Существует и другая известная вариационная форма уравнений Лагранжа, называемая «принципом наименьшего действия». Мы выясним сейчас отношение этого принципа к только что высказанному принципу Гамильтона. Мы предположим, что $L=L_{2}+L_{1}+L_{0}$ – квадратичная функция скоростей. Напомним, что уравнения Лагранжа имеют следующий интеграл энергии:
\[
W \equiv \sum_{j=1}^{m}\left(q_{j}^{\prime} \frac{\partial L}{\partial q_{j}^{\prime}}\right)-L=L_{2}-L_{0}=c .
\]

На этом именно обстоятельстве основаны наши дальнейшие рассуждения.

Остановим наше внимание на случае, когда постоянная энергии $c$ имеет какое-нибудь определенное значение, скажем $c=0$. (Всякий случай можно привести к этому, заменив $L$ на $L+c$.) Тогда мы имеем $L_{2}=L_{0}$ вдоль рассматриваемого движения $q_{i}=q_{i}^{0}(t)(i=1, \ldots, m)$.
Определим теперь интеграл $I^{*}$ следующей формулой:
\[
I^{*}=I-\int_{t_{0}}^{t_{1}}\left(\sqrt{L_{2}}-\sqrt{L_{0}}\right)^{2} d t=\int_{t_{0}}^{t_{1}}\left(2 \sqrt{L_{0} L_{2}}+L_{1}\right) d t .
\]

Тогда
\[
\delta I^{*}=\delta I-2 \int_{t_{0}}^{t_{1}}\left(\sqrt{L_{2}}-\sqrt{L_{0}}\right)\left(\delta \sqrt{L_{2}}-\delta \sqrt{L_{0}}\right) d t .
\]

Следовательно, принимая во внимание, что для $q_{i}^{0}(t)$, удовлетворено условие $L_{0}=L_{2}$, имеем
\[
\delta I^{*}=\delta I
\]

для всех вариаций величин $q_{i}$. Значит, если функции $q_{i}^{0}$ кроме того удовлетворяют уравнениям Лагранжа, так что $\delta I=0$, то мы будем иметь также $\delta I^{*}=0$.

Выражение $2 \sqrt{L_{0} L_{2}}+L_{1}$, стоящее под знаком интеграла в $I^{*}$, является однородной функцией размерности 1 от производных $q_{i}^{\prime}$. Следовательно, численная величина интеграла $I^{*}$ не зависит от выбора параметра $t$ на пути интегрирования, а зависит только от самого пути интегрирования в $m$-мерном пространстве с координатами $q_{1}, \ldots, q_{m}{ }^{1}$; для вариаций, удовлетворяющих условиям, поставленным нами в начале предыдущего параграфа, начальная и конечная точки пути фиксированы. Таким образом, мы можем считать, что интеграл энергии просто определяет параметр $t$, потому что, если мы положим
\[
\bar{t}=\int^{t} \frac{\sqrt{L_{2}}}{\sqrt{L_{0}}} d t,
\]

то требование $W=0$ будет выполнено при новом параметре $\bar{t}$.
Следовательно, если мы имеем $\delta I^{*}=0$ при $q_{i}=q_{i}^{0}(t)$ и если новый параметр $t$ определен из только что приведенной формулы, то имеем также $\delta I=0$ при $q_{i}=q_{i}^{0}(t)$.

Другой вариационной формой уравнений движения лагранжевой системы с функцией $L$, квадатичной относительно скоростей, является $\delta I^{*}=0$, или, подробнее:
\[
\delta \int_{t_{0}}^{t_{1}}\left(2 \sqrt{L_{0} L_{2}}+L_{1}\right) d s=0,
\]

при условии, что $L$ выбрана таким образом, что постоянная энергии обращается в нуль и что параметр $t$ определен вышеприведенной формулой.

Уравнение $\delta I^{*}=0$, которое обычно дается для того случая, когда член $L$, линейный относительно скоростей, отсутствует, выражает собою «принцип наименьшего действия» для этой задачи.

При помощи этого принципа мы можем легко произвести преобразование не только переменных $q_{i}$, но также и переменной $t$. В самом
${ }^{1}$ См. O. Bolza, Vorlesungen über Variationsrechnung, гл. 5.

деле, условие $\delta I^{*}=0$, разумеется, сохраняет свою форму при переходе от зависимых переменных $q_{i}$, к новым $\bar{q}_{i}$, вдоль преобразованной кривой будет исполнено то же вариационное условие, причем функцию $L$, конечно, нужно заменить ее выражением через новые переменные, тогда как $t$ сохраняет свое прежнее значение. Следовательно, для того, чтобы преобразовать эти переменные, достаточно произвести преобразование непосредственно над $L$. Соответствующие новые дифференциальные уравнения получатся, таким образом, из нового выражения для функции $L$.

Над независимой переменной $t$ мы можем произвести преобразование следующего вида
\[
d t=\mu\left(q_{1}, \ldots, q_{m}\right) d \bar{t} .
\]

Иначе говоря, дифференциальный элемент времени делится на выражение $\mu$, зависящее от координат. Мы можем определить характер преобразования, которое испытывают уравнения в результате этой подстановки новой переменной следующим образом. Заметим, что интеграл $I^{*}$ может быть написан под видом
\[
I^{*}=\int_{\bar{t}_{0}}^{\bar{t}_{1}}\left(2 \sqrt{\mu L_{0} \cdot \mu L_{2}}+\mu L_{1}\right) d \bar{t} .
\]

Новый интеграл получает тот же вид, что и прежний, если положить
\[
\bar{L}=\mu L .
\]

Кроме того, $\delta I^{*}$ обращается в нуль вдоль кривой, независимо от того, будем ли мы рассматривать за параметр $t$ или $\bar{t}$. При этом преобразовании $t$ уравнения Лагранжа переходят в новые уравнения того же типа, но в которых функция $L$ заменена на $\mu L$.

Дифференциальная форма $L d t$ остается инвариантной при обоих описанных типах преобразований. Отсюда вытекает следующее положение.
При преобразовании
\[
\begin{aligned}
q_{i} & =f_{i}\left(\bar{q}_{1}, \ldots, \bar{q}_{m}\right) \quad(i=1, \ldots, m), \\
d t & =\mu\left(\bar{q}_{1}, \ldots, \bar{q}_{m}\right) d \bar{t}
\end{aligned}
\]

уравнения Лагранжа с постоянной энергии, равной нулю, переходят в подобную же систему уравнений с постоянной энергии, равной нулю, в которой $L$ получается из формуль
\[
L d t=\bar{L} d \bar{t} .
\]

В обратимом случае имеем $L_{1}=0$ и, следовательно,
\[
I^{*}=\int_{t_{0}}^{t_{1}} 2 \sqrt{L_{0} L_{2}} d t=2 \int_{t_{0}}^{t_{1}} d s,
\]

где $d s^{2}=L_{0} L_{2} d t^{2}$ есть квадрат элемента дуги на надлежащем многообразии с координатами $q_{1}, \ldots, q_{m}$.

Таким образом, в обратимом случае с фиксированной постоянной энергии кривые движения могут быть интерпретированы как геодезические линии на т-мерном многообразии с квадратом элемента дуги
\[
d s^{2}=L_{0} L_{2} d t^{2} .
\]

Этот результат показывает, насколько общий характер имеет проблема геодезических линий $m$-мерного многообразия.