Выведенным здесь формулам преобразований можно придать весьма изящный вид для случая систем с двумя степенями свободы ${ }^{1}$. В этом случае дифференциальный элемент
\[
L_{2} d t^{2}=\frac{1}{2}\left(a_{11} d q_{1}^{2}+2 a_{12} d q_{1} d q_{2}+a_{22} d q_{2}^{2}\right)
\]

можно рассматривать как квадрат элемента длины дуги некоторой двумерной поверхности. Выбирая за $\bar{q}_{1}$ и $\bar{q}_{2}$ координаты изотермической сети на этой поверхности, мы будем иметь для квадрата элемента дуги выражение
\[
\frac{1}{2} \lambda\left(d \bar{q}_{1}^{2}+d \bar{q}_{2}^{2}\right) .
\]

Следовательно, если мы возьмем $\mu$ равным $\frac{1}{\lambda}$ и произведем вышеуказанное (см. предыдущий параграф) преобразование $t$, то этим самым мы приведем $\lambda$ к единице.

Для данной лагранжевой системы с двумя степенями свободы и данной постоянной энергии 0 существуют переменные вышеописанного типа, в которых главная функиия $L$ имеет вид:
\[
L=\frac{1}{2}\left(q_{1}^{\prime 2}+q_{2}^{\prime 2}\right)+\alpha q_{1}^{\prime}+\beta q_{2}^{\prime}+\gamma .
\]
${ }^{1}$ См., например, мою статью «Dynamical Systems with Two Degrees of Freedom», Trans. Amer. Math. Soc., vol. 18 (1917), sections 2-5.

Уравнения движения и интеграл энергии получают в этом случае нормальную форму:
\[
\begin{array}{c}
q_{1}^{\prime \prime}+\lambda q_{2}^{\prime}=\frac{\partial \gamma}{\partial q_{1}} ; \quad q_{2}^{\prime \prime}-\lambda q_{1}^{\prime}=\frac{\partial \gamma}{\partial q_{2}} \\
\left(\lambda=\frac{\partial \alpha}{\partial q_{2}}-\frac{\partial \beta}{\partial q_{1}}\right) ; \quad \frac{1}{2}\left(q_{1}^{\prime 2}+q_{2}^{\prime 2}\right)=\gamma
\end{array}
\]

Далее, если рассматривать $q_{1}$ и $q_{2}$ как прямоугольные координаты материальной частицы с массой, равной единице, движущейся на плоскости, то из приведенных уравнений следует, как легко видеть, что частица движется под влиянием поля сил, вызванного потенциальной энергией $-\gamma$, и силы, равной по величине $\lambda v$ (где $v$ означает скорость) и направленной перпендикулярно к направлению движения.

Всякую такую лагранжеву систему с двумя степенями свободы можно рассматривать как материальную частицу на плоскости, находяшуюся под действием консервативного поля сил, вызванного потенциальной энергией — $\gamma$, и не производящей работы силы $\lambda v$ (где $v-$ скорость), действующей в направлении, перпендикулярном к направлению движения.