Если
$$p_i={\phi }_i(t),q_i={\psi }_i(t)(i=1,\dots ,m)$$

есть периодическое движение периода $\tau$ и если мы положим
$$p_i={\phi }_i+{\overline{p}}_i,q_i={\psi }_i+{\overline{q}}_i(i=1,\dots ,m),$$

то дифференциальные уравнения в новых переменных будут гамильтоновыми уравнениями с главной функцией $\overline{H}$, равной
$$\overline{H}=H+\sum _{j=1}^m({\phi }_j^{\prime }{\overline{q}}_j-{\psi }_j^{\prime }{\overline{p}}_j)$$
${}^1$ Cм. Whittaker, Analytical Dynamics, гл 16.

где штрих обозначает производную. Это преобразование может быть представлено как контактное преобразование
$$p_i=\frac{\partial K}{\partial q_i},{\overline{q}}_i=\frac{\partial K}{\partial {\overline{p}}_i}(i=1,\dots ,m),$$

где
$$K=\sum _{j=1}^m({\overline{p}}_j{q}_j+{\phi }_j{q}_j-{\psi }_j{\overline{p}}_j).$$

В этих новых переменных $H$ будет функцией от ${\overline{p}}_1,\dots ,{\overline{q}}_m$ и $t$ периодической (с периодом $\tau$ ) относительно последней переменной, причем решением, соответствующим данному периодическому движению $p_i={\phi }_i,q_i={\psi }_i$, будет ${\overline{p}}_i={\overline{q}}_i=0(i=1,\dots ,m)$. Таким образом, по крайней мере в формальном смысле (см. главу IV, $\mathrm{\S }1$ ) наша проблема приводится к проблеме обобщенного равновесия.

Наша цель показать, в этом параграфе, что для такой проблемы обобщенного равновесия возможно приведение уравнений к некоторому нормальному виду, совершенно аналогичное проделанному выше приведению для случая обыкновенного равновесия.

Мы ограничимся здесь тем, что укажем на все те изменения в рассуждениях, которые требует эта более общая задача.

Первое различие, на которое мы обратим внимание, заключается в том очевидном обстоятельстве, что в уравнениях вариации вместо постоянных $a_{ij},b_{ij},c_{ij}$ появляются периодические функции от $t$ с периодом $\tau$. Второе различие состоит в том, что постоянные $C_{ij},D_{ij}$, появляющиеся в решениях этих уравнений, тоже должны быть заменены периодическими функциями $t$.

Все эти изменения, однако, нисколько не влияют на рассуждение, доказывающее, что множители разбиваются на $m$ пар
$${\lambda }_1,-{\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_m,-{\lambda }_m,$$

где ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_m$ — вещественные или чисто мнимые количества $\left({}^{13}\right)$.
Точка равновесия общего типа может быть и здесь определена как такая, для которой между $m+1$ количествами ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_m,2\pi \sqrt{-1}/\tau$ нет никакого линейного соотношения с целыми коэффициентами (14).

В соответственных линейных преобразованиях $d_{ij},e_{ij},f_{ij},g_{ij}-$ периодические функции от $t$ с периодом $\tau$. Такими же функциями являются количества $K_{ij},L_{ij},M_{ij},N_{ij},R_{ij},S_{ij},T_{ij}$ в вариационных формулах. Определяя вид этих функций, как мы это делали выше, мы получим условия вида:
$$-{\lambda }_k(K_{ki}-K_{ik})+\frac{d{K}_{ki}}{dt}+2R_{ik}=0.$$

Если мы переменим местами $i$ и $k$ в этой формуле и вычтем из одной формулы другую, то получим:
$$\frac{d}{dt}(K_{ki}-K_{ik})-({\lambda }_k+{\lambda }_i)(K_{ki}-K_{ik})=0.$$

Это дифференциальное уравнение относительно ( $K_{ki}-K_{ik}$ ) не имеет отличных от нуля периодических решений периода $\tau$, благодаря условию, наложенному на ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_m$. Отсюда мы заключаем, как прежде, что $K_{ki}$ и $K_{ik}$ равны между собою, а $2R_{ik}=-\frac{d{K}_{ki}}{dt}$.
Но в этом случае выражение
$$\sum _{j,k=1}^m{K}_{jk}{p}_j{p}_k^{\prime }$$

можно превратить в полную производную, прибавив к нему
$$\frac{1}{2}\sum _{j,k=1}^m\frac{d{K}_{jk}}{dt}{p}_j{p}_k,$$

причем это же выражение мы можем прибавить к $H$. Таким образом, очевидно, что мы можем принять
$$K_{ij}=N_{ij}=R_{ij}=T_{ij}=0$$

подобно тому, как прежде. Подобными небольшими изменениями предыдущих рассуждений можно показать, что это линейное преобразование приведет к такому же нормальному виду для $H_2$ в проблеме обобщенного равновесия, как и в проблеме обыкновенного равновесия.

Для того, чтобы сделать очевидным, что мы можем совершить преобразование $H_3,H_4,\dots$ совершенно аналогично тому, как мы делали в случае точки обыкновенного равновесия, рассмотрим новое $H_3$, получаемое в результате преобразования
$$p_i={\overline{p}}_i+\frac{\partial K_3}{\partial q_i},{\overline{q}}_i=q_i+\frac{\partial K_3}{\partial {\overline{p}}_i}(i=1,\dots ,m),$$

где $K_3$ — однородный полином третьей степени относительно ${\overline{p}}_i,q_i$ $(i=1,\dots ,m)$, коэффициенты которого суть периодические функции $t$ с периодом $\tau$. Новый вид $H_3$ будет:
$$\frac{\partial K_3{}^{\ast }}{\partial t}+\sum _{j=1}^m{\lambda }_j(q_j\frac{\partial K_3{}^{\ast }}{\partial q_j}-p_j\frac{\partial K_3{}^{\ast }}{\partial p_j})+H_3(p_1,\dots ,q_m).$$

Рассматривая члены
$$c(t)p_1^{{\alpha }_1}\dots q_m^{{\beta }_m},h(t)p_1^{{\alpha }_1}\dots q_m^{{\beta }_m}({\alpha }_1+\dots +{\beta }_m=3)$$
$K_3{}^{\ast }$ и $H_3$ соответственно и стремясь уничтожить подобный член в новом $H_3$, мы придем к уравнению:
$$\frac{dc}{dt}+c[{\lambda }_1({\beta }_1-{\alpha }_1)+\dots +{\lambda }_m({\beta }_m-{\alpha }_m)]+h=0.$$

Это обыкновенное неоднородное линейное уравнение первого порядка имеет одно и только одно периодическое решение периода $\tau$, так как коэффициент при $c$ несоизмерим с $\frac{2\pi \sqrt{-1}}{\tau }\left({}^{15}\right)$ в силу условия, наложенного на ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_m$. Таким образом, мы можем уничтожить все $H_3$.

Подобно этому, можно уничтожить все члены $H_4$, за исключением тех, которые могут быть выражены только через произведения $p_i{q}_i(i=1,\dots ,m)$. Коэффициенты же этих последних членов мы можем сделать постоянными числами; действительно, это требование приводит к уравнению вида
$$\frac{dc}{dt}+h(t)=C,$$

где $C$ — произвольная постоянная, выбор которой зависит от нас. Из этой формулы находим для $c$ значение
$$c=\int (C-h(t))dt,$$

которое будет, очевидно, периодическим периода $\tau$, если за $C$ мы выберем среднее значение $h(t)$ в промежутке $(0,\tau )$. Отсюда мы приходим к тому же заключению, что и прежде, а именно:

Посредством такого ряда преобразований переменных в обобщенной гамильтоновой проблеме равновесия гамильтонова функция может быть приведена к такому же нормальному виду, что и для случая обычного равновесия ${}^1$.
${}^1$ Результаты, изложенные в этой главе, были сообщены в моих «Chicago Colloquium» лекциях в 1920 г. До сих пор изложенный материал стоит, очевидно, в тесной связи с предшествовавшими работами. В частности нормальная форма уравнений Гамильтона связана с формальными тригонометрическими рядами в динамике, рассмотренными, например, у Whittaker, Analytical Dynamics, гл. 15.