Пусть $r, \vartheta$ означают полярные координаты в плоскости, так что $r=a>0$ будет уравнением круга $C$ радиуса $a$. Наше внимание будет занимать двусвязное кольцо $R$, ограниченное кругом $C$ и кривой ${ }^{2} \Gamma$, окружающей $C$, а также второе такое кольцо $R_{1}$ ограниченное тем же кругом $C$ и подобной

${ }^{1}$ Proof of Poincaré’s Geometric Theorem, Transactions of the American Mathematical Society, 14; или см. перевод в 42 томе Bulletin de la Soclété Mathématique de France.
${ }^{2}$ Замкнутую кривую мы определяем как общую границу ограниченного односвязного открытого множества и внутренности дополнительного множества. Кольцо есть область, ограниченная двумя замкнутыми кривыми, одна из которых лежит внутри другой. Если эти кривые не имеют общих точек, то кольцо является двусвязным открытым множеством. До $§ 8$ мы не будем рассматривать никаких других типов колец.

же кривой $\Gamma_{1}$. Кольца $R$ и $R_{1}$ мы будем считать связанными однооднозначным прямым $\left({ }^{1}\right)$ непрерывным точечным преобразованием $T$, переводящим $R$ в $R_{1}$. Таким образом, мы можем написать:
\[
\begin{array}{l}
C=T(C), \quad \Gamma_{1}=T(\Gamma), \quad R_{1}=T(R), \\
C=T^{-1}(C), \quad \Gamma=T^{-1}\left(\Gamma_{1}\right), \quad R=T^{-1}\left(R_{1}\right), \\
\end{array}
\]

где смысл обозначений ясен.
Обобщение последней геометрической теоремы Пуанкаре, которое мы здесь установим, формулируется так.
Теорема. Если $Г$ и $\Gamma_{1}$ имеют с каждым радиальным лучом $\vartheta=\mathrm{const}$ не более чем по одной общей точке и если $T$ переносит точки на $C$ и на Г в противоположных угловых направлениях в их новые положения на $C$ и на $\Gamma_{1}$, то либо в общей части $R$ и $R_{1}$ имеются две различные инвариантные точки преобразования $T$, либо в $R$ (или в $R_{1}$ ) существует кольцо, опираюцееся на С и преобразуемое посредством $T$ (или $T^{-1}$ ) в часть самого себя ${ }^{1}$.

В формулировке Пуанкаре границы $\Gamma$ и $\Gamma_{1}$ совпадают, а второй возможный случай исключен посредством предположения о сохранении интеграла
\[
\iint \operatorname{Pr} d r d \vartheta \quad(P>0)
\]

при преобразовании $T$.
Ценность устранения условия совпадения кривых $Г$ и $\Gamma_{1}$ явствует из того, что обобщенная теорема может быть применена для установления существования бесконечного множества периодических движений вблизи устойчивого периодического движения динамической системы с двумя степенями свободы. Далее, из этого сразу вытекает существование движений, которые сами не периодичны, но являются равномерными пределами периодических движений. Действительное существование таких квазипериодических движений, насколько мне известно, до сих пор не было доказано ${ }^{2}$. В настоящей работе я не рассматриваю этих динамических приложений.
${ }^{1}$ Ограничения, накладываемые на кривые $\Gamma$ и $\Gamma_{1}$, могут быть смягчены. А именно, от этих кривых можно только требовать, чтобы они были «достижимы справа» и «достижимы слева» в том смысле, в каком эти термины определены в моей статье «Surface Transformations and their Dynamical Applications» в томе 43 Acta mathematica (см. также главу VIII этой книги. – Pед.). Однако менее общая, но более простая теорема, сформулированная в тексте, достаточна для иллюстрации того же типа обобщения и оказывается удобной для динамических приложений.
${ }^{2}$ Известные исследования Г. Бора доставили нам аналитическое представление таких движений. См, например его работы: «Zur Theorie der fastperiodischen Funktionen», Acta mathematica, т. 45; «Einige Sätze über Fourierreihe fastperiodischer Funktionens, Mathematische Zeitschrift, т. 23. (На русском языке см. книгу Г. Бора «Почти периодические функции» из серии «Современная математика». —Ред.)

Стоит также отметить, что обобщенная теорема не предполагает инвариантности интеграла по площади и, таким образом, по существу относится к области analysis situs. Кроме того, в ней устанавливается существование двух различных инвариантных точек, в то время как до сих пор не была исключена возможность единственной инвариантной точки.

Остающийся открытым вопрос о возможности $n$-мерного обобщения последней геометрической теоремы Пуанкаре мы сейчас вкратце обсудим. Исследование аналитических свойств движений вблизи данного устойчивого периодического движения динамической системы с $n$ степенями свободы и свойств соответствующего преобразования $T$, порождаемого этой системой, по-видимому, указывает на существование бесконечного множества близких периодических движений. Теорема Пуанкаре оказывается лишь качественным выражением существенных элементов аналитического положения вещей при $n=2$; и, в действительности, частный случай, рассмотренный Пуанкаре, достаточен тогда для динамических приложений ${ }^{1}$. Чтобы придти к надлежащему $n$-мерному обобщению теоремы, необходимо определить качественно существенные элементы $n$-мерной аналитической проблемы. Это, вероятно, может быть сделано простым путем.