Как было уже указано, нет точки кольца, не лежащей на его границе, которая была бы инвариантна относительно преобразования $T$. С другой стороны, рассмотрим преобразование $T^2$ и присоединим к нему вращение плоскости $\vartheta ,\phi$ около начала, координат на угол $-2\pi$, которое мы обозначим через $R_{-1}$. Преобразование $T^2{R}_{-1}$ оставляет инвариантным интеграл $\iint \sin \vartheta d\vartheta d\phi$ и передвигает точки внешней окружности на угол $2\pi$, а точки внутренней окружности на угол $-2\pi$, следовательно, в противоположном направлении. Таким образом, преобразование $T^2{R}_{-1}$, удовлетворяет всем условиям, необходимым для применения геометрической теоремы Пуанкаре. Следовательно, сложное преобразование $T^2{R}_{-1}$ имеет по крайней мере две инвариантные точки. Но это значит, что $T^2$ имеет две геометрически различные инвариантные точки с индексами разных знаков ${}^1$, хотя для обеих этих точек $\phi$ увеличивается на величину $2\pi$.

Если $P$ есть такая инвариантная точка, то $T(P)$, разумеется, тоже будет таковой, но с тем же индексом. Таким образом, мы получаем две пары точек, скажем,
$$P,T(P);Q,T(Q),$$

причем все четыре точки различные. Они, очевидно, соответствуют двум основным периодическим движениям.

Переходя к применению теоремы Пуанкаре к периодическим движениям более сложного типа, мы должны принять по внимание тот факт, что каждому такому движению соответствует другое, отличное от него периодическое движение, получающееся изменением порядка обхода многоугольника на обратный, причем эти движения имеют одинаковый индекс. Однако одно из этих движений увеличивает $\phi$ на величину $2k\pi$, а другое — на величину $2(n-k)\pi$. Рассматривая только те инвариантные точки $T^n$, для которых $\phi$ увеличивается на $2k\pi (k⩽n/2)$,
${}^1\mathrm{Cm}$. мою статью «An Extension of Poincaré’s Last Geometric Theorem», Acta Mathematica, vol. 47, 1926 (1). Под индексом инвариантной точки мы подразумеваем число полных оборотов вектора, соединяющего точку $P$ с ее образом, когда $P$ описывает малую окружность около инвариантной точки.

мы, очевидно, получим каждый гармонический $n$-угольник только однажды. Можно заметить кстати, что эта возможность сгруппировать подобным образом движения в проблеме бильярдного шара по два находит полное отражение в том, что $T$ есть композиция двух инволюторных преобразований $\left({}^{14}\right)$; именно это самое свойство преобразований кольца в ограниченной задаче трех тел дало мне возможность доказать существование бесконечного множества симметричных периодических орбит ${}^1$.

Перейдем теперь к рассмотрению инвариантных точек преобразования $T^n{R}_{-k}$, где $R_{-k}$ обозначает $k$-кратное вращение на угол $-2\pi$. Вращения внешней и внутренней окружностей будут, очевидно, соответственно,
$$2(n-k)\pi \text{ и }-2k\pi ,$$
т. е. будут противоположных знаков. Отсюда мы можем заключить о существовании по крайней мере двух рядов геометрически различных точек
$$P,T(P),\dots ,T^{n-1}(P),Q,T(Q),\dots ,T^{n-1}(Q),$$

таких, что $T^n(P)=P,T^n(Q)=Q$, причем $\phi$ увеличивается на $2k\pi$; при этом мы предполагаем, что $n$ и $k$ — взаимно простые числа.

Чтобы доказать подробнее это утверждение, предположим, что $P$ — одна из таких инвариантных относительно $T^n$ точек, для которых $T^n$ увеличивает $\phi$ на $2k\pi$. Если $n$ точек
$$P,T(P),\dots ,T^{n-1}(P)$$

не все различны, то пусть $T^m(P)=P(m⩽n-1)$, и положим, что $\phi$ увеличивается при преобразовании $T^m$ на $2j\pi$. Комбинируя два символических уравнения, $T^m(P)=P$ и $T^n(P)=P$, мы получим $T^d(P)=P$, где $d$ (не равное единице, разумеется) есть общий наибольший делитель $m$ и $n$ Таким образом, $P$ инвариантно относительно $T^d$. Предположим, что $T^d$ увеличивает $\phi$ на $2f\pi$. Из уравнения $T^n=T^{qd}$ мы видим, что $T^n$ будет тогда увеличивать $\phi$ на $2qf\pi$, так что $k=qf$. Таким образом, $k$ и $n$ будут иметь общего делителя $q$, не равного единице, что противоречит тому, что они взаимно просты.

Bce $n$ инвариантных точек $T_i(\mathrm{P})$ не только различны, но имеют одинаковый индекс. Следовательно, будет существовать точка $Q$ инвариантная по отношению к $T^n$, но с индексом, имеющим обратный знак. Эта точка, а также ее образы при последовательных степенях преобразования $T$ будут обязательно все отличны от точки $P$ и ее образов и дадут нам, таким образом, второй, отличный от первого ряд из $n$ точек.
${}^1$ См. мою статью «The Restricted Problem of Three Bodies», Rendiconti di Palermo, vol. 39,1915 , особенно $\S 14$.

Таким образом, мы получаем для любого $n>2$ и любого числа $k⩽n/2$, взаимно простого с $n$, два геометрически различных гармонических $n$-угольника, обходящих $k$ раз кривую $C$. Этим двум многоугольникам будут соответствовать, разумеется, четыре периодических движения. Мы не станем входить здесь в рассмотрение устойчивости или неустойчивости движения в зависимости от знака индекса.

Заслуживает внимания то обстоятельство, что здесь, очевидно, может быть применен метод, изложенный в §2 и 3 этой главы, который покажет нам, что существует бесконечное множество периодических движений, лежащих в окрестности любого устойчивого периодического движения общего типа, если постоянная $l$ не равна нулю.

Мы покажем, в частности, как этот метод можно применить к предельному типу периодического движения, когда бильярдный шар движется вдоль границы бильярдного стола по кривой $C$.

Для этой цели необходимо рассмотреть явные выражения для $T$ для того случая, когда $\vartheta$ мало. Прямое вычисление дает:
$$\begin{array}{l}{\vartheta }_1-\vartheta =\frac{2}{3}\frac{k^{\prime }}{k^2}{\vartheta }^2+l{\vartheta }^3+\dots ,\\ {\phi }_1-\phi =\frac{2}{k}\vartheta -\frac{4}{3}\frac{k^{\prime }}{k^3}{\vartheta }^2+m{\vartheta }^3+\dots ,\end{array}$$

где функция $k(\phi )$ обозначает кривизну кривой $C$ в точке, имеющей данное $\phi$, а функции $l,m,\dots$ зависят только от $\phi$. Рассуждая совершенно формальным образом и заменяя ${\vartheta }_1-\vartheta$ и ${\phi }_1-\phi$ на $\mathrm{\Delta }\vartheta$ и $\mathrm{\Delta }\phi$ соответственно, мы получим приближенное дифференциальное уравнение
$$\frac{d\vartheta }{d\phi }=\frac{1}{3}\frac{k^{\prime }}{k}\vartheta ,$$

дающее после интегрирования
$$\vartheta ={\vartheta }_0{k}^{1/3}(\phi ).$$

Здесь ${\vartheta }_0$ обозначает значение $\vartheta$ в точке, имеющей кривизну, равную единице. Этот результат показывает, что в первом приближении кривая $\vartheta ={\vartheta }_0{k}^{1/3}(\phi )$ вблизи внутренней границы $\vartheta =0$ кольца почти инвариантна при преобразовании $T$ и, вероятно, может быть сделана с еще бо́льшим приближением инвариантной присоединением членов высших степеней. Очевидно, предельные периодические движения, образуемые кривой $C$, нужно на этом основании рассматривать как устойчивые движения.

Также, если переменная $n$ обозначает число итераций, то мы имеем приближенное дифференциальное уравнение:
$$\frac{d\phi }{dn}=2{\vartheta }_0{k}^{-2/3},$$

откуда, интегрируя, получаем:
$$n=\int k^{2/3}\frac{d\phi }{2{\vartheta }_0}.$$

Отсюда следует, что $\phi$ возрастает более чем на $2\pi$, вдоль приближенной инвариантной кривой, если $n{\vartheta }_0$ превосходит $\pi K^{2/3}$, где $K$ есть максимальная кривизна кривой $C$.

Таким образом, представляется весьма вероятным, что лемма $\mathrm{\S }2$ применима и здесь, и что существует бесконечное множество периодических движений, равномерно близких к кривой $C$.