Очевидно, что вопрос о структуре совокупности центральных движений $M_{r}$ имеет огромное теоретическое значение. Эта замкнутая совокупность движений характеризуется, как мы видели, свойством региональной рекуррентности, и, следовательно, существование $n$-мерного инвариантного объемного интеграла в случае уравнений классической динамики обеспечивает для этого случая совпадение $M_{r}$ с $M$.

Мы хотим установить несколько простых свойств совокупности центральных движений

Совокупность $M_{r}$ состоит из одной или нескольких связных частей, каждая из которых содержит по меньшей мере одно минимальное множество рекуррентных движений.

Всякое центральное движение, $\alpha$ – или $\omega$-предельные точки которого не заполняют целиком какой-нибудь связной части множества $M_{r}$, мы будем называть «специальным центральным движением». Согласно этому определению рекуррентное движение будет специальным, если только соответствующее минимальное множество не является само той связной частью множества $M_{r}$, к которой наше рекуррентное движение принадлежит. В частности для классической динамики специальными являются такие движения, которые не проходят сколь угодно близко от всех возможных состояний движения либо при возрастании, либо же при убывании времени.

Специальные центральные движения всюду плотны на любой связной части совокупности центральных движений, за исключением того случая, когда эта связная часть состоит из единственного минимального множества рекуррентных движений.

В случае классической диналики $\left(M_{r}=M\right)$ специальные центральные движения оказываются, таким образом, всюду плотными на $M$, за исключением того случая, когда само $M$ является минимальным множеством рекуррентных движений.

При доказательстве этой теоремы мы будем считать, что $M_{r}$ совпадает с $M$, но из доказательства будет очевидно, что те же рассуждения $M_{r}$ совершенно так же применимы к любой связной части множества $M_{r}$ при условии, что под областью совокупности $M_{r}$ мы будем подразумевать любое связное подмножество $M_{r}$, никакая точка которого не является предельной для точек, принадлежащих $M_{r}$, но не лежащих в этом подмножестве.

Предположим, что наша теорема неверна и что имеется замкнутая область $E$, ни одна точка которой не принадлежит специальному движению. Но в $M$ существует по крайней мере одна совокупность $\Sigma$ рекуррентных движений; эти рекуррентные движения будут в рассматриваемом случае специальными движениями и, следовательно, будут все лежать целиком в дополнительной области $F=M-E$.

Рассмотрим все точки, лежащие на расстояния, меньшем $\varepsilon$, от $\Sigma$, где $\varepsilon$ выбрано таким образом, что $\varepsilon$-окрестность совокупности $\Sigma$ лежит целиком в области $F$. Если мы теперь будем безгранично увеличивать $t$, то эта $\varepsilon$-оюрестность будет двигаться, причем может быть одно из двух: либо при достаточно малом $\varepsilon$ ни одна точка $\varepsilon$-окрестности не выйдет из $F$, либо по крайней мере одна точка $\varepsilon$-окрестности, в конце концов, выйдет из $F$, каково бы ни было $\varepsilon$.

Легко показать, что второе предположение невозможно. В самом деле, устремим $\varepsilon$ к нулю и будем рассматривать последовательность дуг $P Q$ кривых движения в $F$, таких, что $P$ лежит в $\varepsilon$-окрестности, совокупности $\Sigma$, а $Q$ лежит на границе $F$ и соответствует более позднему моменту $t$. Очевидно, что полукривая движения в направлении убывающего времени, начинающаяся в какой-нибудь предельной точке $\bar{Q}$ последовательности точек $Q$ для $\lim \varepsilon=0$, лежит целиком в $F$, кроме точки $\bar{Q}$, и определяет специальное движение, что невозможно, так как она содержит точку $\bar{Q}$, принадлежащую $E$. Таким образом, мы можем ограничиться рассмотрением первого предположения.

В этом случае обозначим через $\bar{\varepsilon}$ верхнюю грань всех $\varepsilon$, для которых совокупность всех точек, лежащих на полукривых движения, исходящих из точек $\varepsilon$-окрестности совокупности $\Sigma$ в направлении возрастающего $t$, лежит целиком в $F$. Легко видеть, что эта верхняя грань $\bar{\varepsilon}$ обладает тем же свойством. Точки, лежащие на полукривых движения, исходящих из точек $\bar{\varepsilon}$-окрестности, и предельные движения образуют расширенную область $R$, в которой лежит $\Sigma$. Никакое движение, лежащее в $R$, не пересечет, если его продолжить в направлении убывающего времени, границы $F$ в какой-либо точке $P$, потому что в противном случае полукривая движения в направлении возрастающего времени, проходящая через $P$ была бы специальным движением, проходящим через точку $P$, принадлежащую $E$. По этой же причине область $R$ должна лежать целиком в $F$. Но если мы теперь рассмотрим полукривые движения, проходящие через точки, лежащие в $\varepsilon^{\prime}$-окрестности $R$, то убедимся, что некоторые из этих полукривых должны пересекать границу $F$ в каких-то точках $Q$, соответствующих более позднему моменту времени; в противном случае $\bar{\varepsilon}$ не было бы наибольшим допустимым значением $\varepsilon$. Выберем последовательность $\varepsilon^{\prime}$, так что $\lim \varepsilon^{\prime}=0$, и соответственную последовательность точек $Q$. Тогда полукривая движения в направлении убывающего времени, проходящая через какую-нибудь предельную точку $\bar{Q}$ точек $Q$, будет специальным движением, проходящим через точку $\bar{Q}$, лежащую в $E$.
Итак, мы пришли к противоречию, что доказывает нашу теорему.
Обобщая немного это рассуждение, мы можем получить следующий более точный результат.

Если какая-нибудь связная область $F$ множества $M_{r}$ содержит в себе кривую движения, то существует по крайней мере одно специальное движение, проходящее через точку, лежащую на границе этой области, и содержащееся в ней в направлении возрастания (убывания) $t$.

Будем рассматривать $\varepsilon$-окрестность кривой движения, лежащей в области $F$. При безграничном уменьшении (эта окрестность движется, и предыдущие рассуждения покажут нам, что вышеприведенное утверждение должно быть справедливым, за исключением того случая, когда для достаточно малого $\varepsilon$ ни одна точка $\varepsilon$-окрестности нашей кривой не выходит при этом движении за пределы $F$.

Рассматривая эту $\varepsilon$-оюрестность вместе со всей частью области $F$, которую она покрывает при убывании $t$, мы получим расширенную область. Эта расширенная область должна оставаться в $F$ и при возрастании $t$ и быть инвариантной. В самом деле, если бы какая-нибудь точка перешла при движении в направлении возрастания в точку $Q$ вне этой области, то достаточно малая окрестность точки $Q$ при своем движении в направлении убывающего времени не налегала бы на свое начальное положение, начиная с некоторого момента, что противоречит свойству региональной рекуррентности.

Если мы возьмем за $\bar{\varepsilon}$ точную верхнюю границу всех возможных значений $\varepsilon$, то получим инвариантную область $R$, состоящую из полных кривых движения. Рассматривая точки в $\varepsilon^{\prime}$-окрестности области $R$ и заставляя $t$ убывать, мы найдем, как прежде, что некоторые из движений в этой окрестности должны, в конце концов, покинуть $F$ в точке $Q$. Устремляя $\varepsilon^{\prime}$ к нулю, мы найдем предельную точку $Q^{\prime}$ точек $Q$, через которую проходит движение, лежащее в $F$ при возрастании $t$, что и требовалось доказать.