Так как вариационные принципы играют большую роль в динамической теории, интересно выяснить их истинное значение для динамики. Иными словами: какими специальными свойствами обладают уравнения Лагранжа, Гамильтона и Пфаффа, получающиеся из соответствующих вариационных принципов, рассмотренных выше?

Все эти типы уравнений можно рассматривать как системы $n=2 m$ уравнений первого порядка, если в уравнениях Лагранжа мы введем новые переменные $r_{i}=q_{i}^{\prime}$.

Заметим прежде всего, что пока мы будем рассматривать эти уравнения в окрестности какой-нибудь точки соответствующего $n$-мерного пространства, не являющейся точкой равновесия системы, нельзя будет найти никаких специальных характеристик для этих типов уравнений.

В самом деле, если мы возьмем какую-нибудь динамическую систему, определенную $n$ уравнениями:
\[
\frac{d x_{i}}{d t}=X_{i}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \quad(i=1, \ldots, n),
\]

то она перейдет в систему того же вида при любом преобразовании переменных
\[
x_{i}=\varphi_{i}\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right) \quad(i=1, \ldots, n)
\]

при известных условиях. Две такого рода системы будут, естественно, называться «эквивалентными», если можно перейти от одной из них к другой посредством допустимого преобразования переменных указанного типа. Если мы сосредоточим наше внимание на окрестности какой-либо точки $x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}$, в которой не все $X_{i}$, обращаются в нуль, так что она не есть точка равновесия системы, то такая система будет эквивалентна любой другой подобной системе, так что мы сможем перейти к уравнениям:
\[
\frac{d y_{1}}{d t}=1, \quad \frac{d y_{i}}{d t}=0 \quad(i=2, \ldots, n) .
\]

Это легко можно показать следующим образом. Представим себе, что данная система дифференциальных уравнений определяет стационарное течение жидкости в пространстве с координатами $x_{1}, \ldots, x_{n}$, так что кривые движения жидкости даются решениями $x_{i}=x_{i}(t)$ $(i=1, \ldots, n)$. Эти кривые, имеющие в каждой точке определенное направление, с направляющими косинусами, пропорциональными $X_{1}, \ldots, X_{n}$ могут быть деформированы в прямые линии
\[
y_{1}=t_{1}, \quad y_{2}=c_{2}, \ldots, \quad y_{n}=c_{n}
\]

пространства с координатами $y_{1}, \ldots, y_{n}$ посредством одно-однозначного аналитического преобразования. Следовательно, преобразованные уравнения имеют общее решение:
\[
y_{1}=t+c_{1}, \quad y_{2}=c_{2}, \ldots, \quad y_{n}=c_{n},
\]

откуда тотчас же следует, что эти уравнения имеют требуемый нормальный вид:
\[
\frac{d y_{1}}{d t}=1, \quad \frac{d y_{2}}{d t}=\ldots=\frac{d y_{n}}{d t}=0 .
\]

Следовательно, в окрестности точки, не являющейся точкой равновесия, нет никакой существенной разницы между уравнениями, выведенными из вариационного принципа, и самым общим видом дифференциальных уравнений.

В следующей главе мы увидим, что вариационные принципы имеют большое значение в вопросах, связанных с формальной устойчивостью динамических систем вблизи точки равновесия, или периодического движения. И можно даже сказать, что в этом состоит их главное значение для динамики. Здесь надлежит сделать еще одно интересное замечание относительно вариационных принципов. Предположим, что мы исходим из $n$ произвольных уравнений вида
\[
\frac{d x_{i}}{d t}=X_{i}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, t\right) \quad(i=1, \ldots, n) .
\]

Уравнения вариации будут:
\[
\frac{d y_{i}}{d t}=\sum_{j=1}^{n} \frac{\partial X_{i}}{\partial x_{j}} y_{j} \quad(i=1, \ldots, n)
\]

Они могут быть проинтегрированы, если мы знаем общий интеграл уравнений (11):
\[
x_{i}=f_{i}\left(t, c_{1}, \ldots, c_{n}\right) \quad(i=1, \ldots, n) .
\]

Решение уравнений вариации будет:
\[
y_{i}=k_{1} \frac{\partial f_{i}}{\partial c_{1}}+\cdots+k_{n} \frac{\partial f_{i}}{\partial c_{n}} \quad(i=1, \ldots, n) .
\]

где $k_{1}, \ldots, k_{n}$ – произвольные постоянные.
Соответственно этому система уравнений, сопряженная с уравнениями вариации,
\[
\frac{d z_{i}}{d t}=-\sum_{j=1}^{n} \frac{\partial X_{j}}{\partial x_{i}} z_{j} \quad(i=1, \ldots, n)
\]

имеет интегралы
\[
\frac{\partial f_{1}}{\partial c_{i}} z_{1}+\cdots+\frac{\partial f_{n}}{\partial c_{i}} z_{n}=k_{i} \quad(i=1, \ldots, n) .
\]

Следовательно, данную систему (11) дифференциальных уравнений первого порядка можно назвать «эквивалентной» расширенной системе (11), (12) тоже первого порядка с $2 n$ переменными $x_{1}, \ldots, x_{n}$, $z_{1}, \ldots, z_{n}$, так как решение одной из этих систем дает решение другой. Но расширенная система (11), (12) есть система Гамильтона с сопряженными переменными $x_{i}, z_{i}$ и с главной функцией, равной
\[
H=-\sum_{j=1}^{m} X_{j} z_{j}
\]

в чем мы можем убедиться непосредственно.
Эти замечания должны показать нам, с какой осторожностью следует подходить к вопросу об истинном значении вариационных принципов в динамике.