координатами $p, q, r$, в котором ось $r$ изображает периодическое движение, а именно то, которое отвечает обобщенному равновесию в первоначальной системе; не нужно забывать, что $r$ является угловой координатой. Далее, как мы видели выше, поверхность $\varphi=r=0$ будет служить секущей поверхностью, но с той разницей, что мы вынуждены ограничиться некоторой окрестностью начала координат. Исходя из точки $\left(p_{0}, q_{0}, 0\right)$ на этой секущей поверхности и двигаясь вдоль линии потока, мы придем в точку ( $\left.p_{1}, q_{1}, 2 \pi\right)$, т.е. в $\left(p_{1}, q_{1}, 0\right)$. Таким образом, написанное выше преобразование действительно является преобразованием $T$ секущей поверхности, которое, однако, только локально определено. Такие «локальные секущие поверхности» могут быть построены в окрестностях периодического движения в любой динамической проблеме; достаточно взять элемент поверхности, пересекающий, но не касательный к соответственной линии потока в многообразии состояний движения.

Но поток, определяемый тремя вышеприведенными уравнениями, представляет собой движение несжимаемой жидкости, так как расхождение правых частей уравнений равно нулю. Следовательно, если мы (посмотрим какую-нибудь трубку, состоящую из отрезков линий потока между параллельными плоскостями $r=0$ и $r=2 \pi$, которая движется постоянно с единичной скоростью в направлении оси $r$, то увидим, что через первое основание в течение времени $\Delta t$ пройдет объем, равный приближенно $\sigma_{0} \Delta t$ (где $\sigma_{0}$ есть площадь первого основания), а через второе основание за то же время – объем, равный приближенно $\sigma_{1} \Delta t$ ( $\sigma_{1}$ – площадь второго, основания), и эти объемы должны быть равны. Если $\Delta t$ стремится к нулю, то мы получим в пределе $\sigma_{0}=\sigma_{1}$. Так как $\sigma_{0}$ – произвольная площадка на плоскости $r=0$, то из предыдущих рассуждений очевидно, что $T$ должно быть сохраняющим площадь преобразованием переменных $p_{0}, q_{0}$. Это важное свойство преобразования $T$ соответствует некоторому общему свойству преобразований, связанных с динамическими проблемами.

Необходимо теперь формулировать условия, которые должны быть наложены на обобщенное равновесие для того, чтобы мы могли сделать требуемое заключение о существовании бесконечного множества периодических движений в окрестности точки обобщенного равновесия. Прежде всего мы предполагаем, что обобщенное равновесие принадлежит к общему устойчивому типу и что оно обладает полной устойчивостью. Значение нормального вида уравнений (глава III, §9) заключается в том, что решение их может быть написано под видом:
\[
p=p_{0} e^{M\left(p_{0} q_{0}\right) t}+\Phi, \quad q=q_{0} e^{-M\left(p_{0} q_{0}\right) t}+\Psi
\]

соответствующим образом выбранных сопряженных переменных $p, q$. Здесь $\Phi$ и $\Psi$ являются сходящимися степенными рядами относительно $p_{0}, q_{0}$ с начальными членами сколь угодно высокой степени $2 \mu+1$. Все коэффициенты этих рядов суть аналитические функции $t$.

Эти ряды сходятся абсолютно и равномерно для любого фиксированного промежутка значений $t$, например, для $|t| \leqslant 2 \pi$, если только $p_{0}, q_{0}$ достаточно малы. За функцию $M$ можно взять полином степени не выше $\mu$ относительно произведения $p_{0}, q_{0}$, с чисто мнимыми постоянными коэффициентами, т.е. вида
\[
\lambda+l p_{0} q_{0}+\ldots+s p_{0}^{\mu} q_{0}^{\mu},
\]

где $\lambda$ есть множитель. По условию устойчивости $\lambda / \sqrt{-1}$ – иррациональное число, и, в частности, $\lambda=0$. Наше второе условие будет заключаться в том, что $l$ не равно нулю. В случае, если $l$ есть нуль, но какой-нибудь другой коэффициент в $M$ отличен от нуля, может быть применено по существу то же рассуждение, что и в случае $l
eq 0$. Таким образом, единственным исключительным случаем будет тот, когда формальный ряд $M$ в полностью нормализованных уравнениях сводится к постоянной, равной $\lambda$. Это будет весьма исключительный случай, и можно построить примеры, показывающие, что к этому случаю заключение о существовании бесконечного множества периодических движений в окрестности данного периодического движения неприменимо (см. $\S 4$ этой главы).

Нормальный вид уравнений дает нам средство для изучения преобразования $T$. Свойство преобразования $T$, которое нам необходимо для наших целей в настоящий момент, заключается в следующей лемме, доказательство которой мы откладываем до следующего параграфа.
Лемма. Если $l
eq 0$, то при соответствуюцем выборе переменных $p, q$ мы можем для любого достаточно малого положительного числа $\varepsilon$ найти такое целое положительное число $n$, что всякое преобразование $T^{
u}$ $(
u \leqslant n)$ преобразует круг $r \leqslant \varepsilon\left({ }^{2}\right)$, с центром в инвариантной точке $r=0$, в облать, лежащую в круге радиуса $2 \varepsilon$, причем угловое вращение, производимое преобразованием $T^{n}$, которое равно $2 \pi n \lambda / \sqrt{-1}$ при $r=0$, возрастает вместе с $r$ вдоль любого радиуса нашего круга $r \leqslant \varepsilon$, достигая при $r=\varepsilon$ величины не менее чем на $2 \pi$ большей, чем при $r=0$.

Пусть $r, \vartheta$ будут полярными координатами точки и пусть $\left(r_{n}, \vartheta_{n}\right)$ обозначает образ точки $(r, \vartheta)$ при преобразовании $T^{n}$, причем прямоугольные координаты $p, q$, радиус $\varepsilon$ и целое число $n$ выбраны так, как требуется только что приведенной леммой. Для любого постоянного $\vartheta_{n}$ разность $\vartheta_{n}-\vartheta_{0}$ будет возрастать, таким образом, от $2 \pi n \lambda / \sqrt{-1}$ при $r=0$ до величины, по крайней мере на $2 \pi$ большей при $r=\varepsilon$. Следовательно, если обозначим через $2 k \pi$ наименьшее целое кратное $2 \pi$, большее, чем $2 \pi n \lambda / \sqrt{-1}$, то уравнение
\[
\vartheta_{n}-\vartheta_{0}=2 k \pi
\]

будет иметь единственное решение вдоль каждого радиуса-вектора. Следовательно, аналитическую кривую $C$, изображаемую этим уравнением, каждый радиус-вектор встретит в одной и только одной точке.

Рассмотрим теперь образ $C_{n}$ этой кривой при преобразовании $T^{n}$; кривая $C_{n}$ пересечет кривую $C$ в некоторой точке $Q$, так как если бы $C_{n}$ лежала полностью внутри или вне $C$, то $T^{n}$ не могло бы быть преобразованием, сохраняющим площади в первоначальных координатах. Точка $Q$ является образом при преобразовании $T^{n}$ некоторой точки $P$, лежащей тоже на $C$. Кроме того $P$ и $Q$ имеют одинаковое $\vartheta$ по определению кривой $C$. Следовательно, $P$ и $Q$ должны совпадать, и точка $P$ инвариантна по отношению к преобразованию $T^{n}$. Так как $\varepsilon$ сколько угодно мало, то мы получаем требуемый результат.

В случае обобщенного равновесия общего устойчивого типа для гамильтоновой проблемы с одной степенью свободы существует бесконечное множество периодических движений в любой окрестности точки обобщенного равновесия.