Рассмотрим динамическую систему с одной степенью свободы. Уравнения движения в канонической гамильтоновой форме будут иметь вид:
$$\frac{dp}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial q},\frac{dq}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p},$$

где $H=H(p,q)$ есть функция от $p$ и $q$. Из условия постоянства энергии $H(p,q)$ решение системы может быть получено посредством одной квадратуры. Следовательно, этот случай не представляет никакого особого интереса.

В случае двух степеней свободы предположим, что уравнения движения даны в гамильтоновой форме
$$\frac{d{p}_i}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial q_i},\frac{d{q}_i}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p_i}(i=1,2),$$

где $H=H(p_1,q_1,p_2,q_2)$. Будем рассматривать $p_1,q_1,p_2,q_2$ как координаты точки в четырехмерном пространстве. В окрестности периодического движения, соответствующего некоторому значению интеграла энергии, точки ( $p_1,q_1,p_2,q_2$ ), соответствующие тому же значению интеграла энергии, заполняют трехмерный тор. Как известно, задача может быть здесь сведена к случаю обобщенной гамильтоновой системы с одной степенью свободы, а именно:
$$\frac{dp}{d\tau }=-\frac{\partial H}{\partial q},\frac{dq}{d\tau }=\frac{\partial H}{\partial p},$$

где $H=H(p,q,\tau )$, причем $\tau$ — угловая переменная периода $2\pi$, измеряющая расстояние между двумя точками вдоль трехмерного тора. Данное периодическое движение можно считать соответствующим значениям $p=q=0$.
Мы можем представить эту систему в следующем виде:
$$\frac{dp}{d\tau }=P,\frac{dq}{d\tau }=Q,\frac{dr}{d\tau }=R=1,$$
1 Лекция, прочитанная автором 8 июня 1928 г. на заседании математического семинара университета в Сегеде.

где
$$P=-\frac{\partial H}{\partial q},Q=\frac{\partial H}{\partial p},$$

причем и $P$ и $Q$ переменная $\tau$ должна быть заменена на $r$.
Будем рассматривать $p,q,r$ как прямоугольные координаты точки в трехмерном пространстве.

Предыдущие уравнения определяют направление линии тока в любой точке пространства. Движения динамической системы изображаются линиями тока трехмерной жидкости, находящейся в стационарном движении.

Рассмотрим плоскости $r=0$ и $r=2\pi$. Две точки этих плоскостей, имеющие одинаковые координаты $p$ и $q$, мы будем считать совпадающими; они соответствуют одному и тому же состоянию движения, вследствие периодичности переменной $\tau$.

Возьмем в плоскости $r=0$ точку $P$ с координатами $(p,q)$ и проследим линию тока, исходящую из $P$ до точки $P_1$ с координатами $(p_1,q_1)$, лежащей в плоскости $r=2\pi$. Соотнося таким образом каждой точке $P$ соответствующую точку $P_1$, мы получаем преобразование $T$ плоскости $(p,q)$ в самое себя. Для этого преобразования начало координат является инвариантной точкой.

Преобразование $T$ обладает двумя важными свойствами. Вопервых, функции $P,Q,R$ удовлетворяют соотношению
$$\frac{\partial P}{\partial p}+\frac{\partial Q}{\partial q}+\frac{\partial R}{\partial r}=0.$$

Это означает, что поток, для которого $P,Q,R$ суть составляющие скорости, является потоком несжимаемой жидкости.

Во-вторых, если мы рассмотрим маленькую замкнутую кривую в плоскости $r=0$ и цилиндр высоты $h$, ограниченный линиями потока, проходящими через точки этой кривой, и плоскостями $r=0$ и $r=h$, то через промежуток времени $2\pi$ этот цилиндр перейдет в подобный же цилиндр высоты $h$ с площадью основания ${\sigma }_1$, равной площади, ограниченной первоначальной кривой. Это есть следствие несжимаемости. Другими словами, преобразование $T$ сохраняет площади. Следовательно, якобиан
$$J\left(\begin{array}{ll}{p}_1& q_1\\ p& q\end{array}\right)$$

равен единице.
Таким образом, динамической задаче соответствует некоторое сохраняющее площади преобразование $T$ плоскости $(p,q)$ в самое себя, имеющее инвариантную точку в начале координат. Каждому важному свойству динамической системы, касающемуся движений вблизи данного периодического движения, соответствует некоторое свойство преобразования $T$.

Если $H$ является аналитической функцией от $p,q,\tau$, то $p_1,q_1$ будут аналитическими в $p,q$. Подобным же образом, если $H$ непрерывно вместе со всеми своими частными производными любого порядка, то $p_1,q_1$ будут иметь непрерывные частные производные любого порядка по $p,q$.

Теперь возникает интересный вопрос о том, существует ли обратно динамическая задача рассматриваемого типа для каждого такого преобразования $T$. В связи с этим мы докажем следующую теорему.
Если равенства
$$p_1=\phi (p,q),q_1=\psi (p,q)$$

определяют сохраняющее площади преобразование $T$ плоскости $(p,q)$ в самое себя и если функции $\phi ,\psi$ и все их частные производные любого порядка непрерывны, причем начало координат является инвариантной точкой преобразования $T$, то существует соответственная динамическая система (1), такая, что функция $H$ непрерывна вместе со всеми своими частными производными любого порядка по $p,q,\tau$ и при этом является периодической функцией $\tau$ периода $2\pi$.

Было бы чрезвычайно интересно доказать подобную же теорему для аналитических функций.

В окрестности начала координат преобразование $T$, переводящее $(p,q)$ в $(p_1,q_1)$, является существенно( ${}^1)$ аффинным преобразованием с определителем единица. Соответствующее линейное преобразование может быть получено посредством одно-однозначной аналитической деформации (вращения или растяжения), переводящей каждую точку $(p,q)$ в ее образ $({\overline{p}}_1,{\overline{q}}_1)$ при изменении параметра $r$ от 0 до $2\pi \left({}^2\right)$. На эту деформацию может быть наложено очень малое смещение с составляющими
$$\frac{r}{2\pi }(p_1-{\overline{p}}_1),\frac{r}{2\pi }(q_1-{\overline{q}}_1)\cdot \left({}^3\right)$$

Получающееся преобразование зависит от параметра $r$, оставляет на месте начало координат, одно-однозначно преобразует окрестность последнего в самое себя и переводит точку $(p,q)$ в точку $(p_1,q_1)$, когда $r$ возрастает от 0 до $2\pi$.

При изменении $r$ от 0 до $2\pi$ точки ( $p,q,r$ ) описывают дуги кривых, соединяющие $(p,q,0)$ с $(p_1,q_1,2\pi )$ таким образом, что $r$ на них возрастает и что вся окрестность оси $r$ для $0⩽r⩽2\pi$ заполнена этими кривыми одно-однозначным образом. Если мы присоединим к этим дугам все дуги, получаемые при параллельном переносе пространства на расстояние $2k\pi$ ( $k=\pm 1,\pm 2,\dots )$ в направлении оси $r$, то все пространство $(p,q,r)$ в окрестности оси $r$ будет заполнено кривыми, состоящими из таких дуг. Уравнения этих кривых имеют вид:
$$p=f(r),q=g(r),$$

где $f$ и $g$ непрерывны вместе со всеми своими производными во всех точках, за исключением точек плоскостей $r=0,\pm 2\pi ,\dots$, где производные могут совершать конечные скачки.

Произведем теперь деформацию области $0⩽r⩽2\pi$ пространства $(p,q,r)$ в направлении оси $r$ по формуле:
$$r=k_0{\int }_0^{\rho }{e}^{\frac{1}{\rho (\rho -2\pi )}}d\rho ,$$

где постоянная $k_0$ выбрана так, чтобы при $\rho =2\pi ,r$ также равнялось бы $2\pi$. Очевидно, что $r$ определяется как функция от $\rho$, непрерывная вместе со всеми своими производными при $0⩽\rho ⩽2\pi$, причем при $\rho =0$ и $\rho =2\pi$ все эти производные обращаются в нуль.

Если мы произведем эту деформацию области $0⩽r⩽2\pi$ пространства $(p,q,r)$ одновременно с такими же деформациями областей
$$2k\pi ⩽r⩽2(k+1)\pi (k=\pm 1,\pm 2,\dots ),$$

то мы получим преобразованную систему кривых, для которых соответственные функции $f$ и $g$ будут уже всюду непрерывными вместе со всеми своими производными.

Пусть теперь каждая точка $P$ движется вдоль своей кривой с составляющей скорости по оси $r$, равной единице. Любая площадка $\sigma$ на плоскости $r=0$ переходит при этом в площадку ${\sigma }_0$ на плоскости $r=r_0$. Мы имеем здесь
$${\iint }_{\sigma }dpdq={\iint }_{{\sigma }_0}Jdpdq,$$

где $J$ означает соответствующий якобиан. Отсюда, очевидно, следует, что тройной интеграл
$$\iiint J(p,q,r)dpdqdr$$

инвариантен. Здесь функция $J$ не только непрерывна вместе со своими производными, но и периодична относительно $r$ с периодом $2\pi$, так как по предложению $J(p,q,2\pi )=1$.

Определим теперь деформацию пространства $(p,q,r)$ в направлении оси $q$ равенством
$$\overline{q}={\int }_0^{q}J(p,q,r)dq.$$

Это преобразование, очевидно, периодично в желательном смысле и оставляет на своих местах точки плоскостей $r=2k\pi (k=0,\pm 1,\pm 2,\dots )$. В новых переменных инвариантный интеграл запишется просто как обычный объемный интеграл $\iiint dpdqdr$.
Соответствующие дифференциальные уравнения имеют вид:
$$\frac{dp}{d\tau }=P,\frac{dq}{d\tau }=Q,\frac{dr}{d\tau }=1,$$

где $P,Q$ суть функции от $p,q,r$, непрерывные вместе со всеми своими производными любого порядка и периодические с периодом $2\pi$ относительно $r$. Так как объем инвариантен, то мы имеем
$$\frac{\partial P}{\partial p}+\frac{\partial Q}{\partial q}=0.$$

Но эго означает, что существует функция $H$ того же типа, для которой
$$P=-\frac{\partial H}{\partial q},Q=\frac{\partial H}{\partial p}.$$

Другими словами, данное преобразование, сохраняющее площади, соответствует динамической задаче рассматриваемого типа.

Это замечание показывает, что в случае преобразования, рассматриваемого Пуанкаре в его последней геометрической теореме, свойство сохранять площади действительно является характерным для этого преобразования. Оно показывает также, как динамическая задача может приводить скорее к рассмотрению преобразования вблизи инвариантной точки или вблизи замкнутой инвариантной кривой, в которую такая точка может быть растянута, чем к преобразованию, определенному во всем кольце, как требуется в теореме Пуанкаре. По этой именно причине я видоизменил теорему Пуанкаре, распространив ее на преобразования этого более общего типа, которые представляются более пригодными для многих динамических приложений. Действительно, более подробное рассмотрение этих приложений показывает, что для многих целей видоизмененная теорема Пуанкаре достаточна, если только аналитические детали исследованы ${}^1$.
${}^1$ См. главу VI моей книги «Динамические системы».

С точки зрения топологии трансляционную теорему Браувера о преобразованиях плоскости можно рассматривать как трактующую вопрос о топологических отображениях сферы с одной единственной инвариантной точкой. Аналогичным образом надлежащее обобщение теоремы Пуанкаре ${}^1$ бросает свет на морфологию любого такого преобразования с двумя инвариантными точками. Важный новый метод исследования, изобретенный Керекьярто $\left({}^4\right)$, как кажется, дает возможность рассматривать эти и другие подобные вопросы на общей основе.
${}^1$ См. мою статью «Обобщение последней геометрической теоремы Пуанкаре» в Acta mathematica, 47, 1925, 297. (См. перевод статьи в этой книге. — Ред.)