Конечной целью теории движения динамической системы должно служить качественное определение всех возможных типов движений и взаимоотношений между этими движениями.
В настоящей главе делается попытка дать изложение подобной теории.
Как мы видели в предыдущих главах, для весьма общего класса динамических систем совокупность всех состояний движения может быть приведена в одно-однозначное соответствие с точками $P$ замкнутого $n$-мерного многообразия $M$ таким образом, что при подходящем выборе координат $x_{1}, \ldots, x_{n}$ дифференциальные уравнения движения могут быть написаны в виде
\[
\frac{d x_{i}}{d t}=X_{i}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \quad(i=1, \ldots, n)
\]
в окрестности любой точки многообразия $M_{i}$, где $X_{i}$ суть вещественные аналитические функции своих аргументов, а $t$ обозначает время. Движение системы представляется в таком случае кривыми, лежащими в $M$. Через каждую точку $P_{0}$ многообразия $M$ проходит одна и только одна подобная кривая движения, и положение точки $P$ на этой кривой изменяется, как аналитическая функция, в зависимости от положения $P_{0}$ и от интервала времени, прошедшего между $P_{0}$ и $P$. При изменении $t$ каждая точка многообразия $M$ движется по своей кривой движения, и, таким образом, мы получаем постоянный поток многообразия $M$ в самом себе.
Исключая случай, когда $M$ содержит сингулярные точки или область бесконечно удаленной точки, мы ограничимся рассмотрением специального класса динамических систем, а именно системами «несингулярного типа». Большинство теорем, касающихся задач этого типа,
1 § 1-4 взяты прямо из моей статьи «Über gewisse zentrale Bewegungen dynamischer Systeme», Göttinger Nachrichten, 1926. Остальная часть этой главы тесно связана с моими статьями: «Quelques théorèmes sur les mouvements des systèmes dynamiques», Bull. Soc. Math. France, vol. 40 (1912); «Surface Transformations and Their Dynamical Applications», Acta Mathematica, vol. 43, 1922, в особенности $\$ 54-57$.
допускает, однако, обобщения на случаи сингулярных систем. Проблема трех тел, рассматриваемая в главе IX, принадлежит к задачам сингулярного типа.
Дифференциальные уравнения классической динамики принадлежат к более специальному классу и в частности обладают инвариантным $n$-мерным интегралом. В результате этого любая малая частица $\sigma$ многообразия $M$, содержащая любую данную точку $P_{0}$ в некоторый момент времени $t_{0}$, должна после любого другого момента времени $t_{1}$ занять положение, частично или полностью покрывающее первоначальное положение, соответствовавшее моменту $t_{0}$.
Это можно показать следующим образом. Положим $t_{1}-t_{0}=\tau$ и рассмотрим положение частицы $\sigma$ в моменты $t_{0}+\tau, t_{0}+2 \tau, \ldots$ Эти положения не могут не иметь попарно общих точек; в самом деле, если $v$ обозначает величину инвариантного интеграла, распространенного на частицу $\sigma$ в ее первоначальном положении, то этой же величине будет равен интеграл во всех последующих положениях, и так как его величина на всем многообразии $M$ конечна и равна, скажем, $V$ то взаимно неналегающих среди этих положений может быть не больше, чем $V / v\left({ }^{1}\right)$. Следовательно, какие-то две частицы $i$-я и $j$-я $(i<j)$ налегают друг на друга, иначе говоря, положение частицы $\sigma$ в момент $t_{0}+i \tau$ налегает на положение той же частицы в момент $t_{0}+j \tau$. Но в таком случае очевидно, что положение частицы в момент $t_{0}+(j-i) \tau \geqslant t_{0}+\tau=t_{1}$ налегает на первоначальное. Посредством этого рассуждения и его естественного обобщения Пуанкаре доказал ${ }^{1}$, что, вообще говоря, движения таких более специальных динамических систем будут возвращаться бесконечно много раз в окрестность своего первоначального состояния и будут обладать родом устойчивости «в смысле Пуассона».
Первая наша задача в этой главе – показать, что с любой динамической системой, не ограниченной подобным образом, всегда связана некоторая замкнутая совокупность так называемых «центральных движений», обладающих этим свойством региональной рекуррентности $\left({ }^{2}\right)$, к которым все другие движения системы, вообще говоря, стремятся асимптотически.
