Мы намерены теперь определить преобразование кольца $T$, связанное с проблемой бильярдного шара, и показать, как геометрическая теорема Пуанкаре в своей первоначальной форме приводит к выведенным в предыдущем параграфе заключениям. Приведение задачи к вопросу о преобразованиях кольца имеет большое значение, даже не принимая во внимание его связь с вопросом о периодических движениях. Нужно отметить также, что в наиболее интересных случаях, как, например, ограниченная задача трех тел, метод приведения к преобразованиям кольца и применения геометрической теоремы Пуанкаре вполне приложим к изучению периодических движений, в то время как метод максимума и минимума до сих пор не мог быть приложен к этим задачам.

Предположим прежде всего, что длина линии $C$ равна $2 \pi$, и будем измерять расстояние вдоль $C$ от некоторой постоянной точки до переменной точки $P$ на этой кривой посредством угловой координаты $\varphi$.

В точке $P$, которую будем считать начальной точкой движения бильярдного шара, обозначим буквой $\vartheta$ угол между положительным направлением касательной в этой точке и направлением движения шара. Переменная $\vartheta$ может, очевидно, изменяться только в пределах между 0 и $\pi$. Эти координаты $\vartheta, \varphi$ представляют однозначным образом все возможные состояния шара в начале движения или после удара. Если мы будем рассматривать $\varphi$ как угловую координату точки на плоскости, а $\vartheta$, увеличенное на постоянную, например, на $\pi$, как радиальную координату этой точки, то совокупность всех возможных значений, $\vartheta, \varphi$ представляется на этой плоскости кольцом, ограниченным окружностями радиусов $\pi$ и $2 \pi$, а именно окружностями $\vartheta=0$ и $\vartheta=\pi$.

Рассмотрим теперь определенное состояние движения шара в точке $P$ с данными координатами $(\vartheta, \varphi)$. Бильярдный шар, выйдя из точки $P$ на $C$, встречается опять с этой кривой в другой точке $P_{1}$ и продолжает двигаться от нее с новыми координатами, скажем $\left(\vartheta_{1}, \varphi_{1}\right)$, и так далее до бесконечности. Если $C$ – аналитическая кривая, как мы предположим, то зависимость между $(\vartheta, \varphi)$ и $\left(\vartheta_{1}, \varphi_{1}\right)$, очевидно, однозначная и аналитическая внутри кольца. Когда $\vartheta$ близко к 0 или к $\pi$, то шар выходит из $P$ под небольшим углом к краю стола и ударяется в него опять в близкой точке с $\vartheta$, снова близким соответственно к нулю или к $\pi$. Следовательно, точки, лежащие на ограничивающих окружностях, соответствуют себе самим с $\varphi_{1}=\varphi, \vartheta_{1}=\vartheta$.

Можно сделать еще одно дальнейшее замечание относительно этого соответствия вдоль обеих границ кольца. Если мы будем рассматривать преобразование кольца, переводящее каждую точку $(\vartheta, \varphi)$ в соответствующую ей $\left(\vartheta_{1}, \varphi_{1}\right)$, то при этом преобразовании $T$ как внутренний, так и внешний круг сделает несколько полных оборотов, ибо, как мы только что видели, точки этих границ являются инвариантными. Мы можем принять, что внутренняя окружность остается неподвижной, но тогда то же не будет верно относительно внешней окружности, которая, как мы сейчас покажем, окажется совершившей один полный оборот в положительном направлении. В самом деле, будем изменять для данной точки $P$ и соответствующего ей постоянного $\varphi$ угол $\vartheta$ от нуля до $\pi$. Очевидно, что в этом случае $\vartheta_{1}$ будет возрастать от 0 до $\pi$, а $\varphi_{1}$ возрастать на $2 \pi$, так как точка $P_{1}$ обойдет, исходя из $P$, полный цикл по кривой $C$ в положительном направлении. Иначе говоря, преобразование $T$ превращает радиальный отрезок, пересекающий кольцо, в кривую, исходящую из той же точки на внутренней окружности, но делающую один полный оборот в кольце, прежде чем закончиться на внешней окружности. Следовательно, при преобразовании $T$ внешняя граница делает один полный оборот.

Предположим теперь, что мы имеем какое-нибудь периодическое движение, например, соответствующее одному из гармонических треугольников, описанных в положительном направлении. Очевидно, что преобразование $T$ переводит состояние движения шара в одной вершине в такое же состояние во второй, состояние во второй вершине в состояние в третьей и, наконец, состояние в третьей вершине – в состояние в первой. Таким образом, при применении преобразования $T$ тройка точек кольца перемещается циклически, и все точки этой тройки инвариантны при применении третьей степени $T^{3}$ этого преобразования. Обратно, любой тройке точек, обладающей этим свойством, или, иначе говоря, любой точке, инвариантной относительно $T^{3}$, вместе с ее образами при преобразованиях $T$ и $T^{2}$ соответствует периодическое движение, принадлежащее некоторому гармоническому треугольнику. В этом случае из соображений, приведенных выше, очевидно, что существуют по крайней мере четыре таких тройки. Очевидно, что $T$ не имеет инвариантных точек, потому что при этом преобразовании $\varphi$ возрастает на величину, большую нуля и меньшую $2 \pi$

Таким путем отыскание гармонических многоугольников и связанных с ними периодических движений в задаче бильярдного шара приводится к определению систем различных точек $P_{1}, \ldots, P_{n}$, перемещаемых циклически при преобразовании $T$, так что $T^{n}\left(P_{i}\right)=P_{i}$. Вообще же говоря, решительно всякое интересное свойство движения бильярдного шара отражается в соответствующем свойстве преобразования $T$. Таким образом, динамическая проблема может быть сведена к задаче некоторого специального преобразования кругового кольца в себя.