Главная > ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ (Д.Бирктоф)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Проблема трех тел отличается от проблем несингулярного типа, которые мы рассматривали раньше, тем, что для нее многообразие состояний движения не замкнуто. Особенности на границе не могут быть уничтожены никакими аналитическими ухищрениями. В самом деле, рассмотрим «частицу» в окрестности состояния тройного соударения при t=0. Очевидно, что эта частица стремится к границе M7, так как мы имеем в этом случае limR=, согласно полученным выше результатам (§8). Полутрубчатая область, образованная этой частицей при ее движении, переходит, следовательно, при своем движении в свою собственную часть и должна была бы соответствовать бесконечному значению инвариантного семимерного объемного интеграла. Такое положение не может возникнуть, когда многообразие состояний движения замкнуто и не имеет особенностей.

Мы можем сказать еще точнее, что линии потока, соответствующие движениям, при которых имеется большое приближение к тройному соударению, не только лежат целиком вблизи границы M7 и стремятся к ней при безграничном возрастании или убывании t, но они заполняют собой три, не имеющие общих точек, области многообразия M7, так как при каждом таком движении какое-то одно определенное из трех тел, безгранично удаляется от остальных двух.

Линии потока, соответствующие большому приблщжению к тройному соударению, заполняют, таким образом, три, не имеющих общих точек, связных семимерных множества в многообразии M7, соответствующих тому, что любое из тел P0,P1 или P2 может быть относительно далеко от других двух тел в течение такого движения. Эти области лежат вблизи границы M7, и всякал принадлежащая к ним линия потока приближается к этой границе, когда t безгранично возрастает или убывает.

Эти три связные области, разумеется, не определены точно, пока мы не фиксировали степень приближения к тройному соударению.

Естественно ожидать, что в этом случае безграничного удаления два близких тела будут иметь определенную предельную постоянную энергии, ориентацию плоскости движения, эксцентриситет, количество движения и момент количества движения относительно центра тяжести всех трех тел. Во всяком случае эти движения мы можем свободно рассматривать как в значительной мере «известные».

Тут возникает очень интересный вопрос, а именно: заполняют ли движения, для которых limR= в одном или в обоих направлениях, многообразие M7 всюду плотно или нет? Весьма существенно понять, в чем состоит трудность, присущая этому вопросу. Прямым вычислением, без сомнения, можно всегда установить, принадлежит ли данное движение к одному из этих связных множеств или нет. Разумеется, для |K| малых почти все должно быть заполнено этими множествами, вследствие результатов, полученных нами для случая K0. Тем не менее, если в M7 имеется хотя бы одно периодическое движение устойчивого типа, невозможно определить, будут ли соседние движения принадлежать к этим множествам, не решая для этого частного случая основной проблемы устойчивости. Мы уже указывали (глава VIII) на чрезвычайную трудность проблемы устойчивости, возникающую как раз вследствие того, что в динамической проблеме, подобной проблеме трех тел, формальная устойчивость первого порядка обеспечивает удовлетворение бесконечного множества других, более тонких условий полной формальной устойчивости. Предыдущий вопрос, однако, может быть поставлен в другой, более наглядной форме, которая, по моему мнению делает весьма вероятным, что движения, для которых limR= при limt=+, всюду плотны в M7. То же будет в таком случае справедливо и относительно движений, для которых limR= при limt=, так как, вследствие обратимости системы дифференциальных уравнений, оба предположения должны быть одновременно справедливы или одновременно ложны.

Мы уже изображали многообразие M7 как семимерную жидкость, находящуюся в состоянии стационарного течения. Три типа движений, при которых происходит большое приближение к тройному соударению, соответствуют трем потокам, входящим в M7 из бесконечности и возвращающимся затем в бесконечность.

Что же может случиться с какой-нибудь произвольной точкой жидкости? Мне представляется вероятным, что, вообще говоря, такая точка будет двигаться по M7, пока она не будет подхвачена одним из этих потоков и унесена в бесконечность. Можно, однако, предвидеть, что окажутся также и такие точки, которые будут находиться в равновесии или двигаться по замкнутым линиям потока и, таким образом, не будут унесены этими тремя потоками. В согласии с результатами главы VII в этом случае должны непременно существовать другие линии потока, которые будут оставаться вблизи данной замкнутой линии потока при возрастании или же при убывании времени. Более обще будут существовать линии потока рекуррентного типа, соответствующие рекуррентным движениям, и различные другие линии потока, которые остаются в окрестности рекуррентных при возрастании или убывании времени. Линии потока, соответствующие этим рекуррентным движениям и упомянутым соседним движениям, не могут, разумеется, приближаться к границе M7.

Для того, чтобы найти распределение таких периодических движений, рекуррентных движений и соседних с ними движений, очевидно, необходим был бы тщательный и подробный дальнейший анализ. В заключение мы произведем только очевидную классификацию движений, основанную на функции R(t).

Произвольное движение в проблеме трех тел для случая f>0,K>0 принадлежит при возрастании t кдному из следующих четырех типов:
1. R возрастает до +; в этом случае одно из тел удаляется безгранично от остальных двух, тогда как расстояние между этими последними остается ограниченным.
2. R стремится κ некоторой величине R, а U стремится κ2K; в этом случае предельное движение будет специального типа, как, например, в лагранжевом решении, когда три тела находятся в вериинах равностороннего треугольника.
3. R(t) ограничено, как в случае (2), но колеблется между двумя значениями, движение в этом случае будет таково, что взаимные расстояния и скорости тел будут ограничены все время, за исключением, быть может, случаев двойных соударений или приближений к таким соударениям, и среди предельных движений будут непременно существовать периодические или другие рекуррентные движения.
4. R(t) колеблется между каким-то положительным значением ниченными, за исключением случаев двойных соударений и приближений κ двойным, но не тройным соударениям, а одно тело время от времени удаляется произвольно далеко от остальных двух, близких друг к другу тел с тем, чтобы затем снова к ним приблизиться.

Ту же классификацию можно, разумеется, провести и для случая убываюшего t.

Единственное утверждение, нуждающееся здесь в пояснении, состоит в том, что если R стремится к R¯, то U приближается к 2K. Но можно доказать, что это следует из равенства Лагранжа (15).

1
Оглавление
email@scask.ru