В динамике мы имеем дело с физическими системами, состояние которых в некоторый момент $t$ вполне определяется значениями $n$ вещественных переменных
\[
x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} \text {. }
\]

Таким образом, в динамической системе скорости изменения этих переменных, т.е.
\[
\frac{d x_{1}}{d t}, \frac{d x_{2}}{d t}, \ldots, \frac{d x_{n}}{d t},
\]

зависят только от значений самих этих переменных, так что закон движения системы может быть выражен посредством $n$ дифференциальных уравнений первого порядка:
\[
\frac{d x_{i}}{d t}=X_{i}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right), \quad(i=1, \ldots, n) .
\]

Например, для материальной точки, свободно падающей в пустоте близ поверхности земли, $x_{1}$ и $x_{2}$ могут обозначать пройденное расстояние и скорость. В этом случае уравнения движения принимают вид
\[
\frac{d x_{1}}{d t}=x_{2}, \quad \frac{d x_{2}}{d t}=g,
\]

где $g$ – ускорение силы тяжести.
§2. Теорема существования. Переходим к формулировке теоремы существования для системы дифференциальных уравнений типа (1) ${ }^{1}$. Функции $X_{i}$ мы будем считать вещественными и равномерно непрерывными в некоторой открытой, ограниченной $n$-мерной связной области $R$ «пространства» точек, определенных прямоугольными координатами $\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right.$ ). Решением $x(t)$ уравнений (1) в открытом

${ }^{1} \mathrm{~K}$ первым пяти параграфам может быть указана следующая общая литератуpa: Picard E., Traité d’Analyse, т. 2, гл. 11 и т. 3, гл. 8; Goursat E., Cours d’Analyse mathematique, т. 2, гл. 19; Bliss G. A., Princeton Colloquium Lectures, гл. 3.

интервале $t^{\prime}<t<t^{\prime \prime}$ называется такая система $n$ функций $x_{i}(t)$, непрерывных вместе со своими первыми производными, которая для всякого $t$ в указанном интервале определяет точку, принадлежащую $R$, и удовлетворяет дифференциальным уравнениям (1).