В этом параграфе мы рассмотрим возможность обобщенно предыдущих результатов на случай большего числа тел, а также более общего поля сил. При этом мы совершенно исключим из рассмотрения вопрос о соударении тел. Для нашей цели достаточно, чтобы после соударения нескольких тел было возможно какое-нибудь продолжение движения, при котором количество движения, его момент и постоянная энергии оставались бы теми же после соударения, что и до него; мы предположим также, что если
$$R^2=\frac{1}{2M}\sum m_i{m}_j{r}_{ij}^2,$$

то $R^{\prime }$ можно считать непрерывным при соударении; здесь $m_1,\dots ,m_n$ обозначают массы тел $P_1,\dots ,P_n$ соответственно, $M$ есть сумма всех этих масс, а $r_{ij}$ обозначает взаимное расстояние тел $P_i$ и $P_j$.

Пусть функция сил $U$ будет какой-нибудь функцией расстояний $r_{ij}$, однородной, измерения -1 относительно этих расстояний. Для функции $U$ этого типа сохранится первоначальный вид дифференциальных уравнений десяти интегралов, неравенства (20) Сундмана и лагранжева равенства (15), при условии, что $f$ обозначает полный момент количества движения системы относительно ее центра тяжести.

Наши рассуждения, приведенные в этой главе, основывались главным образом на этих аналитических соотношениях. Следовательно, мы можем высказать следующий результат.

Пусть $U$ будет аналитической функцией от взаимных расстояний $n$ тел $P_i(i=1,\dots ,n)$ с кооринатами $x_i,y_i,z_i$ и массами $m_i$, соответственно, и пусть $U$ будет, кроме того, однородной функцией этих расстояний измерения -1. Если все $n$ тел достаточно близки друг к другу в некоторый момент времени, причем полный момент количества движения $fu$ постоянная энергии $К$ больше нуля, то по крайней мере два из взаилных расстояний между телами становятся весьма большими при безграничном возрастании или убывании времени.

Дальнейшее рассмотрение показывает, что условие однородности, наложенное на $U$, может быть заменено следующим условием:
$$\sum (x_i\frac{\partial U}{\partial x_i}+y_i\frac{\partial U}{\partial y_i}+z_i\frac{\partial u}{\partial z_i})⩾-dU,$$

где $0<d<2$, так что и для этих более общих функций по крайней мере два из взаимных расстояний между телами становятся очень большими.
В этом случае функция $H$ принимает следующий более общий вид:
$$H=R^d[R^{\prime 2}+\frac{f^2}{(2-d)R^2}+2K].$$

Я не пытался выяснить условия, при которых по крайней мере два из взаимных расстояний становятся бесконечными.