Переменные угол — действие.

Для периодических систем с постоянным гамильтонианом существует интеграл движения для некоторой степени свободы, если движение системы по ней не зависит от ее движения по другим степеням свободы. Интеграл движения, может быть связан с интегралом действия, вычисленным по одному полному периоду. Это ведет к тому, что если принять за обобщенный импульс интеграл действия, то соответствующая

координата будет циклической в гамильтониане и, как и в случае будет получено полное решение для данной степени свободы. Предполагая, что преобразование к новым координатам в (1.32), (1.33), (1.34) выбрано так, что удовлетворяет (1.36) и в качестве новых импульсов образует переменные действия, посмотрим, к каким следствиям это приведет Мы образуем интеграл действия, записанный через эти новые переменные, обычным путем:

где преобразованные постоянные импульсы. Соответствующая обобщенному импульсу координата имеет вид (1.26):

Интегрируя по за лолный период имеем

но из Подставляя в (1.53), меняя порядок дифференцирования и интегрируя по периоду, получаем

Сравнивая (1.54) с (1.53), видим, что

т. е. константа просто частота колебаний. Таким образом, запись уравнений движения через переменные угол — действие, с одной стороны, дает удобный метод получения частот колебаний системы, а с другой — устанавливает связь между импульсом и координатой для любой совокупности начальных условий. Так как интеграл действия может быть также адиабатическим интегралом движения, запись уравнений движения через переменные угол — действие найдет применение в теории адиабатических инвариантов. Развитый выше формализм будет использован в гл. 2.

Мы уже отмечали, что решения без труда находятся только в том случае, если гамильтониан, выраженный через гамильтонову характеристическую функцию, разделяется по переменным. Следуя стандартному обозначению, заменяем на в (1,36) и получаем

а так как разделяется, оно может быть записано в форме

где а связана с константами движения, и если

получаем следующие уравнения:

Здесь последнее равенство имеет смысл, так как независимы. Затем можно найти которое зависит от Мы уже сделали это ранее менее формальным путем, когда исследовали уравнение движения тела в двумерном поле центральных сил.

Теперь снова вернемся к этой задаче как к примеру использования переменных угол — действие. Из (1.10) гамильтониан

где константа. Это выражение, записанное через характеристическую функцию, принимает следующий вид:

где использовано преобразование (1.32), (1.33), (1.34), а именно, что и тот факт, что разделяется по переменным [см. (1.57)]. Умножая все выражение на можно привести гамильтониан к виду, в котором переменные разделяются:

Получен постоянный угловой момент, который, конечно, непосредственно следовал из того факта, что циклическая координата, т. е. не входит явно в гамильтониан. Второе уравнение в (1.59) дает

Можно было бы решить дифференциальное уравнение для производящей функции. Вместо этого мы вводим переменные действия

и

которые сводят задачу решения дифференциальных уравнений) к вычислению интегралов, т. е. к квадратурам. Подставляя (1.59) и (1.60) в (1.61а) и (1.616) соответственно, получаем

и

Если, к примеру, потенциал, соответствующий силе притяжения, которая убывает пропорционально квадрату радиуса, то простое интегрирование (см. [10]) приводит к константе

В результате преобразований получаем

где вместо подставлено Отметим, что переменные действия появляются только в виде суммы, следовательно, существует только одна частота колебаний

дающая замкнутую орбиту. Если центральная сила имеет другую Зависимость по орбита не будет больше замкнутой.