Если
\[
p_{i}=\varphi_{i}(t), \quad q_{i}=\psi_{i}(t) \quad(i=1, \ldots, m)
\]

есть периодическое движение периода $\tau$ и если мы положим
\[
p_{i}=\varphi_{i}+\bar{p}_{i}, \quad q_{i}=\psi_{i}+\bar{q}_{i} \quad(i=1, \ldots, m),
\]

то дифференциальные уравнения в новых переменных будут гамильтоновыми уравнениями с главной функцией $\bar{H}$, равной
\[
\bar{H}=H+\sum_{j=1}^{m}\left(\varphi_{j}^{\prime} \bar{q}_{j}-\psi_{j}^{\prime} \bar{p}_{j}\right)
\]
${ }^{1}$ Cм. Whittaker, Analytical Dynamics, гл 16.

где штрих обозначает производную. Это преобразование может быть представлено как контактное преобразование
\[
p_{i}=\frac{\partial K}{\partial q_{i}}, \quad \bar{q}_{i}=\frac{\partial K}{\partial \bar{p}_{i}} \quad(i=1, \ldots, m),
\]

где
\[
K=\sum_{j=1}^{m}\left(\bar{p}_{j} q_{j}+\varphi_{j} q_{j}-\psi_{j} \bar{p}_{j}\right) .
\]

В этих новых переменных $H$ будет функцией от $\bar{p}_{1}, \ldots, \bar{q}_{m}$ и $t$ периодической (с периодом $\tau$ ) относительно последней переменной, причем решением, соответствующим данному периодическому движению $p_{i}=\varphi_{i}, q_{i}=\psi_{i}$, будет $\bar{p}_{i}=\bar{q}_{i}=0(i=1, \ldots, m)$. Таким образом, по крайней мере в формальном смысле (см. главу IV, $\S 1$ ) наша проблема приводится к проблеме обобщенного равновесия.

Наша цель показать, в этом параграфе, что для такой проблемы обобщенного равновесия возможно приведение уравнений к некоторому нормальному виду, совершенно аналогичное проделанному выше приведению для случая обыкновенного равновесия.

Мы ограничимся здесь тем, что укажем на все те изменения в рассуждениях, которые требует эта более общая задача.

Первое различие, на которое мы обратим внимание, заключается в том очевидном обстоятельстве, что в уравнениях вариации вместо постоянных $a_{i j}, b_{i j}, c_{i j}$ появляются периодические функции от $t$ с периодом $\tau$. Второе различие состоит в том, что постоянные $C_{i j}, D_{i j}$, появляющиеся в решениях этих уравнений, тоже должны быть заменены периодическими функциями $t$.

Все эти изменения, однако, нисколько не влияют на рассуждение, доказывающее, что множители разбиваются на $m$ пар
\[
\lambda_{1},-\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{m},-\lambda_{m},
\]

где $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{m}$ – вещественные или чисто мнимые количества $\left({ }^{13}\right)$.
Точка равновесия общего типа может быть и здесь определена как такая, для которой между $m+1$ количествами $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{m}, 2 \pi \sqrt{-1} / \tau$ нет никакого линейного соотношения с целыми коэффициентами (14).

В соответственных линейных преобразованиях $d_{i j}, e_{i j}, f_{i j}, g_{i j}-$ периодические функции от $t$ с периодом $\tau$. Такими же функциями являются количества $K_{i j}, L_{i j}, M_{i j}, N_{i j}, R_{i j}, S_{i j}, T_{i j}$ в вариационных формулах. Определяя вид этих функций, как мы это делали выше, мы получим условия вида:
\[
-\lambda_{k}\left(K_{k i}-K_{i k}\right)+\frac{d K_{k i}}{d t}+2 R_{i k}=0 .
\]

Если мы переменим местами $i$ и $k$ в этой формуле и вычтем из одной формулы другую, то получим:
\[
\frac{d}{d t}\left(K_{k i}-K_{i k}\right)-\left(\lambda_{k}+\lambda_{i}\right)\left(K_{k i}-K_{i k}\right)=0 .
\]

Это дифференциальное уравнение относительно ( $K_{k i}-K_{i k}$ ) не имеет отличных от нуля периодических решений периода $\tau$, благодаря условию, наложенному на $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{m}$. Отсюда мы заключаем, как прежде, что $K_{k i}$ и $K_{i k}$ равны между собою, а $2 R_{i k}=-\frac{d K_{k i}}{d t}$.
Но в этом случае выражение
\[
\sum_{j, k=1}^{m} K_{j k} p_{j} p_{k}^{\prime}
\]

можно превратить в полную производную, прибавив к нему
\[
\frac{1}{2} \sum_{j, k=1}^{m} \frac{d K_{j k}}{d t} p_{j} p_{k},
\]

причем это же выражение мы можем прибавить к $H$. Таким образом, очевидно, что мы можем принять
\[
K_{i j}=N_{i j}=R_{i j}=T_{i j}=0
\]

подобно тому, как прежде. Подобными небольшими изменениями предыдущих рассуждений можно показать, что это линейное преобразование приведет к такому же нормальному виду для $H_{2}$ в проблеме обобщенного равновесия, как и в проблеме обыкновенного равновесия.

Для того, чтобы сделать очевидным, что мы можем совершить преобразование $H_{3}, H_{4}, \ldots$ совершенно аналогично тому, как мы делали в случае точки обыкновенного равновесия, рассмотрим новое $H_{3}$, получаемое в результате преобразования
\[
p_{i}=\bar{p}_{i}+\frac{\partial K_{3}}{\partial q_{i}}, \quad \bar{q}_{i}=q_{i}+\frac{\partial K_{3}}{\partial \bar{p}_{i}} \quad(i=1, \ldots, m),
\]

где $K_{3}$ – однородный полином третьей степени относительно $\bar{p}_{i}, q_{i}$ $(i=1, \ldots, m)$, коэффициенты которого суть периодические функции $t$ с периодом $\tau$. Новый вид $H_{3}$ будет:
\[
\frac{\partial K_{3}{ }^{*}}{\partial t}+\sum_{j=1}^{m} \lambda_{j}\left(q_{j} \frac{\partial K_{3}{ }^{*}}{\partial q_{j}}-p_{j} \frac{\partial K_{3}{ }^{*}}{\partial p_{j}}\right)+H_{3}\left(p_{1}, \ldots, q_{m}\right) .
\]

Рассматривая члены
\[
c(t) p_{1}^{\alpha_{1}} \ldots q_{m}^{\beta_{m}}, \quad h(t) p_{1}^{\alpha_{1}} \ldots q_{m}^{\beta_{m}} \quad\left(\alpha_{1}+\ldots+\beta_{m}=3\right)
\]
$K_{3}{ }^{*}$ и $H_{3}$ соответственно и стремясь уничтожить подобный член в новом $H_{3}$, мы придем к уравнению:
\[
\frac{d c}{d t}+c\left[\lambda_{1}\left(\beta_{1}-\alpha_{1}\right)+\ldots+\lambda_{m}\left(\beta_{m}-\alpha_{m}\right)\right]+h=0 .
\]

Это обыкновенное неоднородное линейное уравнение первого порядка имеет одно и только одно периодическое решение периода $\tau$, так как коэффициент при $c$ несоизмерим с $\frac{2 \pi \sqrt{-1}}{\tau}\left({ }^{15}\right)$ в силу условия, наложенного на $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{m}$. Таким образом, мы можем уничтожить все $H_{3}$.

Подобно этому, можно уничтожить все члены $H_{4}$, за исключением тех, которые могут быть выражены только через произведения $p_{i} q_{i}(i=1, \ldots, m)$. Коэффициенты же этих последних членов мы можем сделать постоянными числами; действительно, это требование приводит к уравнению вида
\[
\frac{d c}{d t}+h(t)=C,
\]

где $C$ – произвольная постоянная, выбор которой зависит от нас. Из этой формулы находим для $c$ значение
\[
c=\int(C-h(t)) d t,
\]

которое будет, очевидно, периодическим периода $\tau$, если за $C$ мы выберем среднее значение $h(t)$ в промежутке $(0, \tau)$. Отсюда мы приходим к тому же заключению, что и прежде, а именно:

Посредством такого ряда преобразований переменных в обобщенной гамильтоновой проблеме равновесия гамильтонова функция может быть приведена к такому же нормальному виду, что и для случая обычного равновесия ${ }^{1}$.
${ }^{1}$ Результаты, изложенные в этой главе, были сообщены в моих «Chicago Colloquium» лекциях в 1920 г. До сих пор изложенный материал стоит, очевидно, в тесной связи с предшествовавшими работами. В частности нормальная форма уравнений Гамильтона связана с формальными тригонометрическими рядами в динамике, рассмотренными, например, у Whittaker, Analytical Dynamics, гл. 15.