Проблема трех тел отличается от проблем несингулярного типа, которые мы рассматривали раньше, тем, что для нее многообразие состояний движения не замкнуто. Особенности на границе не могут быть уничтожены никакими аналитическими ухищрениями. В самом деле, рассмотрим «частицу» в окрестности состояния тройного соударения при $t=0$. Очевидно, что эта частица стремится к границе $M_{7}$, так как мы имеем в этом случае $\lim R=\infty$, согласно полученным выше результатам (§8). Полутрубчатая область, образованная этой частицей при ее движении, переходит, следовательно, при своем движении в свою собственную часть и должна была бы соответствовать бесконечному значению инвариантного семимерного объемного интеграла. Такое положение не может возникнуть, когда многообразие состояний движения замкнуто и не имеет особенностей.

Мы можем сказать еще точнее, что линии потока, соответствующие движениям, при которых имеется большое приближение к тройному соударению, не только лежат целиком вблизи границы $M_{7}$ и стремятся к ней при безграничном возрастании или убывании $t$, но они заполняют собой три, не имеющие общих точек, области многообразия $M_{7}$, так как при каждом таком движении какое-то одно определенное из трех тел, безгранично удаляется от остальных двух.

Линии потока, соответствующие большому приблщжению к тройному соударению, заполняют, таким образом, три, не имеющих общих точек, связных семимерных множества в многообразии $M_{7}$, соответствующих тому, что любое из тел $P_{0}, P_{1}$ или $P_{2}$ может быть относительно далеко от других двух тел в течение такого движения. Эти области лежат вблизи границы $M_{7}$, и всякал принадлежащая к ним линия потока приближается к этой границе, когда $t$ безгранично возрастает или убывает.

Эти три связные области, разумеется, не определены точно, пока мы не фиксировали степень приближения к тройному соударению.

Естественно ожидать, что в этом случае безграничного удаления два близких тела будут иметь определенную предельную постоянную энергии, ориентацию плоскости движения, эксцентриситет, количество движения и момент количества движения относительно центра тяжести всех трех тел. Во всяком случае эти движения мы можем свободно рассматривать как в значительной мере «известные».

Тут возникает очень интересный вопрос, а именно: заполняют ли движения, для которых $\lim R=\infty$ в одном или в обоих направлениях, многообразие $M_{7}$ всюду плотно или нет? Весьма существенно понять, в чем состоит трудность, присущая этому вопросу. Прямым вычислением, без сомнения, можно всегда установить, принадлежит ли данное движение к одному из этих связных множеств или нет. Разумеется, для $|K|$ малых почти все должно быть заполнено этими множествами, вследствие результатов, полученных нами для случая $K \leqslant 0$. Тем не менее, если в $M_{7}$ имеется хотя бы одно периодическое движение устойчивого типа, невозможно определить, будут ли соседние движения принадлежать к этим множествам, не решая для этого частного случая основной проблемы устойчивости. Мы уже указывали (глава VIII) на чрезвычайную трудность проблемы устойчивости, возникающую как раз вследствие того, что в динамической проблеме, подобной проблеме трех тел, формальная устойчивость первого порядка обеспечивает удовлетворение бесконечного множества других, более тонких условий полной формальной устойчивости. Предыдущий вопрос, однако, может быть поставлен в другой, более наглядной форме, которая, по моему мнению делает весьма вероятным, что движения, для которых $\lim R=\infty$ при $\lim t=+\infty$, всюду плотны в $M_{7}$. То же будет в таком случае справедливо и относительно движений, для которых $\lim R=\infty$ при $\lim t=-\infty$, так как, вследствие обратимости системы дифференциальных уравнений, оба предположения должны быть одновременно справедливы или одновременно ложны.

Мы уже изображали многообразие $M_{7}$ как семимерную жидкость, находящуюся в состоянии стационарного течения. Три типа движений, при которых происходит большое приближение к тройному соударению, соответствуют трем потокам, входящим в $M_{7}$ из бесконечности и возвращающимся затем в бесконечность.

Что же может случиться с какой-нибудь произвольной точкой жидкости? Мне представляется вероятным, что, вообще говоря, такая точка будет двигаться по $M_{7}$, пока она не будет подхвачена одним из этих потоков и унесена в бесконечность. Можно, однако, предвидеть, что окажутся также и такие точки, которые будут находиться в равновесии или двигаться по замкнутым линиям потока и, таким образом, не будут унесены этими тремя потоками. В согласии с результатами главы VII в этом случае должны непременно существовать другие линии потока, которые будут оставаться вблизи данной замкнутой линии потока при возрастании или же при убывании времени. Более обще будут существовать линии потока рекуррентного типа, соответствующие рекуррентным движениям, и различные другие линии потока, которые остаются в окрестности рекуррентных при возрастании или убывании времени. Линии потока, соответствующие этим рекуррентным движениям и упомянутым соседним движениям, не могут, разумеется, приближаться к границе $M_{7}$.

Для того, чтобы найти распределение таких периодических движений, рекуррентных движений и соседних с ними движений, очевидно, необходим был бы тщательный и подробный дальнейший анализ. В заключение мы произведем только очевидную классификацию движений, основанную на функции $R(t)$.

Произвольное движение в проблеме трех тел для случая $f>0, K>0$ принадлежит при возрастании $t$ кдному из следующих четырех типов:
1. $R$ возрастает до $+\infty ;$ в этом случае одно из тел удаляется безгранично от остальных двух, тогда как расстояние между этими последними остается ограниченным.
2. $R$ стремится $\kappa$ некоторой величине $R$, а $U$ стремится $\kappa 2 K$; в этом случае предельное движение будет специального типа, как, например, в лагранжевом решении, когда три тела находятся в вериинах равностороннего треугольника.
3. $R(t)$ ограничено, как в случае (2), но колеблется между двумя значениями, движение в этом случае будет таково, что взаимные расстояния и скорости тел будут ограничены все время, за исключением, быть может, случаев двойных соударений или приближений к таким соударениям, и среди предельных движений будут непременно существовать периодические или другие рекуррентные движения.
4. $R(t)$ колеблется между каким-то положительным значением ниченными, за исключением случаев двойных соударений и приближений $\kappa$ двойным, но не тройным соударениям, а одно тело время от времени удаляется произвольно далеко от остальных двух, близких друг к другу тел с тем, чтобы затем снова к ним приблизиться.

Ту же классификацию можно, разумеется, провести и для случая убываюшего $t$.

Единственное утверждение, нуждающееся здесь в пояснении, состоит в том, что если $R$ стремится к $\bar{R}$, то $U$ приближается к $2 K$. Но можно доказать, что это следует из равенства Лагранжа (15).