Конечной целью теории движения динамической системы должно служить качественное определение всех возможных типов движений и взаимоотношений между этими движениями.

В настоящей главе делается попытка дать изложение подобной теории.

Как мы видели в предыдущих главах, для весьма общего класса динамических систем совокупность всех состояний движения может быть приведена в одно-однозначное соответствие с точками $P$ замкнутого $n$-мерного многообразия $M$ таким образом, что при подходящем выборе координат $x_1,\dots ,x_n$ дифференциальные уравнения движения могут быть написаны в виде
$$\frac{d{x}_i}{dt}=X_i(x_1,\dots ,x_n)(i=1,\dots ,n)$$

в окрестности любой точки многообразия $M_i$, где $X_i$ суть вещественные аналитические функции своих аргументов, а $t$ обозначает время. Движение системы представляется в таком случае кривыми, лежащими в $M$. Через каждую точку $P_0$ многообразия $M$ проходит одна и только одна подобная кривая движения, и положение точки $P$ на этой кривой изменяется, как аналитическая функция, в зависимости от положения $P_0$ и от интервала времени, прошедшего между $P_0$ и $P$. При изменении $t$ каждая точка многообразия $M$ движется по своей кривой движения, и, таким образом, мы получаем постоянный поток многообразия $M$ в самом себе.

Исключая случай, когда $M$ содержит сингулярные точки или область бесконечно удаленной точки, мы ограничимся рассмотрением специального класса динамических систем, а именно системами «несингулярного типа». Большинство теорем, касающихся задач этого типа,
1 § 1-4 взяты прямо из моей статьи «Über gewisse zentrale Bewegungen dynamischer Systeme», Göttinger Nachrichten, 1926. Остальная часть этой главы тесно связана с моими статьями: «Quelques théorèmes sur les mouvements des systèmes dynamiques», Bull. Soc. Math. France, vol. 40 (1912); «Surface Transformations and Their Dynamical Applications», Acta Mathematica, vol. 43, 1922, в особенности $\mathrm{\$}54-57$.

допускает, однако, обобщения на случаи сингулярных систем. Проблема трех тел, рассматриваемая в главе IX, принадлежит к задачам сингулярного типа.

Дифференциальные уравнения классической динамики принадлежат к более специальному классу и в частности обладают инвариантным $n$-мерным интегралом. В результате этого любая малая частица $\sigma$ многообразия $M$, содержащая любую данную точку $P_0$ в некоторый момент времени $t_0$, должна после любого другого момента времени $t_1$ занять положение, частично или полностью покрывающее первоначальное положение, соответствовавшее моменту $t_0$.

Это можно показать следующим образом. Положим $t_1-t_0=\tau$ и рассмотрим положение частицы $\sigma$ в моменты $t_0+\tau ,t_0+2\tau ,\dots$ Эти положения не могут не иметь попарно общих точек; в самом деле, если $v$ обозначает величину инвариантного интеграла, распространенного на частицу $\sigma$ в ее первоначальном положении, то этой же величине будет равен интеграл во всех последующих положениях, и так как его величина на всем многообразии $M$ конечна и равна, скажем, $V$ то взаимно неналегающих среди этих положений может быть не больше, чем $V/v\left({}^1\right)$. Следовательно, какие-то две частицы $i$-я и $j$-я $(i<j)$ налегают друг на друга, иначе говоря, положение частицы $\sigma$ в момент $t_0+i\tau$ налегает на положение той же частицы в момент $t_0+j\tau$. Но в таком случае очевидно, что положение частицы в момент $t_0+(j-i)\tau ⩾t_0+\tau =t_1$ налегает на первоначальное. Посредством этого рассуждения и его естественного обобщения Пуанкаре доказал ${}^1$, что, вообще говоря, движения таких более специальных динамических систем будут возвращаться бесконечно много раз в окрестность своего первоначального состояния и будут обладать родом устойчивости «в смысле Пуассона».

Первая наша задача в этой главе — показать, что с любой динамической системой, не ограниченной подобным образом, всегда связана некоторая замкнутая совокупность так называемых «центральных движений», обладающих этим свойством региональной рекуррентности $\left({}^2\right)$, к которым все другие движения системы, вообще говоря, стремятся асимптотически.