В этом параграфе мы рассмотрим возможность обобщенно предыдущих результатов на случай большего числа тел, а также более общего поля сил. При этом мы совершенно исключим из рассмотрения вопрос о соударении тел. Для нашей цели достаточно, чтобы после соударения нескольких тел было возможно какое-нибудь продолжение движения, при котором количество движения, его момент и постоянная энергии оставались бы теми же после соударения, что и до него; мы предположим также, что если
\[
R^{2}=\frac{1}{2 M} \sum m_{i} m_{j} r_{i j}^{2},
\]

то $R^{\prime}$ можно считать непрерывным при соударении; здесь $m_{1}, \ldots, m_{n}$ обозначают массы тел $P_{1}, \ldots, P_{n}$ соответственно, $M$ есть сумма всех этих масс, а $r_{i j}$ обозначает взаимное расстояние тел $P_{i}$ и $P_{j}$.

Пусть функция сил $U$ будет какой-нибудь функцией расстояний $r_{i j}$, однородной, измерения -1 относительно этих расстояний. Для функции $U$ этого типа сохранится первоначальный вид дифференциальных уравнений десяти интегралов, неравенства (20) Сундмана и лагранжева равенства (15), при условии, что $f$ обозначает полный момент количества движения системы относительно ее центра тяжести.

Наши рассуждения, приведенные в этой главе, основывались главным образом на этих аналитических соотношениях. Следовательно, мы можем высказать следующий результат.

Пусть $U$ будет аналитической функцией от взаимных расстояний $n$ тел $P_{i}(i=1, \ldots, n)$ с кооринатами $x_{i}, y_{i}, z_{i}$ и массами $m_{i}$, соответственно, и пусть $U$ будет, кроме того, однородной функцией этих расстояний измерения -1. Если все $n$ тел достаточно близки друг к другу в некоторый момент времени, причем полный момент количества движения $f u$ постоянная энергии $К$ больше нуля, то по крайней мере два из взаилных расстояний между телами становятся весьма большими при безграничном возрастании или убывании времени.

Дальнейшее рассмотрение показывает, что условие однородности, наложенное на $U$, может быть заменено следующим условием:
\[
\sum\left(x_{i} \frac{\partial U}{\partial x_{i}}+y_{i} \frac{\partial U}{\partial y_{i}}+z_{i} \frac{\partial u}{\partial z_{i}}\right) \geqslant-d U,
\]

где $0<d<2$, так что и для этих более общих функций по крайней мере два из взаимных расстояний между телами становятся очень большими.
В этом случае функция $H$ принимает следующий более общий вид:
\[
H=R^{d}\left[R^{\prime 2}+\frac{f^{2}}{(2-d) R^{2}}+2 K\right] .
\]

Я не пытался выяснить условия, при которых по крайней мере два из взаимных расстояний становятся бесконечными.