Вопросы, касающиеся интегрируемости данной динамической проблемы, представляют большой интерес. Общеизвестно, что для некоторых задач можно ввести вспомогательные аналитические соотношения, с помощью которых мы можем удовлетворительно исследовать решения соответствующих дифференциальных уравнений. В этом случае система может быть названа «интегрируемой». Если, однако, мы попытаемся сформулировать точное определение интегрируемости, то оказываются возможными многие различные определения, каждому из которых присущ известный теоретический интерес. Рассмотрим вкратце понятие интегрируемости, не забывая при этом указания Пуанкаре, что система дифференциальных уравнений может быть только более или менее интегрируемой.

Заметим, что в только что рассмотренной проблеме мы имеем четыре периодических движения, которые играли специальную роль, а именно, движения вдоль обеих осей эллипса и два движения вдоль самого эллипса в обоих возможных направлениях.

Все другие периодические движения разбиваются на аналитические семейства и, таким образом, с формальной точки зрения представляют собой весьма вырождающиеся типы. Но эти специальные движения изолированы и принадлежат к общему типу. В окрестности этих точек мы будем иметь обычные разложения координат в формальные ряды ${ }^{1}$, и эти ряды мы можем считать сходящимися и аналитически продолженными на некоторую окрестность движения; в самом деле, эти свойства представляют собой только другое выражение подобных же свойств интегрируемого преобразования $T$, согласно которым оно вращает определенным образом известные кривые, окружающие инвариантные точки.

Отметим также, что в этой проблеме четыре надлежащим образом выбранные окрестности четырех основных периодических движений покрывают целиком многообразие $M$; в самом деле, оба семейства движений вокруг эллипса, семейство движений поперек эллипса и периодическое движение вдоль большой оси вместе исчерпывают все движения системы. Эти факты подсказывают нам следующее (не вполне точное) определение интегрируемости, основанное на некотором локальном и на некотором нелокальном свойстве.

Данная система аналитических дифференциальных уравнений на замкнутом аналитическом многообразии $M$ будет называться интегрируемой, если существует конечное множество периодических движений, такое, что соответствующие полные разложения в формальные ряды могут быть взяты сходящимися и дающими соответственное аналитическое представление для каждого возможного движения системы.

При применении этого определения в качестве известного рода нормы естественно появляются некоторые соображения.

Прежде всего, естественно определить «локальную интегрируемость» в окрестности некоторого периодического движения общего устойчивого типа как такую, когда формальные ряды мы можем счи-
${ }^{1}$ Разумеется, при этом вместо времени $t$ появится дискретный аргумент – целое число $n$.

тать сходящимися. Следовательно, движение устойчиво в интегрируемом случае, и соответственные явные формулы дают нам полное представление о характере близких движений.

Но теперь возможно представить, что эти ряды хотя и не сходятся, но вблизи периодических движений представляют асимптотически какие-то функции, непрерывные вместе с некоторыми или всеми своими производными, причем с помощью этих функций система дифференциальных уравнений может быть приведена к нормальному виду, подобно тому, как в $\S 13$ главы III $M_{1}, \ldots, M_{m}$ суть функции от $\xi_{1} \eta_{1}, \ldots, \xi_{m} \eta_{m}$, непрерывные вместе с некоторыми из своих производных. Здесь качественное поведение системы таково же, как и в случае сходимости. Возникает вопрос: нужно ли систему дифференциальных уравнений называть интегрируемой и в этом более общем случае?

Кроме того, качественное поведение движений вблизи периодического движения общего неустойчивого типа для систем с двумя степенями свободы существенно не зависит от сходимости или расходимости формальных рядов. Спрашивается, должны ли мы называть всякую систему локально интегрируемой в окрестности подобного периодического движения неустойчивого типа.

Если дифференциальная система содержит параметр $\mu$, то мы можем рассматривать тот вид локальной интегрируемости, когда от формальных рядов требуется не только, чтобы они сходились, но также чтобы они были аналитическими относительно $\mu$. Именно в этом смысле Пуанкаре доказал несуществование отличных от классических, однозначных интегралов в задаче трех тел ${ }^{1}$. Но очевидно, что это определение логически отлично от вышеприведенного. Система, не интегрируемая в этом смысле, может быть (a priori) интегрируемой согласно нашему определению для каждого отдельного значения параметра $\mu$. Насколько я знаю, локальная неинтегрируемость в вышеприведенном смысле не была установлена ни для какой динамической проблемы. Мы здесь, однако, установим ее (для случая $m=1$ ) следующим образом.

Предположим, что всякая гамильтонова проблема локально интегрируема в окрестности точки обобщенного равновесия общего устойчивого типа (см. главу III). Применяя нормальные переменные, мы видим, что тогда $T$ является по существу вращением на переменный угол.

Вдоль инвариантных аналитических кривых с рациональным коэффициентом вращения все движения будут периодическими в интегрируемом случае с одним и тем же периодом $2 k \pi$. Именно на этом обстоятельстве основывается наше дальнейшее рассуждение.
Далее, из самой природы преобразования $T$ следует, что вблизи точки равновесия не имеется других периодических движений с тем же периодом $2 k \pi$, так как вращение постоянно возрастает вместе с расстоянием и инвариантное семейство представлено кривой, встречающей каждый радиус только однажды.
Напишем теперь
\[
H=H_{0}+\mu H_{1},
\]

где $H_{0}$ есть данное значение главной функции, $\mu$ – малый параметр, а $H_{1}$ – аналитическая функция от $p_{1}, q_{1}$ и $t$, периодическая относительно $t$ с периодом $2 \pi$ и начинающаяся с членов не ниже пятой степени, если мы ее разложим в степенной ряд по степеням $p_{1}, q_{1}$, но в остальном произвольная. Легко убедиться, что в измененной проблеме множитель $\lambda$ и постоянная $l$ не зависимы от $\mu$.
Кроме того, мы можем принять, что $H_{0}$ имеет нормальный вид
\[
H_{0}=\lambda p_{1} q_{1}+\frac{1}{2} p_{1}^{2} q_{1}^{2},
\]

так как мы можем пользоваться нормальными переменными. Вдоль всякого движения аналитического семейства уравнения вариации имеют одно и только одно периодическое решение периода $2 k \pi$, как показывает прямое вычисление.

Будем изменять $\mu$ от его начального значения $\mu=0$. Тут могут представиться две возможности. Либо кривая, изображающая периодическое аналитическое семейство для $\mu=0$, может быть продолжена аналитически, в каковом случае имеется близкая кривая для $\mu
eq 0$; или же будет иметься только конечное число периодических движений этого периода для $\mu$, малых по абсолютной величине.

В первом случае, очевидно, должно существовать периодическое решение уравнений вариации относительно $\mu$, которые получаются, если мы прибавим неоднородные члены – $\partial H_{1} / \partial q_{1}, \partial H_{1} / \partial p_{1}$ к соответственным правым частям уравнений вариации, упомянутых выше. Но так как $\partial H_{1} / \partial q_{1}, \partial H_{1} / \partial p_{1}$ могут быть взяты почти по произволу вдоль любого периодического движения, то обычные явные формулы для вариаций $\delta p_{1}, \delta q_{1}$ показывают, что, вообще говоря, не будет существовать никакого периодического решения. В самом деле, функции $\delta p_{1}, \delta q_{1}$ могут быть выражены как интегралы, линейные в этих произвольных функциях, к которым прибавлено общее решение однородной системы, одна часть которой является периодической. Таким образом, два условия должны удовлетворяться в то время, как имеется (существенно) только одна произвольная постоянная, и условие совместимости требует, чтобы обращался в нуль некоторый интеграл, взятый на отрезке, равном $2 k \pi$, подынтегральное выражение которого содержит линейно $\partial H_{1} / \partial q_{1}, \partial H_{1} / \partial p_{1}$. Очевидно, что это условие не может в общем случае выполняться.

Следовательно, если $H_{1}$ выбрано надлежащим образом и затем $\mu$ взято произвольно малым, то будет только конечное число периодических движений этого периода.

Но по предположению измененная система интегрируема. Посредством другого, значительно меньшего изменения функции $H$, мы можем уничтожить аналитическое периодическое семейство значительно ближе к положению обобщенного равновесия, не вводя при этом новых периодических движений периода $2 k \pi$.

Идя далее таким же образом, мы образуем предельную допустимую главную функцию $H$, для которой $\lambda$ и $l$ остаются прежними, но для которой не существует аналитических периодических семейств, принадлежащих коэффициентам вращения, сколь угодно близким коэффициенту вращения обобщенного равновесия. Эта предельная проблема не может, следовательно, быть локально интегрируемой в приведенном смысле.

Так как существует только исчислимое множество периодов $2 k \pi$ $(k=1,2, \ldots)$, участвовавших в нашем рассуждении, легко видеть, что для подходящим образом выбранного $H$ не будет существовать никаких периодических аналитических семейств вблизи точки равновесия.
$B$ локально интегрируемой гамильтоновой проблеме вблизи обобщенного равновесия общего устойчивого типа $l
eq 0$ будет существовать бесконечное множество близлежащих аналитических семейств периодических движений, имеющих своим периодом целое кратное основного периода.

Вообще же гамильтонова система близ такого периодического движения будет локально неинтегрируемой и не будет иметь аналитических семейств близлежащих периодических движений.

Было бы возможно, и это представляло бы значительный интерес, применить тот же метод к доказательству того, что близкие инвариантные семейства, асимптотические в противоположных направлениях, к одному и тому же периодическому движению, вообще говоря, не существуют. Это исключило бы возможность инвариантных семейств, принадлежащих рациональному коэффициенту вращения, и доказало бы, что вообще имеется либо полная неустойчивость, либо зональная неустойчивость.

Тот же метод позволяет нам установить, что кратные периодические движения, вообе говоря, не существуют для периодических задач этого типа.