Периодические движения, включая равновесие, составляют очень важный класс движений динамических систем. В этой главе нашей главной целью будет рассмотрение различных общих методов, позволяющих устанавливать существование периодических движений.
В следующей главе мы рассмотрим глубже вопрос о распределении периодических движений для динамических систем с двумя степенями свободы. Эти системы представляют собой простейший случай систем неинтегрируемого типа.
Случай одного уравнения первого порядка не представляет никакого интереса. Если дифференциальное уравнение будет
\[
\frac{d x}{d t}=X(x),
\]
то мы, очевидно, будем иметь равновесие для корней уравнения $X=0$, в то время как для всех остальных движений будем иметь либо асимптотическое приближение к одному из положений равновесия, либо безграничное увеличение $|x|$. Здесь положения равновесия играют центральную роль.
В следующем по простоте случае имеется система двух уравнений первого порядка. Тут геометрические методы Пуанкаре ${ }^{1}$ дают качественные характеристики всех возможных движений, и оказывается, что положения равновесия и периодические движения и в этом случае играют центральную роль. Следующий параграф будет посвящен примеру такого движения.
Если, однако, мы ограничимся рассмотрением системы двух уравнений гамильтонова или пфаффова типа (что соответствует одной степени свободы), то такие системы имеют интеграл энергии. Мы предполагаем здесь, что время $t$ не входит в явном виде в уравнения; случай, когда уравнения содержат время, нужно в сущности рассматривать как имеющий ту же степень общности, что и случай двух степеней свободы. Если мы теперь будем считать переменные $p, q$ координатами точ-
${ }^{1} \mathrm{Cm}$. его статью «Sur les courbes définies par une équation différentielle», Journal de Mathématiques, ser. 3, vol. 7, 1881, vol. 8, 1882, ser. 4, vol. 1, 1885, vol. 2, 1886.
ки на плоскости ${ }^{1}$, то через каждую точку проходит одна и только одна кривая движения, и эти кривые могут только быть либо замкнутыми, либо уходящими в бесконечность обоими своими концами. Соответствующие этим двум случаям семейства – семейства периодических движений и неустойчивых движений – составляют множества всех возможных движений системы, за исключением только того, что некоторые из этих кривых могут заключать одну или несколько точек равновесия, в каковом случае мы будем иметь асимптотическое приближение к такой точке в одном или обоих направлениях.
В случае динамических систем более сложного типа неясно: играют ли периодические движения столь же важную роль. Для динамических систем с двумя степенями свободы (рассматриваемых в следующей главе) можно сказать, однако, с почти полной уверенностью, что периодические движения продолжают и тут играть основную роль. В более сложных случаях – для систем с еще бо́льшим числом степеней свободы – рекуррентные движения, которые мы рассмотрим в главе 7 , быть может, следует рассматривать как надлежащее обобщение периодических движений, и, таким образом, эти движения могут приобрести большое теоретическое значение.
